仿紧性是紧性的一种重要推广. 自1944年, 文献[1]引进仿紧空间的概念, 仿紧空间得到了各种形式的推广. 2006 年, 文献[2]利用半开集给出$\ s\ $-仿紧空间的概念并研究了其性质, 文献[3]利用强半开集提出强$\ S\ $-仿紧空间的定义, 并给出其在Hausdorff 空间下的等价刻画, 同时探讨了它的相对性质. 受这些启发, 本文利用预开集推广了仿紧空间和可数仿紧空间的概念, 得到了$p$-仿紧空间和$p$-可数仿紧空间的概念, 刻画了它们的特征, 定义了$\ \alpha p\ $-仿紧子集并讨论了它在$p$-仿紧空间下与其它子集的等价性, 从而丰富了拓扑空间中的仿紧理论.

设$(X, \mathcal{ T})$为拓扑空间, 记$A\subset X$的内部、闭包和补集分别为$A^{\circ}$、$A^{-}$和$A^{\prime}$.

定义1.1^[4]  设$(X, \mathcal{ T})$是拓扑空间, $A\subset X$. 称$A$为预开集, 若$A\subset A^{-\circ}$; 称$A$为预闭集, 若$A^{\prime}$是预开集. $X$中全体预开集构成的集族记为$PO(X)$.

注1.1  由定义可知, 开集是预开集, 反之不一定. 两个预开集的交不一定是预开集, 开集与预开集的交是预开集, 任意多个预开集的并仍是预开集^[5], 从而集族$PO(X)$不构成$X$上的拓扑..

显然, $A$是预闭集当且仅当$A^{\circ-}\subset A$.

定义1.2^[6]  这是定义内容. 设$(X, \mathcal{T})$ 是拓扑空间, $A\subset X$, 称$A$是$\alpha$-集, 若$A\subset A^{\circ-\circ}$. 记$(X, \mathcal{T})$中所有$\alpha$-集为$\mathcal{T}^{\alpha}$, 构成$X$上的一个拓扑.

注1.2^[7]  $\mathcal{T}\subset \mathcal{T}^{\alpha}\subset PO(X, \mathcal{T})$且$PO(X, \mathcal{T}^{\alpha})=PO(X, \mathcal{T})$.

定义1.3^[4]  设$(X, \mathcal{ T})$是拓扑空间, $A\subset X$,

(1)$A_{p}^{\circ}=~\bigcup\{~B~|~B\subset A, B$是预开集}, 称为$A$的预内部;

(2)$A_{p}^{-}=~\bigcap\{~B~|~A\subset B, B$是预闭集}, 称为$A$的预闭包.

易证$A^{\circ}\subset A_{p}^{\circ}\subset A\subset A_{p}^{-}\subset A^{-}$, $A_{p}^{\circ}=((A^{\prime})_{p}^{-})^{\prime}$, $A_{p}^{-}=((A^{\prime})_{p}^{\circ})^{\prime}$.

定义1.4  设$\mathcal{F}=~\{F _{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是拓扑空间$(X, \mathcal{ T})$的一个子集族,

(1)^[8]称$\mathcal{F}$为局部有限集族, 若对任意$x\in X$, 存在开集$U$, 使得$x\in U$且$U$仅与$\mathcal{F}$中有限个元素有非空交;

(2)称$\mathcal{F}$为$p$-局部有限集族, 若对任意$x\in X$, 存在预开集$U$, 使得$x\in U$且$U$仅与$\mathcal{F}$中有限个元素有非空交.

注1.3  由注1.1知, 局部有限集族$\Rightarrow p\ $-局部有限集族.

定义1.5^[8]  称拓扑空间$(X, \mathcal{ T})$的子集族$\mathcal{U} $为$\sigma$-局部有限集族, 若$\mathcal{U} $是可数个局部有限集族的并, 即$\mathcal{U} =\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{U}_{i}$, 其中每一个$\mathcal{U}_{i}$是局部有限的.

定义1.6^[8]  $X$的覆盖$\mathcal{V} =~\{V_{\beta}|~\beta\in\ B\}$称为是$X$的覆盖$\mathcal{U} =~\{U_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$的加细覆盖, 如果$\mathcal{V}$ 中的每一个元素总包含于$\mathcal{U}$中的某一元素$U_{\alpha}$内.

定义1.7^[9]  称集族$\mathcal{F}=~\{F _{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是$p$-闭包保持的, 若对任意的$\Lambda_{1}\subset \Lambda$, 有$(\bigcup _{\Lambda_{1}\subset\Lambda}F_{\alpha})_{p}^{-}=\bigcup _{\Lambda_{1}\subset\Lambda}(F_{\alpha})_{p}^{-}$.

定义1.8^[10]  拓扑空间$(X, \mathcal{T})$称为$p$-正则空间, 若对任意$x\in X$及$X$的闭集$F$, $x\not \in F$, 存在$U, V\in PO(X)$, 使得$x\in U$, $F\subset V$且$U\bigcap V =~\emptyset$ .

引理1.1^[8]  设$\mathcal{F}=~\{F _{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是拓扑空间$(X, \mathcal{T})$的一个子集族, 则

(1)$\mathcal{F}=~\{F_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是局部有限的当且仅当$\{F_{\alpha}^{-}|~\alpha\in\Lambda\}$是局部有限的;

(2)若$\mathcal{F}$是局部有限的, 那么$\bigcup _{\alpha\in\Lambda}F_{\alpha}^{-}=(\bigcup _{\alpha\in\Lambda}F_{\alpha})^{-}$.

引理1.2^[9]  设$\mathcal{F}=~\{F_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是拓扑空间$(X, \mathcal{T})$的一个子集族, 则$\mathcal{F}=~\{F _{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是$p$-局部有限的当且仅当$\{(F _{\alpha})_{p}^{-}|~\alpha\in\Lambda\}$是$p$-局部有限的.

引理1.3^[11]  设$\mathcal{F}=~\{F_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$, $\mathcal{B}=~\{B_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$是拓扑空间$(X, \mathcal{T})$的子集族, 且对任意的$\alpha\in \Lambda$, 有$B_{\alpha}\subset F_{\alpha}$, 若$\mathcal{F}$是局部有限集族, 则$\mathcal{B}$也是局部有限集族.

注1.4  将引理中的局部有限集族改成$p$-局部有限集族仍成立.

定理1.1^[8]  设$(X, \mathcal{T})$是正则空间, 则下列论断等价:

(1)$X$是仿紧空间;

(2)$X$的每一开覆盖具有$\sigma$-局部有限开加细覆盖;

(3)$X$的每一开覆盖具有局部有限加细覆盖;

(4)$X$的每一开覆盖具有局部有限闭加细覆盖.

定理1.2^[9]  拓扑空间$(X, \mathcal{T})$是$p$-(可数)可膨胀空间当且仅当对$X$中每一$p$-局部有限的(可数)预闭集族$\mathcal{F}=~\{F_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$, 都存在$X$中的局部有限开集族$\mathcal{G} =~\{G_{\alpha}|~\alpha\in\Lambda\}$, 使得对任意$\alpha\in \Lambda$, 有$F_{\alpha}\subset G_{\alpha}$.

定理1.3^[9]  设拓扑空间$(X, \mathcal{T})$ 中的任意集族是$p$-闭包保持的, 则$X$是$p$-可数可膨胀空间当且仅当$X$的每一可数预开覆盖都存在局部有限的可数预开加细覆盖.

定理1.4^[5]  设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间, $Y\subset X$, 则

(1)若$A$为$X$中的预开集, 则$A\bigcap Y$为子空间$Y$中的预开集;

(2)若$Y$为$X$的开子空间, $A\subset Y$, 则:$A$为$X$中的预开集当且仅当$A$为$Y$中的预开集.

定义2.1  称拓扑空间$(X, \mathcal{T})$为$p$-(可数)仿紧空间, 若对$X$的每一个(可数)开覆盖都存在局部有限的预开加细覆盖. 称$A\subset X$为$p$-(可数)仿紧的, 若$A$作为$X$的子空间是$p$-(可数)仿紧空间.

注2.1  由定义可知, $p$-仿紧空间是$p$-可数仿紧空间, 反之不一定成立. 由注1.1知, 仿紧空间是$p$-仿紧空间, 可数仿紧空间是$p$-可数仿紧空间, 反之不一定成立.

由定义2.1, 显然可得

推论2.1  若$X$是$\ p\ $-仿紧空间, 则$X$的每一个开覆盖都有$\sigma $-局部有限的预开加细覆盖.

定理2.1   设$p$-可数可膨胀空间$(X, \mathcal{T})$中的任意集族是$p$-闭包保持的, 若对$X$的任意开覆盖都存在$\sigma$-局部有限的预开加细覆盖, 则$X$是$p$-仿紧空间.

证  $\mathcal{U}=\{U_{s}|~s\in S\}$是$X$ 的开覆盖, $\mathcal{V} =\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{V}_{i}$是$\mathcal{U}$的$\sigma-$ 局部有限的预开加细覆盖, 其中每一个$\mathcal{V}_{i} =\{V_{s, i}|~s\in S_{i}\}$是局部有限的预开集族. 令$W_{i} =\bigcup_{s\in S_{i}}V_{s, i}, i=1, 2, \cdots$, 则$\mathcal{W}=\{W_{i}|i=1, 2, \cdots\}$是$X$的可数预开覆盖. 由定理1.3知, 存在局部有限的可数预开覆盖$\mathcal{H}=\{H_{j}|j=1, 2, \cdot\cdot\cdot\}$加细$\mathcal{W}$. 因为$H_{j}$是预开集, 所以$H_{j}\subset H_{j}^{-\circ}\subset H_{j}^{-} $. 由引理1.1(1)和引理1.3知, $\{H_{j}^{-\circ}|j=1, 2, \cdots\}$是局部有限的开集族, 于是

$ \mathcal{G} =\{H_{j}^{-\circ}\bigcap V_{s, i}|~s\in S_{i}, i=1, 2, \cdots, j=1, 2, \cdots\} $

是$X$的局部有限的预开覆盖, 且对任意$V_{s, i}$, 存在$U_{s}$, 使得$H_{j}^{-\circ}\bigcap V_{s, i}\subset V_{s, i}\subset U_{s}$, 即$\mathcal{G}$是$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细覆盖, 所以$X$是$p$-仿紧空间.

定理2.2  若$X$是$p$-仿紧空间, 则$X$的每一个开覆盖都有$p$-局部有限加细覆盖.

证  设$\mathcal{U}$是$p$-仿紧空间$X$的开覆盖. 由推论2.1知, 存在$\mathcal{U}$的$\sigma$-局部有限的预开加细覆盖$\mathcal{V}$. 设$\mathcal{V} =\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{V}_{i}$, 其中每一个$\mathcal{V} _{i}$是局部有限的预开集族. 任意$i$, 令$H_{i}=~\bigcup \mathcal{V}_{i}$, 则$H_{i}$为预开集. 令$\mathcal{F}_{i}= ~\{V-\bigcup_{k<i}H_{k}, V\in \mathcal{V}_{i}\}$, $\mathcal{F}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{F}_{i}$.

下面证明$\mathcal{F}$是$\mathcal{U}$的一个$p$-局部有限加细覆盖. 设$x\in X$, 令

$ i(x)=\min\{i\in N|x\in \bigcup\mathcal{V}_{i}\} . $

设$V_{x}\in \mathcal{V}_{i(x)}$, 使得$x\in V_{x}$, 则$x\in \bigcup \mathcal{F}_{i(x)}$, 于是$\bigcup \mathcal{F}=X$, 所以$\mathcal{F}$是$\mathcal{U}$的加细覆盖.

任意$i>i(x)$, 任意$V\in \mathcal{V}_{i}$,

$ V_{x}\bigcap (V-\bigcup_{k<i}H_{k})\subset (\bigcup \mathcal{V}_{i(x)})\bigcap (X-\bigcup\mathcal{V}_{i(x)})=\emptyset. $

任意$i\leq i(x)$, 存在$x$的开邻域$O_{i}$与$\mathcal{V}_{i}$ 中有限个元素有非空交, 从而至多与$\mathcal{F}_{i}$中有限个元素有非空交, 于是$V_{x}\bigcap\bigcap_{i=1}^{i(x)}O_{i}$是包含$x$的预开集且至多与$\mathcal{F}$中有限个元素有非空交, 所以$\mathcal{F}$是$\mathcal{U}$的$p$-局部有限加细覆盖.

定理2.3  设$(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧的Hausdorff空间, 则对任意闭集$F$和$x\not \in F$, 存在开集$U$和预开集$V$, 使得$x\in U$, $F\subset V$, 且$U\bigcap V=\emptyset$(等价于对任意开集$U$ 及$x\in U$, 存在开集$V$, 使得$x\in V\subset V_{p}^{-}\subset U)$.

证  设$y\in F$, 因为$X$是Hausdorff空间, 所以存在开集$U_{y}$, 使得$y\in U_{y}$且$x\not \in U_{y}^{-}$, 从而$\mathcal{U}=\{U_{y}|y\in F\}\bigcup \{F^{\prime}\}$是$X$ 的开覆盖, 于是存在局部有限的预开覆盖$\mathcal{B}$加细$\mathcal{U}$. 令$V=\bigcup\{B\in \mathcal{B}|B\bigcap F\neq\emptyset\}$, 则$V$是包含$F$的预开集. 令$U=X-V^{-}$, 则$U$是包含$x$的开集(事实上, 若$x\not \in U$, 则$x\in V^{-}$, 由引理1.1(2)知, $V^{-}=\bigcup\{B^{-}\in \mathcal{B}|B\bigcap F\neq\emptyset\}$, 于是存在$U_{y}\in \mathcal{U}$使得$x\in B^{-}\subset U_{y}^{-}$, 矛盾)且$U\bigcap V=\emptyset$.

推论2.2  设$(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧的Hausdorff空间, 则$X$是$p$-正则空间.

定理2.4  设$(X, \mathcal{T})$ 是正则空间, $X$是$p$-仿紧的当且仅当$X$是仿紧的.

证  充分性. 显然成立.

必要性. 设$\mathcal{U}$是$p$-仿紧的正则空间$X$的开覆盖, 则存在局部有限的预开覆盖加细$\mathcal{U}$, 即存在$\mathcal{U}$的局部有限加细覆盖, 由定理1.1知, $X$是仿紧的.

定理2.5  设Hausdorff空间$(X, \mathcal{T})$中的任意集族是$p$-闭包保持的, 则$X$是$p$-仿紧空间当且仅当对$X$的任意开覆盖都存在局部有限的预闭加细覆盖.

证  必要性. 设$\mathcal{U}$是$p$-仿紧空间$X$的开覆盖, 则对任意$x\in X$, 存在$U_{x}\in \mathcal{U}$, 使得$x\in U_{x}$. 由定理2.3知, 存在开集$V_{x}$, 使得$x\in V_{x}\subset (V_{x})_{p}^{-}\subset U_{x}$, 则$\mathcal{V}=\{V_{x}|x\in X\}$是$X$的开覆盖, 于是存在局部有限的预开覆盖$\mathcal{W}=\{W_{\beta}|\beta\in B\}$加细$\mathcal{V}$, 由引理1.1(1)和引理1.3知, $\{(W_{\beta})_{p}^{-}|\beta\in B\}$是$X$的局部有限的预闭覆盖, 且对任意$\beta\in B$, 存在$U_{x}\in \mathcal{U}$, 使得$(W_{\beta})_{p}^{-}\subset(V_{x})_{p}^{-}\subset U_{x}$, 所以$\{(W_{\beta})_{p}^{-}|\beta\in B\}$是$\mathcal{U}$的局部有限的预闭加细覆盖.

充分性. 设$\mathcal{U}$是$X$的开覆盖, $\mathcal{A}=\{A_{s}|s\in S\}$是$\mathcal{U}$的局部有限的预闭加细覆盖. 对任意$x\in X$, 存在开集$V_{x}$, 使得$x\in V_{x}$且$V_{x}$仅与$\mathcal{A}$ 中有限个元素有非空交, 则$\mathcal{V}=\{V_{x}|x\in X\}$是$X$ 的开覆盖, 于是存在局部有限的预闭覆盖$\mathcal{F}$加细$\mathcal{V}$.

对每一$s\in S$, 令$W_{s}=X-\bigcup\{F\in \mathcal{F}, F\bigcap A_{s}=\emptyset\}$, 则$W_{s}$是包含$A_{s}$的预开集(因为$(X, \mathcal{T})$中的任意集族是$p$-闭包保持的, 由定义1.6知, $W_{s}$ 是预开集). 另外对每一$s\in S$, 每一$F\in \mathcal F$,

$ W_{s}\bigcap F\neq\emptyset$ 当且仅当$A_{s}\bigcap F\neq\emptyset. $

(1)

对每一$s\in S$, 取$U_{s}\in \mathcal{U}$, 使$A_{s}\subset U_{s}$, 令$H_{s}=U_{s}\bigcap W_{s}$. 由$A_{s}\subset H_{s}$知, $\{H_{s}|s\in S\}$覆盖$X$从而是$\mathcal{U}$的预开加细覆盖. 对任意$x\in X$, 存在$x$的开邻域$G$, $G$仅与$\mathcal{F}$中有限个元素有非空交, 设为$\{F_{1}, F_{2}, \cdot\cdot\cdot, F_{n}\}$, 则$G\subset\bigcup_{i=1}^{n}F_{i=1}$. 对任意$i\leq n$, $F_{i}\in \mathcal{F}$, 存在$V_{x}\in \mathcal{V}$, 使得$F_{i}\subset V_{x}$, 而$V_{x}$仅与$\mathcal{A}$ 中有限个元素有非空交, 于是$F_{i}$仅与$\mathcal{A}$中有限个元素有非空交. 由(1)式知, $F_{i}$ 仅与有限个$W_{s}$ 有非空交, 从而$G$仅与有限个$H_{s}$有非空交, 于是$\{H_{s}|s\in S\}$ 是$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细覆盖, 所以$X$是$p$-仿紧空间.

定理2.6  设$(X, \mathcal{T})$是拓扑空间, 下列论断等价:

(1)$X$是$p$-可数仿紧空间;

(2)$X$的每一个可数开覆盖$\{U_{i}|i\in N\}$ 存在局部有限的可数预开覆盖$\{V_{i}|i\in N\}$, 且对任意$i\in N$, 有$V_{i}\subset U_{i}$;

(3)$X$的每一个递增的开覆盖$\{U_{i}|i\in N\}$存在开覆盖$\{W_{i}|i\in N\}$, 且对任意$i\in N$, 有$(W_{i})_{p}^{-}\subset U_{i}$.

证  (1)$\Rightarrow$(2) 设$\mathcal{U}=\{U_{i}|i\in N\}$是$X$的可数开覆盖. 由(1)知, 存在$X$的局部有限的预开覆盖$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$. 对任意的$V\in \mathcal{V}$, 存在$i(V)\in N$, 使得$V\subset U_{i(V)}$. 令$V_{i}=\bigcup\{V|V\in \mathcal{V}, i(V)=i\}$, 则$\{V_{i}|i\in N\}$是局部有限的预开集族. 事实上, 若$\{V_{i}|i\in N\}$不是局部有限集族, 则存在$x\in X$, 任意开集$G$, $G$与无限个$V_{i}$有非空交, 即$G$与$\mathcal{V}$中无限个元素有非空交, 这与$\mathcal{V}$是局部有限集族相矛盾. 显然$\{V_{i}|i\in N\}$是$X$的局部有限的可数预开覆盖且对任意$i\in N$, 有$V_{i}\subset U_{i}$.

(2)$\Rightarrow$(3) 设$\mathcal{U}=\{U_{i}|i\in N\}$是$X$的递增的开覆盖. 由(2)知, 存在局部有限的可数预开覆盖$\{V_{i}|i\in N\}$, 且对任意$i\in N$, 有$V_{i}\subset U_{i}$. 令$W_{i}=X\setminus(\bigcup\{V_{j}|j>i\})^{-}$, 则$W_{i}$ 是开集. 下证$\{W_{i}|i\in N\}$是$X$的覆盖. 对任意$x\in X$, 令$i(x)=\max\{i\in N|x\in V_{i}^{-}\}$, 则$x\not \in \bigcup\{V_{j}^{-}|j>i(x)\}$. 由引理1.1(2) 知,

$ \bigcup\{V_{j}^{-}|j>i(x)\}=(\bigcup\{ V_{j}|j>i(x)\})^{-}, x\not \in (\bigcup \{V_{j}|j>i(x)\})^{-}, $

即$x\in W_{i(x)}$, 所以$\{W_{i}|i\in N\}$是$X$的开覆盖. 对任意$i\in N$, 有

$ (W_{i})_{p}^{-}\subset W_{i}^{-}\subset X\setminus(\bigcup\{V_{j}|j>i\})^{-\circ}\subset X\setminus \bigcup\{V_{j}|j>i\}, $

又

$ X\setminus \bigcup\{V_{j}|j>i\}\subset \{V_{j}|j\leq i\}\subset \{U_{j}|j\leq i\}=U_{i}, $

所以$(W_{i})_{p}^{-}\subset U_{i}$

(3)$\Rightarrow$(1) 设$\mathcal{U}=\{U_{i}|i\in N\}$是$X$的可数开覆盖. 对任意$i\in N$, 令$V_{i}=\bigcup_{j\leq i}U_{j}$, 则$\{V_{i}|i\in N\}$是$X$的递增的开覆盖. 由(3)知, 存在开覆盖$\{W_{i}|i\in N\}$, 且对任意$i\in N$, 有$(W_{i})_{p}^{-}\subset V_{i}$. 令$G_{1}=U_{1}$, $G_{i}=U_{i}\setminus\bigcup\limits_{j < i}(W_{j})_{p}^{-}$, $i>1$. 预开集$G_{i}\subset U_{i}$, $i\in N$. 由

$ \bigcup\limits_{j < i}(W_{j})_{p}^{-}\subset \bigcup\limits_{j < i}V_{j}\subset\bigcup\limits_{j < i}U_{j}, $

从而

$ G_{i}=U_{i}\setminus\bigcup\limits_{j < i}(W_{j})_{p}^{-} \supset U_{i}\setminus \bigcup\limits_{j < i}U_{j}, $

所以$\mathcal{G}=\{G_{i}|i\in N\}$是$\mathcal{U}$的预开加细覆盖. 由$\{W_{i}|i\in N\}$是$X$的开覆盖, 则对任意~$x\in X$, 存在$j\in N$, 使得$x\in W_{j}$. 当$i>j$ 时, $x$的开邻域$W_{j}$与所有$G_{i}$不相交, 于是$\mathcal{G}$是局部有限集族. 故$\mathcal{G}$是$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细覆盖, 所以$X$是$p$-可数仿紧空间.

定理2.7  若$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$是$p$-仿紧空间, 则$(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧空间.

证  设$\mathcal{U}$是$(X, \mathcal{T})$中的开覆盖, 因为$\mathcal{T}\subset \mathcal{T}^{\alpha}$, 所以$\mathcal{U}$是$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中的开覆盖, 则存在$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中局部有限的预开集族~$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$. 由$PO(X, \mathcal{T}^{\alpha})=PO(X, \mathcal{T})$, 只需证明$\mathcal{V}$在$(X, \mathcal{T})$中是局部有限的. 任意$x\in X$, 存在开集$G\in \mathcal{T}^{\alpha}$, 使得$x\in G$且$G$仅与$\mathcal{V}$中有限个元素相交, 记为$\{V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{n}\}$, 从而$x\in G \subset G^{\circ-\circ}\in\mathcal{T}$且对任意$V\in \mathcal{V}-\{V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{n}\}$有$G\bigcap V=\emptyset$, 则$G^{\circ}\bigcap V=\emptyset$, 于是有$G^{\circ}\bigcap V^{-}=\emptyset$, $G^{\circ}\bigcap V^{-\circ}=\emptyset$, 进而$G^{\circ-}\bigcap V^{-\circ}=\emptyset$, 又因为$V\in PO(X, \mathcal{T})$, $V \subset V^{-\circ}$, 所以$G^{\circ-\circ}\bigcap V=\emptyset$, 即$G^{\circ-\circ}$仅与$\mathcal{V}$ 中至多有限个元素相交, 即$\mathcal{V}$在$(X, \mathcal{T})$中是局部有限的, 所以$(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧空间.

上述定理的逆命题不成立, 即存在$(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧空间, 但是$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$不是$p$-仿紧空间.

例2.1  设$X=R$, $\mathcal{T}=\{\emptyset, X, \{1\}$. 显然, $(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧空间. 易证非空集$A\in \mathcal{T}^{\alpha} (A\in PO(X, \mathcal{T}))$当且仅当1$\in A$. 令$\mathcal{T}^{\alpha}=\{\emptyset\}\bigcup\{U\subset X|~1\in U\}$, 则$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$不是$p$-仿紧空间. 因为集族$\mathcal{U}=\{\{1, x\}|x\in X\}$是$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中的开覆盖, 但不存在$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中局部有限的预开覆盖$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$. 分下列两种情况讨论:

(1)若$\mathcal{V}=\{\{1\}_{\beta}\}_{\beta\subset B}$, 显然$\mathcal{V}$不构成$X$的覆盖.

(2)若$\mathcal{V}=~\{V_{\beta}|~\beta\in B\}$是$\mathcal{U}=\{\{1, x\}|x\in X\}$的预开加细覆盖, 则存在$\beta\in B$, 有1$\in V_{\beta}$且存在$x_{\beta}\in X$使得$V_{\beta}\subset\{1, x_{\beta}\}$, 即$V_{\beta}=\{1, x_{\beta}\}$. 令

$ B_{0}=\{\beta\in B|V_{\beta}= \{1, x_{\beta}\}\}, \mathcal{V}_{0}=\{\{1, x_{\beta}\}|\beta\in B_{0}\}, \mathcal{V}_{1}=\{\{1\}_{\beta}|\beta\in B-B_{0}\}, $

则$\mathcal{V}=\mathcal{V}_{0}\bigcup \mathcal{V}_{1}$. 假设$B_{0}$为有限集且$\mathcal{V}_{0}=\{\{1, x_{\beta_{\scriptsize_1}}\}, \{1, x_{\beta_{\scriptsize_2}}\}, \cdots, \{1, x_{\beta_{\scriptsize_n}}\}\}$, 显然

$ \mathcal{V}=\mathcal{V}_{0}\bigcup \mathcal{V}_{1}=\{\{1, x_{\beta_{\scriptsize_1}}\}, \{1, x_{\beta_{\scriptsize_2}}\}, \cdots, \{1, x_{\beta_{\scriptsize_n}}\}\}\bigcup\{\{1\}_{\beta}|\beta\in B-B_{0}\} $

不构成$X$的覆盖, 所以$\mathcal{V}_{0}$ 为无限集. 取$x_{0}=1$, 则$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中任意包含1的开集$U$都与$\mathcal{V}$中无限个元素相交, 所以$\mathcal{V}$不是$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中的局部有限集族.

因此不存在$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$中局部有限的预开覆盖$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$, 故$(X, \mathcal{T}^{\alpha})$不是$p$-仿紧空间.

定理2.8  若$X$是$p$-可数仿紧空间且$X$的任意开覆盖都存在$\sigma$-局部有限的开加细覆盖, 则$X$是$p$-仿紧空间.

证  设$\mathcal{U}$是$p$-可数仿紧空间$X$的开覆盖, $\mathcal{V} =\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{V}_{i}$是$\mathcal{U}$的$\sigma$-局部有限的开加细覆盖, 其中每一个$\mathcal{V}_{i} =~\{V_{s, i}|~s\in S_{i}\}$是局部有限的开集族. 任意$i$, 令$W_{i}=\bigcup_{s\in S_{i}} V_{s, i}$, 则$\{W_{i}|i\in N\}$是$X$的可数开覆盖. 由定理2.6(2)知, 存在局部有限的可数预开覆盖$\{H_{i}|i\in N\}$, 且对任意$i\in N$, 有$H_{i}\subset W_{i}$, 于是$\mathcal{G} =~\{H_{i}\bigcap V_{s, i}|~s\in S_{i}, i\in N\}$是$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细, 所以$X$是$p$-仿紧空间.

定理2.9  若$X$是$p$-可数可膨胀空间, 则$X$是$p$-可数仿紧空间.

证  设$\mathcal{U}=\{U_{i}|i\in N\}$是$p$ -可数可膨胀空间$X$的可数开覆盖. 令${V_1} = {U_1},{V_i} = {U_i}\backslash \bigcup\limits_{j < i} {{U_j}} ,i > 1$. 任意$x \in X,存在i \in N$. 对任意$k > i$,有

$ U_{i}\bigcap V_{k}=U_{i}\bigcap (U_{k}\setminus\bigcup_{j<k} U_{j})\subset U_{i}\bigcap (X\setminus U_{i})=\emptyset, $

所以$\{V_{i}|i\in N\}$是局部有限的可数集族, 显然是$p$-局部有限的可数集族. 由引理1.2知, $\{(V_{i})_{p}^{-}|i\in N\}$ 是$p$-局部有限的可数预闭集族. 因为$X$是$p$-可数可膨胀空间, 由定理1.2知, 存在$X$中的局部有限的开集族$\mathcal{W}=\{W_{i}|i\in N\}$, 使得对任意$i\in N$, 有$(V_{i})_{p}^{-}\subset W_{i}$, 于是$\mathcal{G}=\{U_{i}\bigcap W_{i}|i\in N\}$是$\mathcal{U}$的局部有限开加细覆盖, 显然是$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细覆盖, 所以$X$是$p$-可数仿紧空间.

推论2.3  若$X$是$p$-可膨胀空间, 则$X$是$p$-可数仿紧空间.

定义3.1  设$(X, \mathcal{T})$是拓扑空间, $A\subset X$, 称$A$ 为$\ \alpha p\ $-仿紧子集, 若$(X, \mathcal{T})$中$A$的任意开覆盖$\mathcal{U}$, 存在$(X, \mathcal{T})$中局部有限的预开覆盖$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$.

定义3.2  设$(X, \mathcal{T})$是拓扑空间, $A\subset X$, 称$A$为$g$闭集, 若当$A\subset U$且$U$是开集时, 有$A^{-}\subset U$.

注3.1  由定义知, 闭集是$g$闭集.

定理3.1  $p$-仿紧空间$(X, \mathcal{T})$中的每个$g$闭集$A$是$\ \alpha p\ $-仿紧子集.

证  设$\mathcal{U}=\{U_{s}|s\in S\}$是$A$在$(X, \mathcal{T})$中的任意开覆盖, 即$A\subset\bigcup\{U_{s}|s\in S\}$. 因为$A$是$g$闭集, 所以$A^{-}\subset\bigcup\{U_{s}|s\in S\}$. 对任意$x\not \in A^{-}$, 存在开集$W_{x}$, 使得$x\in W_{x}$且$W_{x}\bigcap A =\emptyset$. 令$\mathcal{W}=\{U_{s}|s\in S\}\bigcup\{W_{x}|x\not \in A^{-}\}$, 则$\mathcal{W}$是$X$的开覆盖, 由$X$是$p$-仿紧空间, 则存在$\mathcal{W}$的局部有限的预开加细覆盖$\mathcal{H}=\{H_{\beta}|\beta\in B\}$, 从而对任意$\beta\in B$, 或者存在$s(\beta)\in S$使得$H_{\beta}\subset U_{s(\beta)}$, 或者存在$x(\beta)\not \in A^{-}$使得$H_{\beta}\subset W_{x(\beta)}$.

令$B_{0}=\{\beta\in B|H_{\beta}\subset U_{s(\beta)}\}$, 则$\mathcal{V}=\{H_{\beta}|\beta\in B_{0}\}$ 是$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细覆盖且$A\subset\bigcup\{ H_{\beta}|\beta\in B_{0}\}$(事实上, 若$x\in A$, 则存在$H_{\beta}\in \mathcal{H}$使得$x\in H_{\beta}$, 假设$H_{\beta}\subset W_{x(\beta)}$, 则$x\in H_{\beta}\subset W_{x(\beta)}\subset A^{\prime}$, 矛盾, 于是$H_{\beta}\subset U_{s(\beta)})$, 所以$A$是$\ \alpha p\ $-仿紧子集.

推论3.1  $p$-仿紧空间$(X, \mathcal{T})$中每个闭集$A$都是$\ \alpha p\ $-仿紧子集;$\ p\ $-仿紧空间$(X, \mathcal{T})$的闭子空间$A$是$p$-仿紧的.

由定理1.4可得

定理3.2  拓扑空间$(X, \mathcal{T})$中每个开的$\ \alpha p\ $-仿紧子集$A$是$p$-仿紧的.

定理3.3  设$A$是$(X, \mathcal{T})$的既开又闭的子空间, 则$A$是$\ \alpha p\ $-仿紧子集当且仅当$A$是$p$-仿紧的.

证  必要性由定理3.2显然成立.

充分性设$\mathcal{U}=\{U_{s}|s\in S\}$是$(X, \mathcal{T})$中子集$A$的任意开覆盖, 则$\mathcal{U}_{A}=\{U_{\alpha}\bigcap A|\alpha\in \Lambda\}$是子空间$(A, \mathcal{T}_{A})$中的开覆盖. 由$A$是$p$-仿紧的知, 存在$(A, \mathcal{T}_{A})$中局部有限的预开覆盖$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$. 由定理1.4知, $\mathcal{V}$是$(X, \mathcal{T})$中的预开集族. 下证$\mathcal{V}$在$(X, \mathcal{T})$中是局部有限的. 任意$x\in X$, 若$x\in A$, 存在开集$O_{x}\in \mathcal{T}_{A}\subset \mathcal{T}$, 使得$x\in O_{x}$且$O_{x}$仅与$\mathcal{V}$中有限个元素相交; 若$x\in X-A$, 显然$X-A$是$(X, \mathcal{T})$中的开集且$X-A$不与$\mathcal{V}$中的元素相交, 因此$\mathcal{V}$在$(X, \mathcal{T})$中是局部有限的. 对任意$ V\in \mathcal{V}$, 存在$\alpha\in \Lambda$使得$V\subset U_{\alpha}\bigcap A\subset U_{\alpha}$, 即$\mathcal{V}$是$(X, \mathcal{T})$中$\mathcal{U}$的局部有限的预开加细覆盖, 所以$A$是$\ \alpha p\ $-仿紧子集.

推论3.2  $\ p$ - 仿紧空间的既开又闭的子空间是$p$-仿紧的.

定义3.3  设$(X, \mathcal{T})$是拓扑空间, $ A\subset X$, 称$A$为$\theta_{p}$-开集, 若对任意$x\in A$, 存在开集$U$使得$x\in U\subset U_{p}^{-}\subset A$; 称$A$为$\theta_{p}$-闭集, 若$A^{\prime}$为$\theta_{p}$-开集.

注3.2  由定义知, $\theta_{p}$开集$\Longrightarrow$开集; $\theta_{p}$-闭集$\Longrightarrow $闭集$\Longrightarrow g$闭集.

定理3.4  设Hausdorff空间$(X, \mathcal{T})$中任意集族是$p$-闭包保持的, 若$A$为$\ \alpha p\ $-仿紧子集, 则$A$为$\theta_{p}$-闭集.

证  设$x\in A^{\prime}$, 任意$y\in A$, 由$X$是Hausdorff空间知, 存在开集$U_{y}$使得$y\in U_{y}$, $x\not \in U_{y}^{-}$. 令$\mathcal{U}=\{U_{y}|y\in A\}$, 则$\mathcal{U}$是$(X, \mathcal{T})$中$A$的开覆盖, 因为$A$是$\ \alpha p\ $-仿紧子集, 所以存在$(X, \mathcal{T})$中局部有限的预开覆盖$\mathcal{V}$加细$\mathcal{U}$. 令$W=\bigcup\{V|V\in \mathcal{V}\}$, 显然$W$是预开集且$x\not \in W$(事实上, 任意$V\in \mathcal{V}$, 存在$U_{y}\in \mathcal{U}$使得$V\subset U_{y}$, 则$x\not \in V^{-}$. 由定义1.6知$W^{-}=\bigcup\{ V^{-}|V\in \mathcal{V}\}$, 所以$x\not \in W$). 令$G=W^{-\prime}$, 则$G$是包含$x$的开集, 由

$ W\subset W^{-\circ}\subset( W_{{p}^{\circ}}\subset((W^{-\prime})_{p}^{-})^{\prime}\subset(G_{p}^{-})^{\prime}, $

所以$x\in G\subset G_{p}^{-}\subset A^{\prime}$, 即$A^{\prime}$是$\theta_{p}$-开集, 故$A$是$\theta_{p}$-闭集.

推论3.3  设Hausdorff空间$(X, \mathcal{T})$中任意集族是$p$-闭包保持的, 若$(X, \mathcal{T})$是$p$-仿紧空间, 则下列条件等价:

(1)$A$为$\ \alpha p\ $-仿紧子集;

(2)$A$为$\theta_{p}$-闭集;

(3)$A$为闭集;

(4)$A$为$g$闭集.