特征零代数闭域上有限维单李超代数分为9族典型李超代数和4族Cartan型李超代数 $W(n)$ $(n\geq3)$, $S(n)$ $(n\geq4)$, $H(n)$ $(n\geq5)$和 $\widetilde{S}(n)$ $(n\geq4\mbox{且}n\mbox{为偶数})$ ^[1].目前, 典型单李超代数的结构与表示理论已经比较丰富, 但关于Cartan型李超代数的研究结果相对较少.文[2]定义了素特征域上有限维广义Cartan型李超代数, 并且讨论了它们的单性与限制性.这类模李超代数在除幂代数退化为基础域时, 对偶于特征零域上Cartan型李超代数.文[3, 5]刻画了Cartan型李超代数的有限维不可约表示, 并在纯奇维数超流形的张量场上实现了这些不可约表示, 进而利用不变微分算子方法给出不可约特征标. Serganova在文[6, 引理4.1]中指出, $W(n), $ $\overline{S}(n), $ $ \overline{H}(n)$的任意两个Borel子代数都可以通过一系列反射连接, 这里 $\overline{S}(n)$, $\overline{H}(n)$分别是 $S(n)$, $H(n)$通过添加次数导子得到的扩张李超代数.

$S(3)$同构于典型李超代数 $P(2)$, $S(4)$是最小的特殊Cartan型李超代数^[1]. Cartan型李超代数与李代数乃至典型李超代数在结构性质上有本质区别.例如, Cartan型李超代数关于环面分解的根未必正负成对, 根的重数也未必是1;对李超代数, 一般按照正根系定义Borel子代数.这是因为, 按极大可解子代数定义的Borel子代数, 从表示论观点看, 显得过大^[7].李超代数的Borel子代数虽是可解的, 但未必是极大可解的, Borel子代数之间未必有共轭关系(因此本文研究Borel子代数之间的所谓连接关系), 等等.受文[6]的启发, 本文研究最小的特殊Cartan型李超代数 $S(4)$的Borel子代数.首先, 通过对正则元分类, 得到 $S(4)$共有336个不同的正根系, 从而 $S(4)$有336个不同的Borel子代数; 进一步, 通过确定每一个正根系的单根系, 得到任何两个Borel子代数的连接关系. Cartan型李超代数的Borel子代数必是可解的, 但未必是极大可解的.因此, 本文最后确定出每一个Borel子代数是否是 $S(4)$的极大可解子代数.

本文约定域 $\mathbb{F}$是特征零的代数闭域, $\mathbb{Z}_{2}$是整数模2的剩余类加群.

域 $\mathbb{F}$上的向量空间 $V$, 连同它的一个子空间直和分解 $V=V_{\bar{0}}\oplus V_{\bar{1}}$, 称为一个超空间( $\mathbb{Z}_{2}$ -分次空间), 其中, $V_{\bar{0}}$中的元素称为偶元素, $V_{\bar{1}}$中的元素称为奇元素.偶、奇元素统称为 $\mathbb{Z}_{2}$ -齐次元素, 并用 $|x|$表示齐次元素 $x$的 $\mathbb{Z}_{2}$ -次数.为简便, 下文中出现 $|x|$时总约定 $x$是一个齐次元素.

域 $\mathbb{F}$上一个向量空间称为 $\mathbb{F}$ -代数, 如果它有一个双线性乘法.一个 $\mathbb{F}$ -代数 $\mathfrak{A}$称为超代数, 如果作为向量空间它是一个超空间 $\mathfrak{A}=\mathfrak{A}_{\bar{0}}\oplus\mathfrak{A}_{\bar{1}}$, 并且满足 $\mathfrak{A}_{\alpha}\mathfrak{A}_{\beta}\subset\mathfrak{A}_{\alpha+\beta}$, 对于任意的 $\alpha, \beta\in\mathbb{Z}_2$.

设 $L=L_{\bar{0}}\oplus L_{\bar{1}}$是域 $\mathbb{F}$上的超代数, 如果它的乘法 $[-, -]$满足斜超对称性和超Jacobi等式, 则称 $L$是 $\mathbb{F}$上的李超代数^[1].

设 $V$是一个 $\mathbb{Z}_{2}$ -分次空间, 则 $V$的所有线性变换构成的向量空间 $\mathrm{End} V$关于线性变换的乘法是一个结合超代数, 其中 $(\mathrm{End} V)_{\alpha}=\{\sigma\in\mathrm{End} V\mid\sigma(V_{\beta})\subset V_{\beta+\alpha}, \, \beta\in\mathbb{Z}_{2}\}, \, \alpha\in\mathbb{Z}_{2}.$规定一个新运算 $[-, -]$:

$ \begin{equation*} [x, y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx, \quad x, y\in \mathrm{End}V. \end{equation*} $

容易验证, $\mathrm{End}V$关于 $[-, -]$是一个李超代数，称之为一般线性李超代数, 记作 $\mathfrak{gl}(V)$.

设 $\mathfrak{A}$是一个超代数, 齐次线性变换 $D:\mathfrak{A}\longrightarrow\mathfrak{A}$称为 $\mathfrak{A}$的超导子, 若对于任意的 $ x, y\in\mathfrak{A}$均有

$ \begin{equation*} D(xy)=D(x)y+(-1)^{|D||x|}xD(y). \end{equation*} $

令 $\mathrm{Der}_{\bar{0}}\mathfrak{A}$与 $\mathrm{Der}_{\bar{1}}\mathfrak{A}$分别表示 $\mathfrak{A}$的偶导子与奇导子构成的向量空间, 记 $\mathrm{Der}\mathfrak{A}= \mathrm{Der}_{\bar{0}}\mathfrak{A}\oplus \mathrm{Der}_{\bar{1}}\mathfrak{A}$, 容易验证 $\mathrm{Der}\mathfrak{A}$关于 $\mathfrak{gl}(\mathfrak{A})$的乘法 $[-, -]$是一个李超代数, 称为 $\mathfrak{A}$的超导子代数.

设 $\Lambda(n)$是 $\mathbb{F}$上具有 $n$个生成元 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$的外代数, 生成关系为 $ \xi_{i}\xi_{j}+\xi_{j}\xi_{i}=0, i, j=1, 2, \cdots, n.$ $\Lambda(n)$具有一组标准基

$ \begin{equation*} 1, \xi_{i_{1}}\xi_{i_{2}}\cdots \xi_{i_{k}}, \quad 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n;1\leq k\leq n. \end{equation*} $

规定 $|\xi_{i}|=\overline{1}$, 则可得到 $\Lambda(n)$的一个超结构: $\Lambda(n)=\Lambda(n)_{\bar{0}}\oplus\Lambda(n)_{\bar{1}}$.记 $W(n)=\mathrm{Der}\Lambda(n)$, 由上面的讨论知道 $W(n)$是 $\Lambda(n)$的超导子代数, 称为秩为 $n$的Witt型李超代数^[1].

由 $\Lambda(n)$的泛性可知， $\Lambda(n)$有奇导子 $\partial_{i}$:

$ \begin{equation*} \partial_{i}(\xi_{j})=\delta_{ij}, \quad i, j=1, \cdots, n, \end{equation*} $

并且 $W(n)=\{\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\partial_{i}\mid f_{i}\in\Lambda(n)\}$.

若超代数 $\mathfrak{A}$作为向量空间是 $\mathbb{Z}$ -分次的超空间, 即 $\mathfrak{A}=\oplus_{i\in{\mathbb{Z}}}\mathfrak{A}_{i}$, 并且满足 $\mathfrak{A}_{i}\mathfrak{A}_{j}\subset\mathfrak{A}_{i+j}, \, i, j\in\mathbb{Z}$, 则称 $\mathfrak{A}$是一个 $\mathbb{Z}$ -分次超代数.若 $x\in \mathfrak{A}_{i}$, 记 $\|x\|=i$, 称之为 $x$的 $\mathbb{Z}$ -次数.

令 $\|\xi_{i}\|=1$, 可以定义 $\Lambda(n)$的一个 $\mathbb{Z}$ -分次结构^[1]:

$ \Lambda(n)=\oplus_{i=0}^{n}\Lambda(n)_{i}, \, \;\Lambda(n)_{i}\Lambda(n)_{j}\subset\Lambda(n)_{i+j}, \quad i, j\in\mathbb{Z}. $

设

$ \begin{equation*} F_{ij}: \Lambda(n)\longrightarrow W(n), \quad a\longmapsto \partial_{i}(a)\partial_{j}+\partial_{j}(a)\partial_{i}, \quad 1\leq i, j\leq n, \end{equation*} $

则 $F_{ij}$是 $\Lambda(n)$到 $W(n)$的一个线性映射且 $\|F_{ij}\|=-2$.记

$ \begin{equation*} S(n)=\mathrm{span} \{F_{ij}(a)\mid a\in\Lambda(n), 1\leq i, j\leq n\}, \end{equation*} $

则 $S(n)$是一个李超代数, 称为秩为 $n$的特殊Cartan型李超代数.由 $\Lambda(n)$的 $\mathbb{Z}$ -分次结构自然地得到了 $S(n)$的 $\mathbb{Z}$ -分次结构

$ \begin{equation*} S(n)=S(n)_{-1}\oplus S(n)_{0}\oplus\cdots \oplus S(n)_{n-2}. \end{equation*} $

本文主要研究秩为4的特殊Cartan型李超代数 $S$的结构.显然 $S_{0}\cong \mathfrak{sl}(4)$, 同构映射为

$ \begin{eqnarray*} && \xi_{i}\partial_{j}\longmapsto e_{ij}, \quad 1\leq i\neq j\leq 4, \\ && \xi_{i}\partial_{i}-\xi_{i+1}\partial_{i+1}\longmapsto e_{ii}-e_{i+1, i+1}, \quad i=1, 2, 3, \end{eqnarray*} $

称

$ \begin{equation*} \mathfrak{h}=\mathrm{span}_{F} \{e_{11}-e_{22}, e_{22}-e_{33}, e_{33}-e_{44} \} \end{equation*} $

为 $\mathfrak{sl}(4)$的典范环面.设 $\varepsilon_{i}$是 $e_{ii}$的对偶基, 即 $\varepsilon_{i}(e_{jj})=\delta_{ij}, \, 1\leq i, j\leq 4$.记 $S_{k}$关于 $\mathfrak{h}$的根集为 $\Delta_{k}$, 其中 $k=-1, 0, 1, 2$.特别地, $\mathfrak{sl}(4)$关于 $\mathfrak{h}$有根空间分解

$ \begin{equation*} \mathfrak{sl}(4)=\mathfrak{h}\oplus(\oplus_{\alpha\in\Delta_{0}}\mathfrak{sl}_{\alpha}), \quad \Delta_{0}=\{\varepsilon_{i}-\varepsilon_{j}\mid 1\leq i\neq j\leq 4\}. \end{equation*} $

类似地, 可得到 $S_{-1}, S_{1}, S_{2}$关于 $\mathfrak{h}$的根集为

$ \begin{align*} \Delta_{-1}&=\{-\varepsilon_{i}\mid i=1, 2, 3, 4\};\\ \Delta_{1}&=\{\varepsilon_{i}+\varepsilon_{j}-\varepsilon_{k}\mid 1\leq i< j\leq 4; k=1, 2, 3, 4\};\\ \Delta_{2}&=\{\varepsilon_{i}+\varepsilon_{j}+\varepsilon_{k}-\varepsilon_{l}\mid 1\leq i< j< k \leq 4; l=1, 2, 3, 4\}. \end{align*} $

记 $\Delta=\Delta_{-1}\cup\Delta_{0}\cup\Delta_{1}\cup\Delta_{2}$, 称为 $S$的根系.

定义3.1  设 $V$是实数域 $\mathbb {R}$上的向量空间, $V\mbox{的对偶空间}V^{*}$中任意有限个非零的线性函数构成的集合称为 $V$的一个根系.

设 $\Delta$是 $V$的一个根系, 称 $v\in V$为正则元, 如果对于任意的 $\alpha\in\Delta$, 均有 $\alpha(v)\neq 0$.由线性代数的基本理论, 有限个真子空间不能覆盖整个空间, 故正则元一定存在.

定义3.2  对于任意给定的正则元 $v_{0}\in V$, 称 $ \Delta_{+}(v_{0})=\{\alpha\in\Delta\mid\alpha(v_{0})>0\}$为 $V$的一个正根系, 称 $ \Delta_{-}(v_{0})=\{\alpha\in\Delta\mid\alpha(v_{0})<0\}$为 $V$的一个负根系.

如无特殊说明, $\Delta_{+}$ $(\Delta_{-})$总表示 $V$的一个根系 $\Delta$关于某一个正则元的正(负)根系.

定义3.3  一个根 $\alpha\in\Delta$称为本质的, 如果 $-\alpha\in\Delta$; 一个根 $\alpha\in\Delta$称为非本质的, 如果 $-\alpha\notin\Delta$.

定义3.4  一个正根 $\alpha\in\Delta_{+}$称为单根, 如果从 $\Delta_{+}$中删去 $\alpha$, 再添上 $-\alpha$ (当 $-\alpha\in\Delta$时), 得到的根集仍然是一个正根系 $\Delta_{+}^{\prime}$.此时称这两个正根系是通过单根 $\alpha$的反射1-连接的, 也称为邻接, 记为 $\Delta_{+}^{\prime}=\gamma_{\alpha}(\Delta_{+})$.若单根 $\alpha$是本质的, 称 $\Delta_{+}$与 $\Delta_{+}^{\prime}$是双邻接的, 若单根 $\alpha$是非本质的, 称 $\Delta_{+}$与 $\Delta_{+}^{\prime}$是单向邻接的.如果从 $\Delta_{+}$出发经过 $n$ ( $n\geq 1$)次反射得到正根系 $\Delta_{+}^{\prime}$, 称 $\Delta_{+}$与 $\Delta_{+}^{\prime}$是连接的.如果 $\Delta_{+}^{\prime}$与 $\Delta_{+}$也是连接的, 称这两个正根系是双向连接的, 否则, 称 $\Delta_{+}$与 $\Delta_{+}^{\prime}$是单向连接的.

引理3.5  单根不能写成其余正根的非负线性组合.

证  由定义3.4, 这是显然的.

定义3.6  一个正根系的所有单根构成的集合称为这个正根系的单根系.

令 $\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}$是 $\mathfrak{h}$的标准基张成的实空间, 则有

$ \begin{equation*} \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}=\{h_{1}e_{11}+h_{2}e_{22}+h_{3}e_{33}+h_{4}e_{44}\mid \sum\limits_{i=1}^{4}h_{i}=0~ \mbox{且}~ h_{i}\in \mathbb{R}\}. \end{equation*} $

定义3.7^[6]  令 $\mathfrak{n}_{+}=\oplus_{\alpha\in\Delta_{+}}S_{\alpha}, \mathfrak{n}_{-}=\oplus_{\alpha\in\Delta_{-}}S_{\alpha}$, 则 $S=\mathfrak{n}_{-}\oplus\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{n}_{+}$称为 $S$的一个三角分解.记 $\mathfrak{b}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{n}_{+}$为 $S$的一个Borel子代数.

定义3.8  设 $\mathfrak{b}$和 $\mathfrak{b}^{\prime}$是 $S$的两个Borel子代数, 如果删去 $\mathfrak{b}$中的单根 $\alpha$, 再添上 $-\alpha$ (当 $-\alpha\in\Delta$时), 恰好得到 $\mathfrak{b}^{\prime}$, 则称 $\mathfrak{b}$和 $\mathfrak{b}^{\prime}$是通过单根 $\alpha$的反射1-连接的, 也称为邻接, 记为 $\mathfrak{b}^{\prime}=\gamma_{\alpha}(\mathfrak{b})$.如果由 $\mathfrak{b}$经过 $n$ ( $n\geq 1$)次反射得到 $\mathfrak{b}^{\prime}$, 则称 $\mathfrak{b}$和 $\mathfrak{b}^{\prime}$是连接的; 如果 $\mathfrak{b}^{\prime}$和 $\mathfrak{b}$也是连接的, 则称 $\mathfrak{b}$和 $\mathfrak{b}^{\prime}$是双向连接的, 否则, 称 $\mathfrak{b}$和 $\mathfrak{b}^{\prime}$是单向连接的.于是由定义3.4可知, 两个正根系连接当且仅当相应的两个Borel子代数连接.

由于 $S$只有有限个根, 所以 $S$的正根系只有有限个, 从而 $S$的Borel子代数也只有有限个.本节将给出 $S$的所有正根系, 相应地得到了 $S$的所有Borel子代数.对于每一个正根系, 将通过确定其单根系得到与之邻接的正根系.根据前面的讨论可以将 $S$的根分为下面五种类型:

$ \begin{equation*} (1)~~\, \pm\varepsilon_{i}; \quad (2)~~\, \pm(\varepsilon_{i}-\varepsilon_{j}); \quad (3)~~\, \varepsilon_{i}+\varepsilon_{j}; \quad (4)~~\, \varepsilon_{i}+\varepsilon_{j}-\varepsilon_{k}; \quad (5)~~ \, \varepsilon_{i}+\varepsilon_{j}+\varepsilon_{k}-\varepsilon_{l}, \end{equation*} $

其中 $i, j, k, l$两两不同.根据定义, 记 $\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}$的全体正则元集为

$ \begin{equation*} \mathrm{Reg}(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\backslash\cup_{\alpha\in\Delta}\mathrm{ker}\alpha. \end{equation*} $

对于 $h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}$, 以下总用 $h_{i}$来表示 $h$关于 $e_{ii}$的坐标, 简记为 $h=(h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4})$.

引理4.1   $h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}$是正则元当且仅当下面五个条件成立:

(1) $\, h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}$都不为零;

(2) $\, h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}$两两不同;

(3) $\, h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}$中无相反数对;

(4) $\, h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}$中任何一项不等于其余三项中任意两项的和;

(5) $\, h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}$中任何一项不等于其余三项的和.

设 $S_{4}$是4次对称群, 对于任意的 $\pi\in S_{4}, h=(h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4})\in \mathrm{Reg}(\mathfrak{h})$, 规定

$ \begin{equation}\label{2036} \pi(h)=(h_{\pi(1)}, h_{\pi(2)}, h_{\pi(3)}, h_{\pi(4)}). \end{equation} $

(4.1)

由引理4.1, 容易验证上式定义了 $S_{4}$在正则元集 $\mathrm{Reg}(\mathfrak{h})$上的一个群作用.

将 $h_{1}< h_{2}< h_{3}< h_{4}$时得到的正则元集记为

$ \begin{equation} \mathrm{Reg}^{0}=\{h\in \mathrm{Reg}(\mathfrak{h})\mid h_{1}< h_{2}< h_{3}< h_{4}\}. \end{equation} $

(4.2)

容易验证, 对于任意的 $x_{1}, x_{2}\in \mathrm{Reg}^{0}, \, \tau\in S_{4}$, 有

$ \begin{equation}\label{2216} \tau(x_{1})=x_{2}\Longleftrightarrow\tau=1\mbox{且}x_{1}=x_{2}, \end{equation} $

(4.3)

这里1是 $S_{4}$的单位元.

引理4.2   $\mathrm{Reg}(\mathfrak{h})=\cup_{\pi\in S_{4}}\pi(\mathrm{Reg}^{0}); \quad\mbox{并且} \pi(\mathrm{Reg}^{0})\cap\sigma(\mathrm{Reg}^{0})=\emptyset, \, \, \mbox{只要}\pi\neq\sigma.$

证  由于(4.1) 式定义了 $S_{4}$在正则元集 $\mathrm{Reg}(\mathfrak{h})$上的一个群作用, 则 $\mathrm{Reg}(\mathfrak{h})=\cup_{\pi\in S_{4}}\pi(\mathrm{Reg}^{0})$是显然的.于是只需证明

$ \begin{equation*} \pi(\mathrm{Reg}^{0})\cap\sigma(\mathrm{Reg}^{0})=\emptyset, \quad \pi\neq\sigma. \end{equation*} $

假设不然, 一定存在 $h\in \pi(\mathrm{Reg}^{0})\cap \sigma(\mathrm{Reg}^{0})$, 从而存在 $x_{1}, x_{2}\in \mathrm{Reg}^{0}$, 使得 $\pi(x_{1})=h=\sigma(x_{2})$, 于是 $ \sigma^{-1}\pi(x_{1})=x_{2}$, 故由(4.3) 式可知, $\pi=\sigma$, 假设不成立.

从而要确定全体正则元集, 只需确定满足以下条件的正则元 $h$:

$ \begin{equation} h_{1}< h_{2}< h_{3}< h_{4}, \label{1422} \end{equation} $

(4.4)

再经过 $S_{4}$的作用, 便得到了全部的正则元.

类似地, 对于 $\pi\in S_{4}, a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+a_{3}\varepsilon_{3}+a_{4}\varepsilon_{4}\in \Delta $, 规定

$ \begin{equation}\label{2024} \pi(a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+a_{3}\varepsilon_{3}+a_{4}\varepsilon_{4})=a_{1}\varepsilon_{\pi(1)}+a_{2}\varepsilon_{\pi(2)}+a_{3}\varepsilon_{\pi(3)}+a_{4}\varepsilon_{\pi(4)}. \end{equation} $

(4.5)

上式也定义了 $S_{4}$在根系 $\Delta$上的一个群作用.

引理4.3  对于任意的 $\pi\in S_{4}, h\in \mathrm{Reg}(\mathfrak{h})$, 有 $ \pi^{-1}(\Delta_{+}(h))=\Delta_{+}(\pi(h)).$

证  对于任意的 $a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+a_{3}\varepsilon_{3}+a_{4}\varepsilon_{4}\in \Delta_{+}(h)$, 有

$ \begin{equation*} (a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+a_{3}\varepsilon_{3}+a_{4}\varepsilon_{4})(h)=a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}+a_{3}h_{3}+a_{4}h_{4}>0, \end{equation*} $

且由(4.5) 式可知

$ \begin{equation*} \pi^{-1}(a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+a_{3}\varepsilon_{3}+a_{4}\varepsilon_{4})=a_{1}\varepsilon_{\pi^{-1}(1)}+a_{2}\varepsilon_{\pi^{-1}(2)}+a_{3}\varepsilon_{\pi^{-1}(3)}+a_{4}\varepsilon_{\pi^{-1}(4)}, \end{equation*} $

于是

$ \begin{align*} &\pi^{-1}(a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+a_{3}\varepsilon_{3}+a_{4}\varepsilon_{4})(\pi(h))\\ =&(a_{1}\varepsilon_{\pi^{-1}(1)}+a_{2}\varepsilon_{\pi^{-1}(2)}+a_{3}\varepsilon_{\pi^{-1}(3)}+a_{4}\varepsilon_{\pi^{-1}(4)})(h_{\pi(1)}, h_{\pi(2)}, h_{\pi(3)}, h_{\pi(4)})\\ =&a_{1}h_{\pi(\pi^{-1}(1))}+a_{2}h_{\pi(\pi^{-1}(2))}+a_{3}h_{\pi(\pi^{-1}(3))}+a_{4}h_{\pi(\pi^{-1}(4))}\\ =&a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}+a_{3}h_{3}+a_{4}h_{4}>0, \end{align*} $

故 $\pi^{-1}(\Delta_{+}(h))\subset\Delta_{+}(\pi(h))$, 反包含关系同理可证.

定理4.4   $S$共有336个不同的正根系, 这些正根系以及相应的单根系, 与之邻接的正根系由表 1给出.进而 $S$共有336个Borel子代数.

证  先确定所有的正则元, 由前面讨论可知, 只需确定满足(4.4) 式的正则元即可.以下分4种情形讨论:

情形1   $ h_{1}<0 < h_{2}< h_{3}< h_{4}$.此时的正则元集是下面2个不交子集的并集:

$ \begin{eqnarray*} \mathrm{Reg}_{1}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid h_{2}< h_{3}< h_{4}< |h_{1}|, \quad h_{2}+ h_{3}> h_{4}\};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{2}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid h_{2}< h_{3}< h_{4}< |h_{1}|, \quad h_{2}+ h_{3}< h_{4}\}. \end{eqnarray*} $

情形2   $ h_{1} < h_{2}<0< h_{3}< h_{4}\mbox{且}|h_{2}|< h_{3}< h_{4}< |h_{1}|$.此时的正则元集是下面5个不交子集的并集:

$ \begin{eqnarray*} \mathrm{Reg}_{3}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid|h_{2}|<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{3}<|h_{1}|<h_{4}-h_{2} \mbox{或} \nonumber \\ && |h_{2}|<h_{4}-h_{3}<h_{3}-h_{2}<|h_{1}|<h_{4}-h_{2} \};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{4}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid|h_{2}|<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{3}<h_{4}-h_{2}<|h_{1}| \mbox{或}\nonumber \\ &&|h_{2}|<h_{4}-h_{3}<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{2}<|h_{1}| \};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{5}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid h_{4}-h_{3}<|h_{2}|<|h_{1}|<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{2} \};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{6}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid h_{4}-h_{3}<|h_{2}|<h_{3}-h_{2}<|h_{1}|<h_{4}-h_{2} \};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{7}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid h_{4}-h_{3}<|h_{2}|<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{2}<|h_{1}| \}. \end{eqnarray*} $

情形3   $ h_{1} < h_{2}<0< h_{3}< h_{4}\mbox{且}h_{3}<|h_{2}|<|h_{1}|< h_{4}$.此时的正则元集是下面5个不交子集的并集:

$ \begin{eqnarray*} \mathrm{Reg}_{8}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid|h_{2}|<|h_{1}|<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{3}\mbox{或}\nonumber \\ &&|h_{2}|<|h_{1}|<h_{4}-h_{3}<h_{3}-h_{2}\};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{9}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid|h_{2}|<h_{3}-h_{2}<|h_{1}|<h_{4}-h_{3} \};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{10}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid|h_{2}|<h_{3}-h_{2}<h_{4}-h_{3}<|h_{1}|\mbox{或}\nonumber \\ &&|h_{2}|<h_{4}-h_{3}<h_{3}-h_{2}<|h_{1}|\};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{11}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid|h_{2}|<h_{4}-h_{3}<|h_{1}|<h_{3}-h_{2}\};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{12}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid h_{4}-h_{3}<|h_{2}|<|h_{1}|<h_{3}-h_{2}\}. \end{eqnarray*} $

情形4   $ h_{1} < h_{2}<h_{3}<0< h_{4}$.此时的正则元集是下面2个不交子集的并集:

$ \begin{eqnarray*} \mathrm{Reg}_{13}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid |h_{3}|<|h_{2}|<|h_{1}|< h_{4}, \quad h_{2}+ h_{3}> h_{1}\};\nonumber \\ \mathrm{Reg}_{14}&=&\{h\in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\mid |h_{3}|<|h_{2}|<|h_{1}|< h_{4}, \quad h_{2}+ h_{3}< h_{1}\}. \end{eqnarray*} $

于是, 满足(4.4) 式的正则元集是以上14个两两不交子集的并集, 从而全体正则元集是336个两两不交子集的并集.记 $\mathrm{X}=\{\pi(\mathrm{Reg}_{i})\mid \pi\in S_{4}, i=1, \cdots, 14\}$,

于是, 对于任意的 $x_{1}, x_{2}\in \mathrm{Reg}(\mathfrak{h})$, 显然有

$ \begin{equation}\label{2135} \Delta_{+}(x_{1})=\Delta_{+}(x_{2})\Longleftrightarrow x_{1}, x_{2}\in \pi(\mathrm{Reg}_{i}). \end{equation} $

(4.6)

断言, 集合 $\mathrm{X}$和全体正根系的集合 $\mathrm{P}$之间是一一对应的.事实上, 设

$ \begin{equation*} \varphi:\mathrm{X}\longrightarrow \mathrm{P}, \quad \pi(\mathrm{Reg}_{i})\longmapsto\Delta_{+}(h), \quad h\in \pi(\mathrm{Reg}_{i}). \end{equation*} $

由(4.6) 式可知, $\varphi$是映射, 又由于 $\varphi$是满射显然成立, 故下面证明 $\varphi$是单射.由满足(4.4) 式的正则元的分类可知, 对于任意的 $\tau\in S_{4}$, 有

$ \begin{equation}\label{2212} \varphi(\tau(\mathrm{Reg}_{i}))\neq \varphi(\tau(\mathrm{Reg}_{j})), \quad 1\leq i\neq j\leq14, \end{equation} $

(4.7)

于是只需证明, 对于任意的 $\pi, \sigma\in S_{4}, \pi\neq\sigma$, 有

$ \begin{equation*} \varphi(\pi(\mathrm{Reg}_{i}))\neq \varphi(\sigma(\mathrm{Reg}_{j})), \quad 1\leq i, j\leq14. \end{equation*} $

当 $i=j$时, 上式显然成立; 当 $i\neq j$时, 假设不然, 则对于任意的 $x_{1}\in \pi(\mathrm{Reg}_{i}), x_{2}\in \sigma(\mathrm{Reg}_{j})$, 有 $\Delta_{+}(x_{1})=\Delta_{+}(x_{2})$, 从而存在 $x_{1}^{\prime}\in \mathrm{Reg}_{i}, x_{2}^{\prime}\in \mathrm{Reg}_{j}$, 使得 $\Delta_{+}(\pi(x_{1}^{\prime}))=\Delta_{+}(\sigma(x_{2}^{\prime}))$, 由(4.6) 和(4.3) 式可知, $\pi=\sigma$, 又根据引理4.3, 有 $\Delta_{+}(x_{1}^{\prime})=\Delta_{+}(x_{2}^{\prime})$.这与(4.7) 式矛盾.

综上 $S$共有336个不同的正根系, 从而 $S$共有336个Borel子代数.

上表中的所有正根系分别由下面的表格给出:

上述表格中, $\Delta_{+}^{(i)}=\Delta_{+}\cap\Delta_{i}$ $(i=-1, 0, 1, 2), $并且以下等式成立:

$ \begin{eqnarray*}&& \Delta_{+}^{15}=(23)(\Delta_{+}^{1}), \Delta_{+}^{16}=(34)(\Delta_{+}^{1}), \\ && \Delta_{+}^{17}=(23)(\Delta_{+}^{2}), \Delta_{+}^{18}=(34)(\Delta_{+}^{5}), \\ && \Delta_{+}^{19}=(34)(\Delta_{+}^{7}), \Delta_{+}^{20}=(12)(\Delta_{+}^{8}), \Delta_{+}^{21}=(12)(\Delta_{+}^{12}), \\ && \Delta_{+}^{22}=(23)(\Delta_{+}^{13}), \Delta_{+}^{23}=(12)(\Delta_{+}^{14}), \Delta_{+}^{24}=(23)(\Delta_{+}^{14}).\end{eqnarray*} $

由(4.1) 和(4.5) 式以及表 1, 可以得到任何两个正根系的连接情况, 等价地, 也可得到任何两个Borel子代数的连接情况.

以下记 $\Delta_{+}^{i}$对应的Borel子代数为 $\mathfrak{b}_{i}, i=1, 2, \cdots, 336$.

推论4.5   $S$共有192对Borel子代数是双向连接的.

证  只需确定双向连接的正根系的个数即可.这由定理4.4可以得到.

推论4.6   $S$存在双向互不连接的Borel子代数.

证  等价地, 只需验证存在双向互不连接的正根系即可.由 $\Delta_{+}^{4}$与 $\Delta_{+}^{9}$的根表以及表 1可知: $\Delta_{+}^{4}$通过 $\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}$与 $\Delta_{+}^{7}$邻接, 通过 $\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}$与 $\Delta_{+}^{19}$连接, 与其它正根系均不连接, 而 $\Delta_{+}^{9}$只通过 $\varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}$与 $\Delta_{+}^{10}$邻接, 所以 $\Delta_{+}^{4}$与 $\Delta_{+}^{9}$是双向互不连接的.

在引言中提到, 李超代数的Borel子代数虽是可解的, 但未必是极大可解的, 下面研究 $S$的每一个Borel子代数的极大可解性.

定理4.7   $S$共有24个Borel子代数是极大可解子代数.

证  由可解的定义^[1]可知, $S$的Borel子代数显然都是可解的, 下面讨论它们的极大性.又由(4.5) 式, 只需确定前14个Borel子代数的极大性, 而 $\mathfrak{b}_{1}, \mathfrak{b}_{3}, \mathfrak{b}_{5}, \mathfrak{b}_{8}, \mathfrak{b}_{13}$是其中所有极大的Borel子代数, 于是下面只需确定它们作为 $S$的可解子代数的极大性.

首先, 设 $H\supset\mathfrak{b}_{13}$是 $S$的可解子代数, 则 $H$关于 $\mathfrak{h}$有一个根空间分解:

$ \begin{equation*} H=H_{-}\oplus\mathfrak{h}\oplus H_{+}, \end{equation*} $

记 $H$的根系为 $\Delta^{\prime}$, 则 $\Delta^{\prime}$关于 $h\in\mathrm{Reg}_{13}$有一个分解: $\Delta^{\prime}=\Delta^{\prime}_{-}\cup\Delta^{\prime}_{+}$, 于是有 $\Delta^{\prime}_{+}=\Delta^{13}_{+}$.设 $\Delta^{\prime}_{-}\neq\emptyset$, 则存在 $\alpha\in \Delta^{\prime}_{-}$.若 $\alpha$是本质的, 有 $[H_{\alpha}, H_{-\alpha}]\subset\mathfrak{h}$, 矛盾于 $H$的可解性; 若 $\alpha$是非本质的, 矛盾于 $H$是 $S$的子代数, 故 $\Delta^{\prime}_{-}=\emptyset$, 所以 $\mathfrak{b}_{13}= H$是 $S$的极大可解子代数.

对于 $\mathfrak{b}_{1}$, 记

$ \begin{eqnarray*} \Gamma_{1}&=&\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{i}\mid i=2, 3, 4\}\cup\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{i}-\varepsilon_{j}\mid 2\leq j<i\leq 4\}\nonumber\\ &&\cup\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{i}+\varepsilon_{j}-\varepsilon_{k}\mid 2\leq i, j, k\leq 4, i, j, k\mbox{两两不同}\}, \end{eqnarray*} $

令 $M=(\oplus_{\alpha\in \Gamma_{1}}S_{\alpha})\oplus\mathfrak{b}_{1}$, 显然 $\mathfrak{b}_{1}\subsetneqq M$.记 $\Gamma=\Gamma_{1}\cup\Delta_{+}^{1}$, 容易验证, 对于任意的 $\alpha, \beta\in \Gamma$, 均有 $\alpha+\beta\in \Gamma \, (\mbox{当}\alpha+\beta\in \Delta\mbox{时})$, 于是 $M$是 $S$的子代数.下面验证 $M$的可解性, 由文[1, 命题1.3.3]可知, 只需验证 $M$的偶部 $M_{\bar{0}}$可解即可.令 $\Lambda=\Gamma\cap (\Delta_{0}\cup\Delta_{2}), \, A=\oplus_{\alpha\in \Lambda}S_{\alpha}$, 则 $M_{\bar{0}}=\mathfrak{h}\oplus A$.由于 $[M_{\bar{0}}, M_{\bar{0}}]\subset A$, 且 $A^{(1)}=[A, A]$的根系为

$ \begin{equation*} \Omega_{1}=\{\varepsilon_{3}\pm\varepsilon_{1}, \varepsilon_{4}\pm\varepsilon_{1}, \varepsilon_{4}\pm\varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}, \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \\ \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{1}\}, \end{equation*} $

$A^{(2)}=[A^{(1)}, A^{(1)}]$的根系为

$ \begin{equation*} \Omega_{2}=\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}, \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{1}\}, \end{equation*} $

$A^{(3)}=[A^{(2)}, A^{(2)}]$的根系 $\Omega_{3}=\emptyset$, 则 $M_{\bar{0}}$是可解的.

对于 $\mathfrak{b}_{3}, \mathfrak{b}_{5}, \mathfrak{b}_{8}$, 记

$ \begin{equation*} \Gamma_{2}=\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}-\varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}, \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}-\varepsilon_{3}\}, \end{equation*} $

令 $N=(\oplus_{\alpha\in\Gamma_{2}}S_{\alpha})\oplus\mathfrak{b}_{3}$, 则用同样的方法可证得, $N$是真包含 $\mathfrak{b}_{3}, \mathfrak{b}_{5}, \mathfrak{b}_{8}$的 $S$的可解子代数.

将 $\mathfrak{b}_{13}$经过 $S_{4}$的作用就可以得到 $S$所有的24个极大可解的Borel子代数.