本文研究了非线性矩阵方程

$X+A^*X^{-\alpha}A+B^*X^{-\beta}B=I.$

(1)

当$\alpha, \beta\in(0, 1]$的Hermite正定解, 其中$A, B$是$n$阶非奇异复方阵, $A^*$是$A$的共轭转置, $I$是$n$阶单位阵.

形如

$X+ A^*X^{-\alpha}A=Q, X-A^*X^{-\alpha}A=Q, $

(2)

其中$Q$是正定矩阵.当$\alpha=1$时, 方程(2) 产生于控制理论, 动态规划, 随机过滤和统计学等领域^[1-2].许多作者^[3-4]针对方程(2) 中参数$\alpha$取不同值, 研究了解的存在性, 收敛速度, 性质及迭代算法等.近年来较复杂方程形式受到人们关注, 杜仲复^[5]从矩阵分解角度研究了$X-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B=I$, 当$\alpha, \beta\in(0, 1]$时, 方程解存在的若干条件及迭代求解算法; 龙建辉, 何优美, 廖安平^[6-8]等研究形如$X+\sum\limits_{i=1}^{m}A_{i}^*X^{-n}A_i=I$的方程, 其中文献[6]是本文当$\alpha=1, \beta=1$的特殊情况; Sarhan, 段雪峰^[9-11]等对更为复杂的形式$X^r+\sum\limits_{i=1}^{m}A_i^*X^{\delta _i}A_i=Q$也取得了较好的理论成果.

$\|A\|$表示$A$的谱范数; $A>0(A\geq 0)$表示$A$是正定$($半$)$正定矩阵, $A>B(A\geq B)$表示$A-B$是正定$($半$)$正定矩阵.

引理2.1 ^[12] 若$A>B>0(A\geq B>0)$, 则$A^\alpha>B^\alpha(A^\alpha\geq B^\alpha>0)$对$\alpha\in(0, 1], $且$A^\alpha<B^\alpha(0<A^\alpha\leq B^\alpha)$对$\alpha\in[-1, 0).$

引理2.2 若方程(1) 有正定解$X$, 则$X\leq I$且

$\max \left\{(AA^*)^{\frac{1}{\alpha}}, (BB^*)^{\frac{1}{\beta}}\right\}<X\leq I-A^*A-B^*B.$

证 显然$X\leq I$.由引理2.1知$X^{-\alpha}\geq I, X^{-\beta}\geq I$, 则

$X=I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B\leq I-A^*A-B^*B.$

由$0<A^*X^{-\alpha}A<I$, 则

$0<A^*X^{\frac{-\alpha}{2}}X^{\frac{-\alpha}{2}}A<I, $

因此

$0<X^{\frac{-\alpha}{2}}AA^*X^{\frac{-\alpha}{2}}<I, $

进而

$0<AA^*<X^\alpha, $

再由引理2.1得

$(AA^*)^{\frac{1}{\alpha}}<X.$

同理可知$(BB^*)^{\frac{1}{\beta}}<X$.得证.

定理2.3 方程(1) 有正定解的充要条件是存在非奇异阵$W, Y, Z\in C^{n\times n}$使得$(W^T, Y^T, Z^T)^{T}$为列正交阵, 且$A=(W^*W)^{\alpha/2}Y$, $B=(W^*W)^{\beta/2}Z$, 此时$X=W^*W$为方程的解, 且所有的解可写成此形式, 进而可令$W$为三角阵.

证 必要性 若方程有正定解$X$, 则$X=W^*W$, $W$为非奇异方阵, 特别的可选择Cholesky分解, $W$可为三角阵, 重写方程如下

$W^*W+A^*(W^*W)^{-\alpha}A+B^*(W^*W)^{-\beta}B=I, $

即

$ W^*W+A^*(W^*W)^{-\alpha/2}(W^*W)^{-\alpha/2}A+B^*(W^*W)^{-\beta/2}(W^*W)^{-\beta/2}B=I, \\ W^*W+A^*(W^*W)^{*-\alpha/2}(W^*W)^{-\alpha/2}A+B^*(W^*W)^{*-\beta/2}(W^*W)^{-\beta/2}B=I, \\ \begin{pmatrix}W\\(W^*W)^{-\alpha/2}A\\(W^*W)^{-\beta/2}B\end{pmatrix}^* \begin{pmatrix}W\\(W^*W)^{-\alpha/2}A\\(W^*W)^{-\beta/2}B\end{pmatrix} =I. $

令$Y=(W^*W)^{-\alpha/2}A$, $Z=(W^*W)^{-\beta/2}B$, 则$A=(W^*W)^{\alpha/2}Y$, $B=(W^*W)^{\beta/2}Z$.

充分性 将$A, B, X$代入方程(1) 的左端即可验证$X=W^*W$为方程的解.

算法2.4 

$\left\{\begin{aligned}&\quad X_0=Y_0=I, \\&Y_{n+1}=(I-X_n)Y_n+I, \\&X_{n+1}=I-A^*Y_{n+1}^{\alpha}A-B^*Y_{n+1}^{\beta} B \quad n=0, 1, 2, \cdots.\end{aligned}\right.$

定理2.5 若方程(1) 有一正定解, 且序列$\{X_n\}, \{Y_n\}$由算法$(2.4)$决定, 则$\{X_n\}$单调下降且收敛于正定解$X$.

证 往证

$I=X_0\geq X_1\geq X_2\geq\cdots\geq X_n\geq X , I=Y_0\leq Y_1\leq Y_2\leq\cdots\leq Y_n\leq X^{-1}.$

(3)

由

$I\geq I-A^*A-B^*B\geq I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B, $

则

$X_0\geq X_1\geq X.$

对$\{Y_n\}$,

$I=Y_0=Y_1\leq X^{-1}.$

则不等式(3) 对$n=0, 1$成立.假设(3) 对$n=k$时成立, 即

$I=X_0\geq X_1\geq X_2\geq\cdots\geq X_k\geq X , I=Y_0\leq Y_1\leq Y_2\leq\cdots\leq Y_k\leq X^{-1}.$

如下证明式(3) 当$n=k+1$时成立, 则

$Y_{k+1}=(I-X_k)Y_k+I\geq(I-X_{k-1})Y_{k-1}+I=Y_k, $

亦有

$Y_{k+1}=(I-X_k)Y_k+I\leq(I-X)X^{-1}+I=X^{-1}, $

即

$Y_k\leq Y_{k+1}\leq X^{-1}.$

考虑$X_k$有

$X_k-X_{k+1}=A^*(Y_{k+1}^{\alpha}-Y_k^{\alpha})A+B^*(Y_{k+1}^{\beta}-Y_k^{\beta})B, $

因$Y_{k+1}\geq Y_k, $由引理2.1知$Y_{k+1}^{\alpha}> Y_k^{\alpha}$, $Y_{k+1}^{\beta}> Y_k^{\beta}$, 因此$X_k\geq X_{k+1}$.由

$X_{k+1}=I-A^*Y_{k+1}^{\alpha}A-B^*Y_{k+1}^{\beta}B\geq I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B=X, $

即

$X_k\geq X_{k+1}\geq X.$

故当$n=k+1$时不等式(3) 也成立, 且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}X_n$与$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}Y_n$存在.对算法(2.4) 取极限得到$ Y=X^{-1}$且

$X=I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B.$

进而因对任意$n$有$X_n\geq X$, 则$X$为所求正定解.

算法2.6

$\left\{\begin{aligned}&\quad X_0=\delta I, \\& X_{n+1}=I-A^*X_n^{-\alpha}A-B^*X_n^{-\beta}B, n=0, 1, 2, \cdots. \end{aligned}\right.$

定理2.7 若方程(1) 有一正定解, 且序列$\{X_n\}$由算法(2.6) 决定, 则当$\delta>1$时, $\{X_n\}$单调递减有下界; 当$0<\delta<1$且$I-\delta^{-\alpha}A^*A-\delta^{-\beta}B^*B>\delta I$时, $\{X_n\}$单调递增有上界, $\{X_n\}$收敛于方程正定解$X$.

证 对$\delta>1$, $0<\delta<1$两种情况证明.

情况1 当$\delta>1$时, 由迭代序列知$X_0=\delta I$,

$X_1=I-A^*X_0^{-\alpha}A-B^*X_0^{-\beta}B=I-\delta^{-\alpha}A^*A-\delta^{-\beta}B^*B<X_0, $

假设$X_k<X_{k-1}$, 往证$X_{k+1}<X_k$.

$X_{k+1}=I-A^*X_k^{-\alpha}A-B^*X_k^{-\beta}B<I-A^*X_{k-1}^{-\alpha}A-B^*X_{k-1}^{-\beta}B=X_k, $

由此知序列$\{X_n\}$单调递减.

如下证明$\{X_n\}$有下界. $n=0$时显然成立

$\begin{aligned}X_0-X&=\delta I-(I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B)>0, \\X_1-X&=(I-A^*X_0^{-\alpha}A-B^*X_0^{-\beta}B)-(I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B)\\&=A^*(X^{-\alpha}-X_0^{-\alpha})A+B^*(X^{-\beta}-X_0^{-\beta})B>0.\end{aligned}$

假设$n=k$时, 有$X_k>X$, 往证$n=k+1$时, $X_{k+1}>X$.

$\begin{aligned}X_{k+1}-X&=(I-A^*X_k^{-\alpha}A-B^*X_k^{-\beta}B)-(I-A^*X^{-\alpha}A-B^*X^{-\beta}B)\\&=A^*(X^{-\alpha}-X_k^{-\alpha})A+B^*(X^{-\beta}-X_k^{-\beta})B>0.\end{aligned}$

因此$\{X_n\}$是单调递减并以某正定阵$X$为下界的矩阵序列, $\{X_n\}$收敛于方程正定解$X$.

情况2 $0<\delta<1$且$I-\delta^{-\alpha}A^*A-\delta^{-\beta}B^*B>\delta I$时, 证明类似于$\delta>1$情况.

对方程(1) 考虑如下, 令$Y=X^{-1}$, 则方程(1) 有解$X$等价于下式有解$Y$:

$Y=I+Y^{1/2}A^*Y^{\alpha}AY^{1/2}+Y^{1/2}B^*Y^{\beta}BY^{1/2}.$

算法2.8

$\left\{\begin{aligned}&Y_0=0, \\&Y_n=I+Y_{n-1}^{1/2}A^*Y_{n-1}^{\alpha}AY_{n-1}^{1/2}+Y_{n-1}^{1/2}B^*Y_{n-1}^{\beta}BY_{n-1}^{1/2}, n=0, 1, 2, \cdots. \end{aligned}\right.$

定理2.9 设$0<\|A\|^2, \|B\|^2<\frac{2}{27}$, 则由算法(2.8) 决定的迭代序列收敛到方程(1) 的正定解$X^{-1}$, 且$X\in[\frac{2}{3}I, I]$.

证 根据文[5, Theorem 8], 由算法2.8决定的迭代序列收敛到方程(1) 的唯一解$X=Y^{-1}\in[\frac{2}{3}I, \frac{3}{2}I]$, 再由引理2.2知$X\in[\frac{2}{3}I, I]$.

如下数值例子对本文给出的迭代方法进行说明.所有的结果都在matlab7.10.0中运行得到.设残差

$R(X)=\| X+A^*X^{-\alpha}A+B^*X^{-\beta}B-I\|_\infty.$

实验停机的条件设为

$R(X)\leq1.0\times10^{-10}.$

例3.1 考虑方程(1) 其中

$\begin{equation*} A=\left( \begin{array}{ccc} 0.0100&-0.1500&-0.2590\\ 0.0150&0.2120&0.0640 \\ 0.0250&-0.0690&0.1380 \\ \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{ccc} 0.1600&-0.0250&0.0200 \\ 0.0250&-0.2880&-0.0600 \\ 0.0040&-0.0160&-0.1200 \\ \end{array} \right). \end{equation*}$

任意取两组参数进行数值计算比较.取$\alpha=0.5$, $\beta=0.2, $分别用三种算法解得

$\begin{equation*} X=\left( \begin{array}{ccc} 0.9726&0.0112&-0.0034 \\ 0.0112&0.8366&-0.0655 \\ -0.0034&-0.0655&0.8873 \\ \end{array} \right). \end{equation*}$

取$\alpha=0.8$, $\beta=0.4, $分别用三种算法解得

$\begin{equation*} X=\left( \begin{array}{ccc} 0.9723&0.0111&-0.0036 \\ 0.0111&0.8300&-0.0689 \\ -0.0036&-0.0689&0.8841 \\ \end{array} \right). \end{equation*}$

由以上结果可知, 本文的三种算法较准确的给出了方程的正定解. 表 1, 表 2对以上两组参数三种算法计算的结果进行了比较.

通过此例说明:三种算法可行有效.由表 1, 表 2可知算法2.4及算法2.8迭代次数相近, 算法2.6迭代较快, 优于前两种算法.