矩阵方程的最小二乘解是数值代数和矩阵分析领域中的重要研究课题, 在工程学、生物学、理论物理学、固体力学、自动控制等领域都有着广泛的应用.关于这方面的研究成果十分丰富.例如文[1-2].关于矩阵方程

$ \begin{align} AXB+CYD=E \end{align} $

(1.1)

的解和最小二乘解的研究也取得了不少进展.例如文[3-4], 其方法用的是奇异值分解和广义奇异值分解. 2007年, 文[5]利用矩阵的Kronecker积和矩阵的拉直算子及矩阵的Moore-Penrose广义逆研究了矩阵方程(1.1) 的对称极小范数最小二乘解.

然而, 根据不同实际问题的需要, 同一类矩阵方程需要研究其不同类型的解.三对角中心对称矩阵的结构较一般对称矩阵更复杂, 并且关于三对角中心对称解的研究也较少见.但三对角中心对称矩阵在噪声处理、工程技术等方面有着重要应用.文[6]利用奇异值分解的方法研究了矩阵方程 $AX=B$存在三对角中心对称（极小范数）最小二乘解的充要条件, 但并未给出其解的表达式.本文利用文[5]的方法来研究矩阵方程(1.1) 的三对角中心对称极小范数最小二乘解, 并给出其解的表达式.

本文用 $R^{m\times n}$表示 $m\times n$阶实矩阵的集合, $I_n$表示 $n$阶单位矩阵的集合, $e_i$表示单位矩阵 $I_n$的第 $i$列 $(i=1, 2, \cdots, n)$. $A^T, A^{+}$分别表示 $A$的转置和 $A$的Moore-Penrose广义逆.对 $A \in R^{m \times n}, B\in R ^{m\times n}$, 定义实矩阵 $A$与 $B$的内积为 $\langle A, B\rangle={\rm tr}(A^TB)$, 由此导出的范数 $\|A\|=\sqrt{\langle A, A\rangle}$称为 $A$的Frobenius范数, 且 $R^{m \times n}$构成一个完备内积空间.

定义1.1  设 $A \in R^{m \times n}, B \in R^{p\times q}$, 称 $A\otimes B=(a_{ij}B) \in R^{mp\times nq}$为 $A$与 $B$的Kronecker积.

定义1.2  设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$, 记 $a_j=(a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{mj})$ $(j=1, \cdots, n)$, 称 ${\rm vec}(A)=(a_1, \cdots, a_n)^T$为矩阵 $A$的（按列）拉直.

定义1.3  若矩阵 $X=(x_{ij})\in R^{n\times n}$的元素满足 $x_{ij}=x_{n+1-i, n+1-j}(i, j=1, \cdots, n)$, 则称 $X$为中心对称矩阵.若 $X$是中心对称的且为三对角矩阵，则称 $X$为三对角中心对称矩阵.全体 $n$阶三对角中心对称矩阵的集合记为 $CSTR^{n\times n}$.

本文主要考虑以下问题:

问题Ⅰ  给定 $A\in R^{m\times n}, B\in R^{n\times s}, C\in R^{m\times l}, D\in R^{l\times s}, E\in R^{m\times s}$, 求

$ AS_{L}=\{[X, Y]\mid X \in CSTR^{n\times n}, Y\in CSTR^{l\times l}, \|AXB+CYD-E\|= \min\}. $

问题Ⅱ  求 $[\hat{X}, \hat{Y}] \in AS_L, $使得

$ \begin{align} \|\hat{X}\|^2+\|\hat{Y}\|^2=\underset{[X, Y]\in AS_L}{\min}\{\|X\|^2+\|Y\|^2\}. \end{align} $

(1.2)

问题Ⅰ的解称为矩阵方程(1.1) 的三对角中心对称最小二乘解，问题Ⅱ的解称为矩阵方程(1.1) 的三对角中心对称极小范数最小二乘解.本文在第2节给出了问题Ⅰ的解, 第3节给出了问题Ⅱ的解的表达式.

为了研究问题Ⅰ的解，先来看几个引理.

引理2.1  (1) 当 $n=2k$时， $X=(x_{ij})_{n\times n}\in R^{n\times n}$, 则

$ \begin{align} X\in CSTR^{n\times n}\Leftrightarrow {\rm vec}(X)=J_n{\rm vec}_S(X), \end{align} $

(2.1)

其中

$ \begin{align}& {\rm vec}_S(X)=(x_{11}, x_{21}, x_{12}, x_{22}, x_{32}, \cdots, x_{(k-1)k}, x_{kk}, x_{k(k+1)})^T\in R^{\frac{3n-2}{2}}, \end{align} $

(2.2)

$ \begin{align} J_n= \begin{bmatrix} e_1&e_2&0&0&0&0&0&0&\cdots&0&0&0 \\ 0&0&e_1&e_2&e_3&0&0&0&\cdots&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&e_2&e_3&e_4&\cdots&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots &e_{k-1}&e_k&e_{k+1} \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots &e_{k+2}&e_{k+1}&e_k \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0&0&0&0&0&e_{n-1}&e_{n-2}&e_{n-3}&\cdots&0&0&0 \\ 0&0&e_n&e_{n-1}&e_{n-2}&0&0&0&\cdots&0&0&0 \\ e_{n}&e_{n-1}&0&0&0&0&0&0&\cdots&0&0&0 \\ \end{bmatrix}, \end{align} $

(2.3)

其中 $e_i$为单位矩阵 $I_n$的第 $i$列，易知 $J_n\in R^{n^2\times \frac{3n-2}{2}}$.

(2) 当 $n=2(k+1)$时， $X=(x_{ij})_{n\times n}\in R^{n\times n}$, 则

$ \begin{align} X\in CSTR^{n\times n}\Leftrightarrow {\rm vec}(X)=J^{\prime}_n{\rm vec}^{\prime}_S(X), \end{align} $

(2.4)

其中

$ \begin{align} &{\rm vec}^{\prime}_S(X)=(x_{11}, x_{21}, x_{12}, x_{22}, x_{32}, \cdots, \\ &x_{(k-1)k}, x_{kk}, x_{(k+1)k}, x_{k(k+1)}, x_{(k+1)(k+1)})^T\in R^{\frac{3n-1}{2}}, \end{align} $

(2.5)

$ \begin{align} &J_n^{\prime}= \\ &\begin{bmatrix} e_1&e_2&0&0&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&0&0 \\ 0&0&e_1&e_2&e_3&0&0&0&\cdots&0&0&0 &0&0\\ 0&0&0&0&0&e_2&e_3&e_4&\cdots&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots &e_{k-1}&e_k&e_{k+1}&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&0&e_k + e_{k+2} &e_{k+1} \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots &e_{k+3}&e_{k+2}&e_{k+1}&0&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&0&e_{n-1}&e_{n-2}&e_{n-3}&\cdots&0&0&0&0&0\\ 0&0&e_n&e_{n-1}&e_{n-2}&0&0&0&\cdots&0&0&0&0&0\\ e_{n}&e_{n-1}&0&0&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&0&0\\ \end{bmatrix}, \end{align} $

(2.6)

其中 $e_i$为单位矩阵 $I_n$的第 $i$列, 易知 $J_n^{\prime}\in R^{n^2\times \frac{3n-1}{2}}$.

证  只证(1), (2) 的证明同(1).

若 $X\in CSTR^{n\times n}$, 由三对角中心对称矩阵的定义可知

$\begin{align*} &X= \begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&&&&&&&&&&&&&\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}&&&&&&&&&&&& \\ &x_{32}&x_{33}&x_{34}&&&&&&&&&&&\\ && &\ddots & &&&&&&&&&& \\ && &&\ddots &&&&&&&&&& \\ && & & &\ddots &x_{(k-1)k}&&&&&&&& \\ && & & &x_{k(k-1)} &x_{kk} &x_{k(k+1)}&&&&&& \\ && & & &&x_{k(k+1)} &x_{kk} &x_{k(k-1)}&&&&& \\ && & & && &x_{(k-1)k} &\ddots&&&&& \\ && & & &&&& &\ddots&&&& \\ & && & & &&&& &\ddots&&& \\ & && & & &&&& &x_{34} &x_{33} &x_{32}&\\ & && & & &&&& & &x_{23} &x_{22} &x_{21} \\ & & && & & & &&&& &x_{12} &x_{11}\\ \end{bmatrix}\\ &= x_{11}(e_1, 0, 0, 0, \cdots, 0, 0, 0, e_n)+x_{21}(e_2, 0, 0, 0, \cdots, 0, 0, 0, e_{n-1})+\\ &x_{12}(0, e_1, 0, 0, \cdots, 0, 0, e_n, 0)\\ &+ x_{22}(0, e_2, 0, 0, \cdots, 0, 0, e_{n-1}, 0)+x_{32}(0, e_3, 0, 0, \cdots, 0, 0, e_{n-2}, 0)\\ &+x_{23}(0, 0, e_2, 0, \cdots, 0, e_{n-1}, 0, 0)\\ &+ x_{33}(0, 0, e_3, 0, \cdots, 0, e_{n-2}, 0, 0)+x_{43}(0, 0, e_4, 0, \cdots, 0, e_{n-3}, 0, 0)+\cdots\\ & + x_{(k-1)k}(0, \cdots, 0, e_{k-1}, e_{k+2}, 0, \cdots, 0) +x_{kk}(0, \cdots, 0, e_k, e_{k+1}, 0, \cdots, 0)\\ & +x_{k(k+1)}(0, \cdots, 0, e_{k+1}, e_k, 0, \cdots, 0), \end{align*} $

将等式两边按列拉直得

$ \begin{align*} {\rm vec}(X) =&x_{11}\begin{bmatrix} e_1,& 0,&0,&0,&\cdots,& 0,&0,&0,&e_n \end{bmatrix}^T\\ &+x_{21}\begin{bmatrix} e_2,& 0,&0,&0,&\cdots,& 0,&0,&0,&e_{n-1} \end{bmatrix}^T\\ &+x_{12}\begin{bmatrix} 0,&e_1,& 0,&0,&\cdots,& 0,&0,&e_n,&0 \end{bmatrix}^T\\ &+x_{22}\begin{bmatrix} 0,&e_2,& 0,&0,&\cdots,& 0,&0,&e_{n-1},&0 \end{bmatrix}^T \\ &+x_{32}\begin{bmatrix} 0,&e_3,&0,&0,&\cdots,& 0,&0,&e_{n-2},&0 \end{bmatrix}^T\\ & +x_{23}\begin{bmatrix} 0,&0,&e_2,& 0,&\cdots,& 0,&e_{n-1},&0,&0 \end{bmatrix}^T\\ &+x_{33}\begin{bmatrix} 0,&0,&e_3,& 0,&\cdots,& 0,&e_{n-2},&0,&0 \end{bmatrix}^T\\ &+x_{43}\begin{bmatrix} 0,&0,&e_4,& 0,&\cdots,& 0,&e_{n-3},&0,&0 \end{bmatrix}^T\\ &+\cdots\\ &+x_{(k-1)k}\begin{bmatrix} 0,& \cdots,&0,&e_{k-1},&e_{k+2},& 0,&\cdots,&0 \end{bmatrix}^T\\ & +x_{kk}\begin{bmatrix} 0,& \cdots,&0,&e_{k},&e_{k+1},& 0,&\cdots,&0 \end{bmatrix}^T\\ &+x_{k(k+1)}\begin{bmatrix} 0,& \cdots,&0,&e_{k+1},&e_k,& 0,&\cdots,&0 \end{bmatrix}^T. \end{align*} $

进一步可得 ${\rm vec}(X)=J_n{\rm vec}_S(X)$.反过来, 若 $\forall X=(x_{ij})_{n\times n}\in R^{n\times n}$且 ${\rm vec}(X)=J_n{\rm vec}_S(X)$, 则 $X\in CSTR^{n\times n}$.

引理2.2^[7]   ${\rm vec}(AXB)=(B^T\otimes A){\rm vec}(X)$.

引理2.3^[7]  设 $A\in R^{m\times n}, b\in R^n $, 则不相容线性方程组 $Ax=b$的最小二乘解为

$ \begin{align} x=A^{+}b+(I-A^+A)y, \end{align} $

(2.7)

其中 $y\in R^n$是任意的.

引理2.4^[8]  分块矩阵 $(P_1, P_2)$的Moore-Penrose广义逆为

$ (P_1, P_2)^+=\begin{bmatrix} P_1^+-P_1^+P_2H \\ H \end{bmatrix} \quad \text{且}I-(P_1, P_2)^+(P_1, P_2)=\begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22}\\ \end{bmatrix}, $

其中

$ \begin{align*}& H=R^++(I-R^+R)ZP_2^T(P_1^+)^TP_1^+(I-P_2R^+); R=(I-P_1P_1^+)P_2;\\ &Z=(I+(I-R^+R)P_2^T(P_1^+)^TP_1^+P_2(I-R^+R))^{-1};\\ &S_{11}=I-P_1^+P_1+P_1^+P_2Z(I-R^+R)P_2^T(P_1^+)^T;\\ &S_{12}=-P_1^+P_2(I-R^+R)Z; S_{22}=(I-R^+R)Z. \end{align*} $

下面来求解问题Ⅰ的解.

定理2.1  给定 $A\in R^{m\times n}, B\in R^{n\times s}, C\in R^{m\times l}$, $D\in R^{l\times s}$, $E\in R^{m\times s}$, ${\rm vec}(X)$如定义1.2所给, $J_n, {\rm vec}_S(X)$如引理2.1所给, 令 $Q_1=J_n$, $Q_2=J_l$, 记 $Q={\rm diag}(Q_1, Q_2)$, $P_1=(B^T\otimes A)Q_1$, $P_2=(D^T\otimes C)Q_2$, 则问题Ⅰ的解 $AS_L$可表示为

$ \begin{align} AS_L=\Bigg{\{}[X, Y]\Bigg{|} \begin{bmatrix}{\rm vec}(X) \\ {\rm vex}(Y) \end{bmatrix}=Q \begin{bmatrix} P_1^+-P_1^+P_2H \\ H \end{bmatrix}{\rm vec}(E)+Q \begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22}\\ \end{bmatrix}y\Bigg{\}}, \end{align} $

(2.8)

其中 $ y$为适当维数的任意向量.

证  由引理2.1知

$ \begin{align*} \parallel AXB+CYD-E \parallel &= \parallel {\rm vec}(AXB)+{\rm vec}(CYD)-{\rm vec}(E) \parallel_2\\ &= \parallel (B^T\otimes A) {\rm vec}(X)+(D^T\otimes C) {\rm vec}(Y)-{\rm vec}(E)\parallel_2\\ &= \parallel (B^T\otimes A)Q_1 {\rm vec}_S(X)+(D^T\otimes C)Q_2{\rm vec}_S(Y)-{\rm vec}(E)\parallel_2\\ &=\Bigg{\Vert}(P_1, P_2)\begin{bmatrix} {\rm vec}_S(X) \\ {\rm vec}_S(Y) \end{bmatrix}-{\rm vec}(E) \Bigg{\Vert}_2. \end{align*} $

由引理2.3知

$ \begin{gather*} \|AXB+CYD-E\|=\min\Leftrightarrow \begin{bmatrix} {\rm vec}_S(X) \\ {\rm vec}_S(Y) \end{bmatrix}=(P_1, P_2)^+\\ {\rm vec}(E)+(I-(P_1, P_2)^+(P_1, P_2))y. \end{gather*} $

由引理2.4知

$ \begin{gather*} \begin{bmatrix} {\rm vec}(X) \\ {\rm vec}(Y) \end{bmatrix}=Q \begin{bmatrix} {\rm vec}_S(X) \\ {\rm vec}_S(Y) \end{bmatrix}=Q \begin{bmatrix} P_1^{+}-P_1^{+}P_2H \\ H \end{bmatrix}vec(E)+Q \begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix}y, \end{gather*} $

其中 $y$为适当维数的任意向量.

注  定理2.1中 $J_n, {\rm vec}_S(X)$的表达式根据 $n=2k$或 $n=2k+1$分别取(2.1) 式或(2.4) 式.

定理3.1  条件与符号和定理2.1相同，则问题Ⅱ存在唯一解 $[\hat X, \hat Y] \in AS_L$且 $[\hat X, \hat Y]$可表示为

$ \begin{align}& \begin{bmatrix} {\rm vec}(\hat X) \\ {\rm vec}(\hat Y) \end{bmatrix} =Q \begin{bmatrix} P_1^{+}-P_1^{+}P_2H \\ H \end{bmatrix}{\rm vec}(E)\nonumber\\& -Q \begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} Q\begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix} \end{bmatrix} ^+Q \begin{bmatrix} P_1^{+}-P_1^{+}P_2H \\ H \end{bmatrix}{\rm vec}(E). \end{align} $

(3.1)

证  易知 $AS_L$为完备内积空间 $R^{n\times n}\times R^{l\times l}$的一个闭凸集, 由最佳逼近定理知存在唯一的 $[\hat X, \hat Y]\in AS_L$使(1.2) 式成立.下面证明 $[\hat X, \hat Y]$由(3.1) 式给出.

由(2.8) 式知

$ \begin{align*}&\min\limits_{[X, Y]\in AS_L}\{\|X\|^2+\|Y\|^2\}=\min\limits_{[X, Y]\in AS_L}\Bigg{\Vert}\begin{bmatrix} {\rm vec}( X) \\ {\rm vec}( Y) \end{bmatrix}\Bigg{\Vert}^2_2\\ =&\min\limits_{y}\Bigg{\Vert}Q\begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix}y +Q \begin{bmatrix} P_1^{+}-P_1^{+}P_2H \\ H \end{bmatrix}{\rm vec}(E) \Bigg{\Vert}^2, \end{align*} $

由引理2.3知

$ \min \limits_{y}\Bigg{\Vert}Q\begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix}y +Q \begin{bmatrix} P_1^{+}-P_1^{+}P_2H \\ H \end{bmatrix}{\rm vec}(E) \Bigg{\Vert}^2 $

的解为

$ \begin{align} \hat{y}=y_0+\Bigg{(} I-\begin{bmatrix}Q \begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix} \end{bmatrix}^+\begin{bmatrix}Q\begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\Bigg{)}z, \end{align} $

(3.2)

其中 $y_0=-\begin{bmatrix}Q \begin{bmatrix} S_{11}&S_{12}\\ S_{12}^T&S_{22} \end{bmatrix} \end{bmatrix}^+\begin{bmatrix}Q \begin{bmatrix} P_1^{+}-P_1^{+}P_2H \\ H \end{bmatrix}{\rm vec}(E) \end{bmatrix}$， $ z$为适当维数的任意向量.

将(3.2) 式代入(2.8) 式且当 $z$为零向量时可得 $[\hat{X}, \hat{Y}]$如(3.1) 式所示.