设$E$为一实Banach空间, $C$为$E$的一个非空闭凸子集.若映射$T:C\rightarrow C$满足条件

$\begin{equation*} \|Tx-Ty\|\leq {\|x-y\|}, \forall x,y\in{C}, \end{equation*}$

则称$T$为非扩张映射.记$F(T)$为$T$的不动点集, 即$F(T)=\{x\in{C}:Tx=x\}$.

若$f:C\rightarrow C$, 若存在一个实数$\rho\in(0,1)$并且满足条件

$\begin{equation*} \|f(x)-f(y)\|\leq {\rho\|x-y\|}, \forall x,y\in{C}, \end{equation*}$

则称$f$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射.

设$C$是Hilbert空间中的非空闭凸子集, 参数族$\Gamma=\{T(s):s\in{\mathbb{R}^+}\}$被称为非扩张半群, 若满足以下条件:

(ⅰ) $T(0)x=x$, $\forall x\in{C}$;

(ⅱ) $T(s+t)=T(s)T(t)$, $\forall s,t \in{\mathbb{R}^+}$;

(ⅲ) $\|T(s){x}- T(s){y}\|\leq {\|x-y\|}$, $\forall x,y\in{C},s\geq 0$;

(ⅳ) $\forall x\in{C}$, 映射$T(\cdot)x:\mathbb{R}^+\rightarrow C$是连续的.

$F(\Gamma)$表示$\Gamma$的不动点集, 即$F(\Gamma)=\{x\in C:T(s)x=x,0\leq s<\infty\}$.

粘性逼近方法^{[1-2, 4-7, 9-12]}是一种非常重要的方法, 因为它们经常被应用于凸最优化, 线性规划, 单调包含以及椭圆微分方程等等.

1967年Browder^[1]首先在Banach空间中固定$u$, 讨论了迭代格式

$\begin{align} x_t=tu+(1-t)Tx_t \end{align}$

(1.1)

在一定条件下的强收敛性.

1976年, Brezis ^[2]在Hilbert空间中讨论了非扩张半群的迭代格式

$\begin{align} x_t=\frac{1}{t}\int _0^t T(s)x_tds,t\in(0,1), \end{align}$

(1.2)

不过仅仅得到了弱收敛性.

2008年Somyot ^[5]等在Hilbert空间中讨论了非扩张半群不动点的如下迭代格式:

$\begin{align} x_t=tf(x)+(1-t)\frac{1}{\lambda_t}\int _0^{\lambda_t} T(s)xds, \end{align}$

(1.3)

并在适当条件下证明了由(1.3) 式得到的序列的强收敛性.

2012年Rabian ^[6]等在上述文献的基础上, 在Banach空间中讨论了非扩张半群的迭代算法

$\begin{equation} \label{} \begin{cases} y_n=\varepsilon_nx_n+(1-\varepsilon_n)T(t_n)x_n, \\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)y_n. \end{cases} \end{equation}$

(1.4)

在此基础上, 本文将在具有一致Gateaux可微范数的Banach空间$C$中, 建立了一个逼近非扩张半群公共不动点的粘性逼近方法

$\begin{equation} \label{} \begin{cases} x_0=x\in{C}, \\ y_n=\varepsilon_nx_n+(1-\varepsilon_n)T(s)x_n, \\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_n \frac{1}{s_n}\int _0^{s_n} T(s)y_nds, \end{cases} \end{equation}$

(1.5)

其中$\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$, $\{\gamma_n\}$, $\{\varepsilon_n\}$为$(0,1)$中的实数序列, 并证明该迭代方法强收敛到某类变分不等式问题的唯一解.

$E$为一实Banach空间, $E^*$为$E$的对偶空间, $\langle\cdot,\cdot\rangle$表示广义对偶对, 称$J:E\rightarrow{2^{E^*}}$为正规对偶映像, 如果

$\begin{equation*} J_x=\{f^*\in {E^*}:\langle x,f^*\rangle=\|x\|^2=\|f^*\|^2\},\forall x\in {E}. \end{equation*}$

今后均用$j$表示单值赋范对偶映射.

若$S=\{x\in{E}:\|x\|=1\}$为$E$的单位球面, 对任意的$x,y\in{S}$, $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\|x+ty\|-\|x\|}t$一致存在, 则称$E$的范数是一致Gateaux可微的.

设$C$是$E$的非空闭凸子集.参数族$\Gamma=\{T(s):s\in{\mathbb{R}^+}\}$为非扩张半群, $f:C\rightarrow C$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射.

定义

$\begin{align} T_{t,n}x=\frac{(1-\alpha_n)t}{\gamma_n+t\beta_n}f(x) +\frac{(1-t)\gamma_n}{\gamma_n+t\beta_n}\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t} T(s)xds, \end{align}$

(2.1)

其中$t\in(0,1)$, $n\geq 0$, $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\omega_t=\infty$.

引理1 ^{[2, 5]}设$C$为实Banach空间$E$的非空闭凸子集, $T:C\rightarrow C$为非扩张映射, $F(T)\neq\varnothing.$对任意固定的$u\in E$以及$t\in(0,1)$, 则由$C\ni x\mapsto tu+(1-t)Tx$所定义的压缩算子的唯一不动点$z_t$, 在$t\rightarrow 0$时强收敛于$p\in F(T)$, 其中$p$是与$u$的距离最近的一点.

引理2 ^[3]设$H$为一个Hilbert空间, $C$为实$H$的非空闭凸子集, $f:C\rightarrow C$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射, 则\begin{equation*} \langle x-y, (I-f)y\rangle\geq (1-\rho)\|x-y\|^2, x, y\in C. \end{equation*}

引理3 ^[5]设$E$为一实Banach空间, $E^*$为$E$的对偶空间, $J:E\rightarrow{2^{E^*}}$为正规对偶映像, 则对任意的$x,y\in E$, 有

$\begin{equation*} \|x+y\|^2\leq \|x\|^2+2 \langle y, j(x+y)\rangle, \forall j(x+y)\in {J(x+y)}. \end{equation*}$

引理4 ^[6-8]设$\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$均为非负实数列, 对任意$\lambda_n\in [0,1]$, 若存在正整数$N$使得\begin{equation*} a_{n+1}\leq(1-\lambda_n)a_n+b_n+c_n, \forall n\geq N, \end{equation*}其中$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_n=\infty$, $b_n=o(\lambda_n)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n<\infty$, 则$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= 0$.

定理1 设$C$为Banach空间$E$的一个非空闭凸子集, 参数族$\Gamma=\{T(s):s\in{\mathbb{R}^+}\}$为非扩张半群, $f:C\rightarrow C$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射.若算子$T_{t,n}$由(2.1) 式所定义, 则对任意的$t\in(0,1)$, $T_{t,n}$是压缩的.

证 设$\forall x,y\in C$, 由$f$的压缩性以及$T$的非扩张性, 可得

$\begin{align*} & \|T_{t,n}x-T_{t,n}y\|\\ = &\|\frac{(1-\alpha_n)t}{\gamma_n+t\beta_n}f(x)+\frac{(1-t)\gamma_n}{\gamma_n+t\beta_n}\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t} T(s)xds-\frac{(1-\alpha_n)t}{\gamma_n+t\beta_n}f(y)-\frac{(1-t)\gamma_n}{\gamma_n+t\beta_n}\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t} T(s)yds\| \notag \\ \leq& \frac{(1-\alpha_n)t}{\gamma_n+t\beta_n}\|f(x)-f(y)\|+\frac{(1-t)\gamma_n}{\gamma_n+t\beta_n}\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}\|T(s)x-T(s)y\|ds \notag \\ \leq & \frac{\rho(1-\alpha_n)t+(1-t)\gamma_n}{\gamma_n+t\beta_n}\|x-y\| \notag \\ \leq& \frac{\gamma_n+t\rho\beta_n}{\gamma_n+t\beta_n}\|x-y\|. \end{align*}$

因为$\rho\in(0,1)$, 所以$0<\frac{\gamma_n+t\rho\beta_n}{\gamma_n+t\beta_n}<1$, 即$T_{t,n}$为压缩映射.由Banach压缩映象原理可知, $T_{t,n}$存在唯一的不动点, 记作$p_{t,n}$, 即

$\begin{equation} p_{t,n}=T_{t,n}p_{t,n}=\frac{(1-\alpha_n)t}{\gamma_n+t\beta_n}f(p_{t,n})+\frac{(1-t)\gamma_n}{\gamma_n+t\beta_n}\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}\mbox{ds}. \end{equation}$

(3.1)

若固定$n$, 由引理1以及文献[5]可得$\lim\limits_{t\rightarrow 0}p_{t,n}=p_n\in F(\Gamma)$, 又$p_n$是与$f(p_n)$距离最近的点, 可记$p_n=\tilde{x}\in F(\Gamma)$, 所以$\lim\limits_{t\rightarrow 0}p_{t,n}=\tilde{x}\in F(\Gamma)$.

定理2 设$E$为具有一致Gateaux可微范数的实Banach空间, $C$为$E$的非空闭凸子集, $\Gamma=\{T(s):s\in{\mathbb{R}^+}\}$为非扩张半群, $F(\Gamma)\neq\varnothing$, 算子$T_{t,n}$由(2.1) 式所定义.设$f:C\rightarrow C$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射.序列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$由(1.5) 式所定义, 其中实数序列$\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$, $\{\gamma_n\}$, $\{\varepsilon_n\}$为$(0,1)$中的实数序列, $n\geq 0$, $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}s_n=\infty$, 且满足下列条件:

(ⅰ) $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1$, $n\geq 0$;

(ⅱ) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\alpha_n= 0$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n= \infty$;

(ⅲ) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\gamma_n= 0$.

则序列$\{x_n\}$有界, 且强收敛于变分不等式$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0$的唯一解$\tilde{x}$, 其中$x,\tilde{x}\in F(\Gamma)$.

证 设$p\in F(\Gamma)$, 由$T$的非扩张性得\begin{equation*} \|y_n-p\|=\|\varepsilon_nx_n+(1-\varepsilon_n)T(s)x_n-p\|\leq \|x_n-p\|. \end{equation*}

对于$\forall n \geq 0$, 由$T$的非扩张性和$f$的压缩性, 有

$\begin{align*} \|x_{n+1}-p\|&=\|\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_n\frac{1}{s_n}\int _0^{s_n}T(s)y_nds-p\| \notag \\ &\leq \alpha_n\|f(x_n)-p\|+\beta_n\|x_n-p\|+\gamma_n\|\frac{1}{s_n}\int _0^{s_n}T(s)y_nds-p\| \notag \\ &\leq \rho\alpha_n\|x_n-p\|+\alpha_n\|f(p)-p\|+(1-\alpha_n)\|x_n-p\| \notag \\ &=(1-(1-\rho)\alpha_n)\|x_n-p\|+\alpha_n\|f(p)-p\| \notag \\ &\leq \max\{\|x_0-p\|,\frac{f(p)-p}{1-\rho}\}, \end{align*}$

所以$\{x_n\}$有界, 进一步可得$\{y_n\}$, $\{f(x_n)\}$均有界.

另一方面, 令$\tilde{x}\in F(\Gamma)$, 由引理3可知

$\begin{align} & \|x_{n+1}-\tilde{x}\|^2=\|\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_n\frac{1}{s_n}\int _0^{s_n}T(s)y_nds-\tilde{x}\|^2 \notag \\ \leq& \|\gamma_n(\frac{1}{s_n}\int _0^{s_n}T(s)y_nds-\tilde{x})+\beta_n(x_n-\tilde{x})\|^2+2\alpha_n \langle f(x_n)-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle \notag \\ \leq& [\gamma_n\|\frac{1}{s_n}\int _0^{s_n}T(s)y_nds-\tilde{x}\|+\beta_n\|x_n-\tilde{x}\|]^2 +2\alpha_n \langle f(x_n)-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle \notag \\ \leq& (1-\alpha_n)^2\|x_n-\tilde{x}\|^2 +2\alpha_n \langle f(x_n)-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle \notag \\ \leq & (1-\alpha_n)^2\|x_n-\tilde{x}\|^2 +2\alpha_n\|f(x_n)-f(\tilde{x})\|\|x_{n+1}-\tilde{x}\|+2\alpha_n \langle f(\tilde{x})-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle \notag \\ \leq& (1-\alpha_n)^2\|x_n-\tilde{x}\|^2 +\rho\alpha_n(\|x_n-\tilde{x}\|^2+\|x_{n+1}-\tilde{x}\|^2)+2\alpha_n \langle f(\tilde{x})-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle . \end{align}$

(3.2)

若记$M=\sup\|x_n-\tilde{x}\|^2$, 整理(3.2) 式得

$\begin{align*} \|x_{n+1}-\tilde{x}\|^2 &\leq[1-\frac{2(1-\rho)}{1-\rho\alpha_n}\alpha_n]\|x_n-\tilde{x}\|^2+\frac{2\alpha_n}{1-\rho\alpha_n}\langle f(\tilde{x})-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle +\frac{\alpha_n^2}{1-\rho\alpha_n}M. \end{align*}$

由定理1, 不妨设$p_{t,n}$为$T_{t,n}$的唯一不动点, 将(2.1) 式另记为

$\begin{align} p_{t,n}=tf(p_{t,n})+\frac{1-t}{1-\alpha_n}[\gamma_n\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}ds+\beta_np_{t,n}]. \end{align}$

(3.3)

于是

$\begin{align*} x_n-p_{t,n}=& t(x_n-f(p_{t,n}))+(1-t)[\frac{\beta_n}{1-\alpha_n}(x_n-p_{t,n})\\ &+\frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}(x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}ds)]. \end{align*}$

所以

$\begin{align} & \|x_n-p_{t,n}\|^2 \leq(1-t)^2\|\frac{\beta_n}{1-\alpha_n}(x_n-p_{t,n})\notag\\ & +\frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}(x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}ds)\|^2+2t\langle x_n-f(p_{t,n}),j(x_n-p_{t,n})\rangle \notag \\ \leq &(1-t)^2[\frac{\beta_n}{1-\alpha_n}\|x_n-p_{t,n}\|+ \frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\| \notag \\ &+ \frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}\|\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}ds\|]^2 + 2t\langle x_n-f(p_{t,n}),j(x_n-p_{t,n})\rangle \notag \\ \leq& (1-t)^2[\|x_n-p_{t,n}\|+\frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\|]^2+2t\langle x_n-p_{t,n},j(x_n-p_{t,n}) \rangle \notag \\ &+2t\langle p_{t,n}-f(p_{t,n}),j(x_n-p_{t,n})\rangle \notag \\ \leq& (1-t)^2[\|x_n-p_{t,n}\|+\frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\|]^2 \notag \\ &+2t\|x_n-p_{t,n}\|^2+2t\langle p_{t,n}-f(p_{t,n}),j(x_n-p_{t,n})\rangle \notag \\ &=(1+t^2)\|x_n-p_{t,n}\|+(1-t)^2[\frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\|]^2 \notag \\ &+2(1-t)^2 \frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\|\|x_n-p_{t,n}\|+2t\langle p_{t,n}-f(p_{t,n}),j(x_n-p_{t,n})\rangle \notag \\ \leq& (1+t^2)\|x_n-p_{t,n}\|^2+\frac{\gamma_n}{1-\alpha_n}M_1+2t\langle p_{t,n}-f(p_{t,n}),j(x_n-p_{t,n})\rangle, \end{align}$

(3.4)

其中

$M_1=\sup\{\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\|^2+2\|x_n-\frac{1}{\omega_t}\int _0^{\omega_t}T(s)x_nds\|\|x_n-p_{t,n}\|,n\geq 0\}.$

(3.5)

整理(3.4) 式

$\begin{align} \langle f(p_{t,n})-p_{t,n},j(x_n-p_{t,n})\rangle\leq \frac{t}{2}M_2+ \frac{\gamma_n}{2t(1-\alpha_n)}M_1, \end{align}$

其中$M_2\geq \sup\{\|p_{t,n}-x_n\|^2,0<t<1, n\geq0\}$.由(3.5) 式并注意条件(ⅲ), 可得

$\begin{align} \lim\limits_{t\rightarrow 0}\sup \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \langle f(p_{t,n})-p_{t,n},j(x_n-p_{t,n})\rangle \leq 0. \end{align}$

(3.6)

又因为$\lim\limits_{t\rightarrow 0}p_{t,n}=\tilde{x}$, 所以

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \langle f(\tilde{x})-\tilde{x},j(x_n-\tilde{x})\rangle \leq 0, $

所以

$\begin{align} \|x_{n+1}-\tilde{x}\|^2 \leq& [1-\frac{2(1-\rho)}{1-\rho\alpha_n}\alpha_n]\|x_n-\tilde{x}\|^2\notag\\ &+\frac{2(1-\rho)\alpha_n}{1-\rho\alpha_n}[\frac{1}{1-\rho}\langle f(\tilde{x})-\tilde{x},j(x_{n+1}-\tilde{x}) \rangle +\frac{\alpha_n}{2(1-\rho)}M]. \end{align}$

(3.7)

记$\lambda_n=\frac{2(1-\rho)}{1-\rho\alpha_n}\alpha_n$, 则由(3.6), (3.7) 式和引理4, 可知

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_n-\tilde{x}\|=0,$

即$\{x_n\}$强收敛于$\tilde{x}\in F(\Gamma)$.

下面说明$\tilde{x}$是变分不等式$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0,\tilde{x}\in F(\Gamma)$的唯一解.

根据式(3.1) 式可知

$\begin{align*} (I-f)p_{t,n}&=[1-\frac{\gamma_n+t\beta_n}{(1-\alpha_n)t}]p_{t,n}+\frac{(1-t)\gamma_n}{(1-\alpha_n)t}\frac{1}{\omega_t}\int_0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}ds \notag \\ &=\frac{(t-1)\gamma_n}{(1-\alpha_n)t}(p_{t,n}-\frac{1}{\omega_t}\int_0^{\omega_t}T(s)p_{t,n} ds), \end{align*}$

$\forall p\in F(\Gamma)$, 根据引理2, 有

$\begin{align*} \langle(I-f)p_{t,n},p_{t,n}-p\rangle&=\langle\frac{(t-1)\gamma_n}{(1-\alpha_n)t}(p_{t,n}-\frac{1}{\omega_t}\int_0^{\omega_t}T(s)p_{t,n}ds), p_{t,n}-p\rangle \notag \\ &=\frac{(t-1)\gamma_n}{(1-\alpha_n)t}\langle\ \frac{1}{\omega_t}\int_0^{\omega_t}(p_{t,n}-T(s)p_{t,n})ds-\frac{1}{\omega_t}\int_0^{\omega_t}(p-T(s)p)ds,p_{t,n}-p\rangle \notag \\ &=\frac{(t-1)\gamma_n}{(1-\alpha_n)t}\frac{1}{\omega_t}\langle\int_0^{\omega_t}[(I-T(s))p_{t,n}-(I-T(s))p]ds,p_{t,n}-p\rangle \notag \\ &=\frac{(t-1)\gamma_n}{(1-\alpha_n)t}\frac{1}{\omega_t}\int_0^{\omega_t}\langle[(I-T(s))p_{t,n}-(I-T(s))p],p_{t,n}-p\rangle ds \leq 0, \end{align*}$

所以

$\langle(I-f)p_{t,n},p-p_{t,n}\rangle\geq 0,\forall p\in F(\Gamma).$

由于$\lim\limits_{t\rightarrow 0}p_{t,n}=\tilde{x}$, 所以

$\langle(I-f)\tilde{x},p-\tilde{x}\rangle\geq 0, $

因此$\tilde{x}$是$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0,x\in F(\Gamma)$的解.

若另外有一个$\acute{x}\in F(\Gamma)$也是变分不等式$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0$的解, 则有

$\langle(I-f)\tilde{x},\acute{x}-\tilde{x}\rangle\geq 0$

以及$\langle(I-f)\acute{x},\tilde{x}-\acute{x}\rangle\geq 0$.两式相加得

$\begin{align*} (1-\rho)\|\tilde{x}-\acute{x}\|^2\leq \langle(I-f)\tilde{x}-(I-f)\acute{x},\tilde{x}-\acute{x}\rangle\leq 0, \end{align*}$

所以$\tilde{x}=\acute{x}$.因此$\tilde{x}$是$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0$的唯一解.

定理3 设$E$为具有一致Gateaux可微范数的实Banach空间, $C$为$E$的非空闭凸子集. $\Gamma=\{T(s):s\in{\mathbb{R}^+}\}$为非扩张半群, $F(\Gamma)\neq\varnothing$.设$f:C\rightarrow C$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射, $T_{t,n}$为由(2.1) 式所定义的压缩映射.如果定义序列

$\begin{align} x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_n \frac{1}{s_n}\int _0^{s_n} T(s)x_nds, \end{align}$

(3.8)

其中实数序列$\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$, $\{\gamma_n\}$为$(0,1)$中的实数序列,

$\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\alpha_n= 0, \sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n= \infty, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}s_n=\infty,$

则序列$\{x_n\}$有界, 且强收敛于变分不等式$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0$的唯一解$\tilde{x}$, 其中$x,\tilde{x}\in F(\Gamma)$.

证 当$\varepsilon_n=1$时, 粘性迭代格式(1.5) 便退化为(3.8) 式, 由定理2类似可证.

定理4 设$E$为具有一致Gateaux可微范数的实Banach空间, $C$为$E$的非空闭凸子集. $\Gamma=\{T(s):s\in{\mathbb{R}^+}\}$为非扩张半群, $F(\Gamma)\neq\varnothing$.设$f:C\rightarrow C$是具有压缩系数$\rho$的压缩映射, $T_{t,n}$为由(2.1) 式所定义的压缩映射.如果定义序列

$\begin{equation} \label{} \begin{cases} y_n=\varepsilon_nx_n+(1-\varepsilon_n)T(s)x_n, \\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)T(t)y_n, \end{cases} \end{equation}$

(3.9)

其中实数序列$\{\varepsilon_n\}$, $\{\alpha_n\}$为$(0,1)$中的实数序列, $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\alpha_n= 0$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n= \infty$, $n\geq 0$, 则序列$\{x_n\}$有界, 且强收敛于变分不等式$\langle(I-f)\tilde{x},x-\tilde{x}\rangle\geq 0$的唯一解$\tilde{x}$, 其中$x,\tilde{x}\in F(\Gamma)$.

证 当$\beta_n=0$时, 粘性迭代格式(1.5) 便退化为(3.9) 式, 由定理2类似可证.事实上, 该定理是文献[6]的推广.因为若$T=I$, 格式(3.9) 式便可成为(1.4) 式.