设 $\alpha(y)$是在任何有限闭区间 $[0, X]$上有界变差的实或复函数.Laplace-Stieltjes变换^[1]:

$ \begin{equation}F(s)=\int_0^{+\infty}e^{sy}d\alpha(y)~~(s=\sigma+it).\label{e1} \end{equation} $

(1.1)

(为了表述的方便, 后面均称为L-S变换)

由Taylor级数、Dirichlet级数和L-S变换定义的函数的增长性和正规增长性的研究的方法和结果已经有不少^[1-10], 比如按照Ritt的想法, 类似于研究Taylor级数的方法, 定义Dirichlet级数的级, 在系数满足一定的条件下得到了不少的结果, 也有运用Knopp-Kojima方法^[12]来研究Dirichlet级数的增长性和正规增长性, 这样的结果比较少.本文在特定的 $\{\lambda_n\}$下进行研究, 得到L-S变换在全平面上的正规增长级的等价条件.

定义1  L-S变换(1.1) 的收敛横坐标 $\sigma_{c}$、一致收敛横坐标 $\sigma_{u}$及绝对收敛横坐标 $\sigma_{a}$如下:

$\sigma_{c}=\inf\{\sigma_{0}|$L-S变换(1.1) 在 $\sigma<\sigma_{0}$内收敛, $\sigma_{0}\in R\}$;

$\sigma_{u}=\inf\{\sigma_{1}|$L-S变换(1.1) 在 $\sigma\leq\sigma_{1}$上一致收敛, $\sigma_{1}\in R\}$;

$\sigma_{a}=\inf\{\sigma_{2}|$L-S变换(1.1) 在 $\sigma\leq\sigma_{2}$上绝对收敛, $\sigma_{2}\in R\}$.

定义2  L-S变换(1.1) 的最大模, 系数和最大项可以分别定义为

$ \begin{eqnarray*} M_u(\sigma, F)&=&\sup\limits_{0 < x < +\infty, -\infty < t < +\infty}|\int_0^xe^{(\sigma+it)y}d\alpha(y)|, \\ \mu(\sigma, F)&=&\max\limits_{1\leq n < +\infty}B_n^*e^{\lambda_n\sigma}, \end{eqnarray*} $

其中 $B_n^*=\sup\limits_{n\leq x\leq n+1}|\int_{n}^xe^{ity}d\alpha(y)|.$

假设(1.1) 满足

$ \begin{equation} \overline{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}}\frac{\ln B_n^*}{n}=-\infty. \end{equation} $

(1.2)

根据文[1]的一致收敛横坐标的公式可知(1.1) 的一致收敛横坐标 $\sigma_{u}=+\infty, $因此(1.1) 定义了一个复平面上解析的函数 $F(s)$.

定义3  当 $\sigma_{u}=+\infty$时, 定义它的级 $\tau_u=\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}}\frac{\ln\ln M_u(\sigma, F)}{\sigma}.$正规增长级 $\tau_u=\lim\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\ln\ln M_u(\sigma, F)}{\sigma}.$

根据文[1], 取 $D=0, K=1$可得如下引理:

引理1  对于L-S变换(1.1),

(1) 若 $\sigma_{u}>-\infty, $那么 $\mu(\sigma, F)\leq 2M_u(\sigma, F);$

(2) $\forall\varepsilon>0, $ $\exists C>0, $ $ M_u(\sigma, F)\leq C e^{|\sigma|}\mu(\sigma+\varepsilon, F).$

引理2^[3]  (1) 设 $b$是一正的常数, $\sigma$是任一实数, 那么函数 $\varphi(x)=-bx\ln x+x\sigma~(x>0)$在 $x=x_{0}=e^{\frac{\sigma}{b}-1}$时达到最大值 $be^{\frac{\sigma}{b}-1}$.

(2) 设 $c$是一正的常数, $x$是任一正实数, 那么函数 $\psi(\sigma)=e^{c\sigma}-x\sigma~(-\infty<\sigma<+\infty)$在 $\sigma=\sigma_{0}=-\frac{\ln c-\ln x}{c}$时达到最小值 $\frac{x}{c}(\ln ce-\ln x)$.

定理1  设L-S变换(1.1) 满足 $\sigma_u=+\infty, $则

$ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{\sigma\rightarrow +\infty} \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F) }{\sigma}=\rho \Leftrightarrow\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}=-\frac{1}{\rho}\quad(0<\rho<+\infty), $

当 $\rho=0$时, $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}=-\infty$；当 $\rho=+\infty$时, $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}=0$.

证  考虑 $0<\rho<\infty$情形.先证右边条件的必要性. $\forall\varepsilon>0$, $\exists\sigma_{0}>0$, 当 $ \sigma>\sigma_{0}$, 有

$ M_{u}(\sigma, F)<\exp\{e^{(\rho+\varepsilon)\sigma}\}. $

由引理1, $\mu(\sigma, F)\leq 2 M_{u}(\sigma, F)< \exp\{e^{(\rho+\varepsilon)\sigma}+\ln2\}.$于是 $\forall n$,

$ B_{n}^*e^{n\sigma}\leq \mu(\sigma, F)<\exp\{e^{(\rho+\varepsilon)\sigma}+\ln2\}. $

则

$ \ln B_{n}^* < e^{(\rho+\varepsilon)\sigma}-n\sigma+\ln2. $

由引理2, 当 $\sigma=\frac{1}{\rho+\varepsilon}\ln\frac{n}{\rho+\varepsilon}$时, 不等式右边达到最小值 $-(\frac{n}{\rho+\varepsilon})\ln\frac{n}{e(\rho+\varepsilon)}+\ln 2 $, 所以当 $n$充分大时,

$ \ln B_{n}^*<-(\frac{n}{\rho+\varepsilon})\ln\frac{n}{e(\rho+\varepsilon)}+\ln2, $

所以 $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}\leq-\frac{1}{\rho+\varepsilon}.$由 $\varepsilon$的任意性, $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}\leq-\frac{1}{\rho}.$假定 $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}<-\frac{1}{\rho}, $则存在 $\varepsilon_{1}\in(0, \rho)$, 使 $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}<-\frac{1}{\rho-\varepsilon_{1}}.$所以对 $\varepsilon_{1}$, 存在自然数 $N_{\varepsilon_{1}}$, 当 $n>N_{\varepsilon_{1}}$时,

$ B_{n}^* <\exp\{-\frac{n\ln n}{\rho-\varepsilon_{1}}\}. $

则 $\forall \sigma>0$, $ B_{n}^*e^{n(\sigma+\varepsilon)}<\exp\{-\frac{n\ln n}{\rho-\varepsilon_{1}}+n(\sigma+\varepsilon)\}. $由引理2,

$ B_{n}^*e^{n(\sigma+\varepsilon)}< \exp\{\frac{1}{\rho-\varepsilon_{1}}e^{(\rho-\varepsilon_{1})(\sigma+\varepsilon)-1}\} =\exp\{e^{(\rho-\varepsilon_{1})(\sigma+\varepsilon)-\ln(\rho-\varepsilon_{1})-1}\}. $

那么当 $\sigma$充分大时, 存在常数 $c>0$, 使得 $\forall n\in N, $

$ B_{n}^*e^{n(\sigma+\varepsilon)} <\exp\{e^{(\rho-\varepsilon_{1})(\sigma+\varepsilon)-\ln(\rho-\varepsilon_{1})-1}+c\}. $

有

$ \mu((\sigma+\varepsilon), F) <\exp\{e^{(\rho-\varepsilon_{1})(\sigma+\varepsilon))-\ln(\rho-\varepsilon_{1})-1}+c\}. $

由引理1,

$ M_{u}(\sigma, F) \leq C e^{|\sigma|}\mu((\sigma+\varepsilon), F) <\exp\{e^{(\rho-\varepsilon_{1})((\sigma+\varepsilon)-\ln(\rho-\varepsilon_{1})-1}+c+|\sigma|+\ln C\}. $

由于

$ \lim\limits_{\sigma\rightarrow+\infty} \frac{e^{(\rho-\varepsilon_{1})(\sigma+\varepsilon)-\ln(\rho-\varepsilon_{1})-1}+c+|\sigma|+\ln C} {e^{(\rho-\frac{\varepsilon_{1}}{2})(\sigma+\varepsilon)}}=0, $

所以当 $\sigma$充分大时, $M_{u}(\sigma, F)<\exp\{e^{(\rho-\frac{\varepsilon_{1}}{2})(\sigma+\varepsilon)}\}.$那么就有

$ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{\sigma\rightarrow +\infty} \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F) }{\sigma}\leq (\rho-\frac{\varepsilon_{1}}{2})(<\rho). $

这与定理左边条件矛盾.从而证明了 $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}=-\frac{1}{\rho}$.定理右边条件的必要性得证.

由以上证明易得定理右边条件的充分性的证明.

同理可证当 $\rho=0$, $\rho=+\infty$的情形.

定理2  设L-S变换满足 $\sigma_u=+\infty, $则

$ \lim\limits_{\sigma\rightarrow +\infty} \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F) }{\sigma}=\rho \Leftrightarrow\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}=-\frac{1}{\rho}, $

并且存在单调递增正整数序列 $\{n_{v}\}$, 使

$ \lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{\ln B_{n_{v}}^* }{n_{v}\ln n_{v}}=-\frac{1}{\rho}, \lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{\ln n_{v+1}}{\ln n_{v}}=1\quad (0<\rho<+\infty), $

当 $\rho=0$时, 将 $-\frac{1}{\rho}$换成 $-\infty$, 当 $\rho=+\infty$时, 将 $-\frac{1}{\rho}$换成 $0$.

证  考虑 $0<\rho<+\infty$的情形.先证右边条件的充分性.由定理1知

$ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{\sigma\rightarrow +\infty} \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F) }{\sigma}=\rho. $

下面证 $\mathop{\underline{\lim}}\limits_{\sigma\rightarrow +\infty} \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F) }{\sigma}\geq\rho$.由 $\lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{\ln B_{n_{v}}^* }{n_{v}\ln n_{v}}=-\frac{1}{\rho}$知 $\forall\varepsilon>0$, 满足 $0<\varepsilon<\rho$, $\exists v_{0}$, 当 $ v>v_{0}$时, 有 $\frac{\ln B_{n_{v}}^* }{n_{v}\ln n_{v}}>-\frac{1}{\rho-\varepsilon}.$则 $B_{n_{v}}^*e^{n_{v}\sigma}>\exp\{-\frac{1}{\rho-\varepsilon}n_{v}\ln n_{v}+n_{v}\sigma\}.$取 $\sigma_{v}=\frac{1}{\rho-\varepsilon}(\ln n_{v}+1)$, 由 $\lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{\ln n_{v+1}}{\ln n_{v}}=1$知 $\forall\sigma\in[\sigma_{v+1}, \sigma_{v}]$,

$ \lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{\sigma_{v+1}}{ \sigma_{v}} =\lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{ \sigma}{\sigma_{v}}=1. $

当 $v$充分大时, 由引理2,

$ B_{n_{v}}^*e^{n_{v}\sigma_{v}}>\exp\{\frac{1}{\rho-\varepsilon}e^{(\rho-\varepsilon)\sigma_{v}-1}\} >\exp\{e^{(\rho-2\varepsilon)\sigma_{v}}\}. $

所以, $\forall\sigma\in[\sigma_{v+1}, \sigma_{v}]$

$ \mu(\sigma, F)\geq\mu(\sigma_{v}, F)\geq\exp\{e^{(\rho-2\varepsilon)\sigma_{v}}\}. $

当 $v$充分大时, 由引理1知

$ M_{u}(\sigma, F)\geq \frac{1}{2}\mu(\sigma, F)>\exp \frac{1}{2}\{e^{(\rho-2\varepsilon)\sigma_{v}}\}. $

那么

$ \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F)}{\sigma}>(\rho-2\varepsilon)\frac{\sigma_{v}}{\sigma}. $

所以

$ \mathop{\underline{\lim}}\limits_{\sigma\rightarrow +\infty}\frac{\ln\ln M_{u}(\sigma, F)}{\sigma} \geq(\rho-2\varepsilon)\mathop{\underline{\lim}}\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{\sigma_{v}}{\sigma} =(\rho-2\varepsilon). $

又由 $\varepsilon$的任意性知

$ \mathop{\underline{\lim}}\limits_{\sigma\rightarrow +\infty}\frac{\ln\ln M_{u}(\sigma)}{\sigma} \geq\rho. $

定理右边条件的充分性证毕.

其次证明定理右边条件的必要性.由定理1即得定理右边条件的第一个条件的必要性.假定第二个条件不成立^[2], 则 $\exists\beta(0<\beta<\rho), \gamma>0$使得

$ B_{n}^{*}<\exp \{-\frac{n\ln n}{\rho -\beta }\}~({{{n}'}_{v}}\le n\le {{{n}''}_{v}}), $

其中 $n'_{v}$及 ${{{n}''}_{v}}$为充分大的正整数,

$ {{{n}''}_{v}} < n'_{v+1}, \ln {{{n}''}_{v}}>(1+\gamma)\ln n'_{v}~(v=1, 2, \cdots). $

则有

$ B_{n}^*e^{n\sigma}<\exp\{-\frac{1}{\rho-\beta}n\ln n+n\sigma\}~(n'_{v}\leq n\leq {{{n}''}_{v}}). $

由引理2, 当 $\sigma$充分大时,

$ \begin{equation}B_{n}^*e^{n\sigma}<\exp\{\frac{1}{\rho-\beta}e^{(\rho-\beta)\sigma-1}\} <\exp\{e^{(\rho-\frac{\beta}{2})\sigma}\}\quad(n'_{v}\leq n\leq {{{n}''}_{v}}).\end{equation} $

(2.1)

取 $\varepsilon>0$, 满足 $\frac{\rho+2\varepsilon}{1+\frac{\gamma}{2}}<\rho-\eta$, 其中 $0<\eta<\rho$.由 $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}=-\frac{1}{\rho}$知, 对 $\varepsilon, \exists n_{0}$, 使

$ \frac{\ln B_{n}^* }{n\ln n}<-\frac{1}{\rho+\varepsilon}\quad(n\geq n_{0}). $

所以有

$ B_{n}^*e^{n\sigma}<\exp\{-\frac{1}{\rho+\varepsilon}n\ln n+n\sigma\}\quad(n\geq n_{0}). $

令 $v$充分大, 使 $n'_{v}> n_{0}$, 取 $\sigma'_{v}$满足 $\mathop{n'_{v}}^{1+\frac{\gamma}{2}}=e^{(\rho+\varepsilon)\sigma'_{v}-1}$, 则 $\lim\limits_{v\rightarrow+\infty}\sigma'_{v}=+\infty$.

由引理2知, $\psi(x)=-\frac{1}{\rho+\varepsilon}x\ln x+x\sigma'_{v}$在 $x=e^{(\rho+\varepsilon)\sigma'_{v}-1}=\mathop{n'_{v}}^{1+\frac{\gamma}{2}}$取得极大值.那么对充分大的 $v$, 当 $n_{0}\leq n< n'_{v}$, 由于 $n_{0}\leq n< n'_{v}< \mathop{n'_{v}}^{1+\frac{\gamma}{2}}$,

$ \begin{eqnarray} B_{n}^*e^{n\sigma'_{v}}& < &\exp\{-\frac{1}{\rho+\varepsilon}n\ln n+n\sigma'_{v}\} \nonumber\\&\leq&\exp\{-\frac{1}{\rho+\varepsilon}n'_{v}\ln n'_{v}+n'_{v}\sigma'_{v}\} \nonumber\\&=&\exp\{e^{\frac{\rho+\varepsilon}{1+\frac{\gamma}{2}}\sigma'_{v}}*e^{-\frac{1}{1+\frac{\gamma}{2}}} [\frac{1}{(\rho+\varepsilon)(1+\frac{\gamma}{2})}+\frac{\gamma}{2+\gamma}\sigma'_{v}]\} \nonumber\\&=&\exp\{e^{\frac{\rho+\varepsilon}{1+\frac{\gamma}{2}}\sigma'_{v}+\ln(e^{-\frac{1}{1+\frac{\gamma}{2}}} [\frac{1}{(\rho+\varepsilon)(1+\frac{\gamma}{2})}+\frac{\gamma}{2+\gamma}\sigma'_{v}])}\} \nonumber\\&<&\exp\{e^{\frac{\rho+2\varepsilon}{1+\frac{\gamma}{2}}\sigma'_{v}}\} < \exp\{e^{(\rho-\eta)\sigma'_{v}}\}\quad{(n_{0}\leq n < n'_{v})}. \end{eqnarray} $

(2.2)

当 $n> {{{n}''}_{v}}$时, 由于 $\mathop{n'_{v}}^{1+\frac{\gamma}{2}} < \mathop{n'_{v}}^{1+\gamma} < {{n}''}_{v} < n$, 那么

$ \begin{eqnarray}&& B_{n}^*e^{n\sigma'_{v}} < \exp(-\frac{1}{\rho+\varepsilon}\mathop{n'_{v}}^{1+\gamma}\ln \mathop{n'_{v}}^{1+\gamma}\mathop{n'_{v}}^{1+\gamma}\sigma'_{v}) \nonumber\\&=&\exp\{e^{\frac{(\rho+\varepsilon)(1+\gamma)}{1+\frac{\gamma}{2}}\sigma'_{v}}*e^{-\frac{(1+\gamma)} {1+\frac{\gamma}{2}}} [\frac{\gamma}{2+\gamma}(-\sigma'_{v})+\frac{(1+\gamma)}{(\rho+\varepsilon)(1+\frac{\gamma}{2})}]\} <1\quad{(n> {{{n}''}_{v}})}. \end{eqnarray} $

(2.3)

最后一个不等号成立是因为

$ \lim\limits_{v\rightarrow\infty}\{\frac{\gamma}{2+\gamma}(-\sigma'_{v})+\frac{(1+\gamma)}{(\rho+\varepsilon)(1+\frac{\gamma}{2})}\} =-\infty. $

结合(2.1)-(2.3) 式得

$ B_{n}^*e^{n\sigma'_{v}}<\exp(e^{(\rho-\eta_{1})\sigma'_{v}})\quad{(n\geq n_{0})} $

其中 $\eta_{1}=\max\{\eta, \frac{\beta}{2}\}$, 那么存在常数 $c$, 使得 $\forall n\in N$, 当 $v$充分大时

$ B_{n}^*e^{n\sigma'_{v}} < c\exp(e^{(\rho-\eta_{1})\sigma'_{v}}) < \exp(e^{(\rho-\frac{\eta_{1}}{2})\sigma'_{v}}), $

所以

$ \mu(\sigma'_{v}, F)\leq\exp(e^{(\rho-\frac{\eta_{1}}{2})\sigma'_{v}}). $

取常数 $\delta>0$, 令 $\sigma_{v_{\delta}}=\sigma'_{v}-\delta$, 则 $\lim\limits_{v\rightarrow+\infty} \frac{\sigma'_{v}}{\sigma_{v_{\delta}}}=1$, 那么对 $\delta$, 由引理1知, $\exists C>0$, 使得当 $v$充分大时,

$ \begin{array}{rl} M_u(\sigma_{v_{\delta}}, F)&\leq Ce^{|\sigma_{v_{\delta}}|}\mu(\sigma_{v_{\delta}}+\delta, F) \\&\leq C\exp\{e^{(\rho-\frac{\eta_{1}}{2})\sigma'_{v}}+\sigma_{v_{\delta}}\} <\exp\{e^{(\rho-\frac{\eta_{1}}{3})\sigma'_{v}}\}.\end{array} $

则有

$ \frac{\ln\ln M_{u}(\sigma_{v_{\delta}}, F)}{\sigma_{v_{\delta}}} <(\rho-\frac{\eta_{1}}{3})\frac{\sigma'_{v}}{\sigma_{v_{\delta}}}. $

那么有

$ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{v\rightarrow+\infty}\frac{\ln\ln M_{u}(\sigma_{v_{\delta}}, F)}{\sigma_{v_{\delta}}} \leq(\rho-\frac{\eta_{1}}{3})\mathop{\overline{\lim}}\limits_{v\rightarrow+\infty} \frac{\sigma'_{v}}{\sigma_{v_{\delta}}}=(\rho-\frac{\eta_{1}}{3})<\rho. $

这与定理左边的条件矛盾.从而定理右边条件的第二个条件的必要性得证.

同理可证当 $\rho=0$和 $\rho=+\infty$的情形.