Torsion理论是代数表示论研究的基本对象之一, 也是代数学其他分支, 如几何和拓扑等学科, 研究的基本工具之一. Torsion理论在三角范畴的理论研究中起着重要的作用, 三角范畴的Torsion理论和t -结构, 倾斜理论有着密切关系.上世纪六十年代Dickson^[1]将Abel群的Torsion理论推广到一般的Abel范畴.文章主要研究了由已知三角范畴通过coherent函子范畴构造Abel范畴时, 三角范畴的Torsion理论和新的Abel范畴的Torsion理论之间的关系.

Auslander等^[2-4]于上世纪八十年代引入反变有限子范畴和共变有限子范畴的概念, 由此解决了模范畴的子范畴上几乎可裂序列的存在性问题, 他们在确定代数的表示型以及范畴的倾斜理论方面起着重要作用. Thick子范畴是同伦范畴, 交换代数和群表示论的重要研究基础, 文章研究了三角范畴Abel化过程中, 具有好性质的子范畴的保持问题.

下面定理是我们的主要结果之一:

定理1.1  设 $\mathcal{D}$是三角范畴, $\mathcal{T}$是 $\mathcal{D}$的满子范畴.如果 $\mathcal{T}$是 $\mathcal{D}$的反变有限子范畴, 并且 $\mathcal{T}$对有限直和封闭, 那么 $\mathcal{T}$的coherent函子范畴 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$是 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$的thick子范畴.

进一步地, 我们考虑三角范畴 $\mathcal{D}$的Torsion理论与 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$的Torsion理论, 得到下面结果:

定理1.2  设 $\mathcal{D}$是三角范畴, 其Torsion理论记为 $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$, 如果 $\mathcal{D}$ $=$ $\mathcal{X}$ $\ast$ $\mathcal{Y}$的扩张是可裂的, 那么 $(\mathcal{A}(\mathcal{X}), \mathcal{A}(\mathcal{Y}))$是 $\mathcal{D}$的coherent函子范畴 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$的Torsion理论.

文中我们假定 $\mathcal{C}$是加法范畴, $\mathcal{D}$是三角范畴.在本节中, 我们回忆一些将要用到的定义和结论.

定义2.1^[2]  设 $\mathcal{T}$是 $\mathcal{C}$的满子范畴.若对任意 $X\in\mathcal{C}$, 存在右 $\mathcal{T}$-逼近, 即存在 $M\in\mathcal{T}$和态射 $\alpha:M\rightarrow X$, 满足对任意 $T_{1}\in\mathcal{T}$, Hom $_{\mathcal{C}}(T_{1}, \alpha): {\hbox{Hom}}_{\mathcal{C}}(T_{1}, M)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{C}}(T_{1}, X)$是满射, 则称 $\mathcal{T}$是 $\mathcal{C}$的反变有限子范畴.

考虑 $\mathcal{C}^{op}$到Abel群的函子, 如果对任意 $X\in\mathcal{C}$都有Abel群的正合列 $F^{'}X\rightarrow FX\rightarrow F^{''}X$, 那么我们称函子序列 $F^{'}\rightarrow F\rightarrow F^{''}$是正合的.下面给出加法范畴 $\mathcal{C}$的coherent函子的定义.

定义2.2^[5]  如果 $\mathcal{C}$的函子 $F$满足:存在 $X, Y\in\mathcal{C}$, 使得

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{C}}(\_{}, X)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{C}}(\_{}, Y)\rightarrow F\rightarrow 0 $

是正合列, 那么我们称 $F$是 $\mathcal{C}$的coherent函子.

注记2.3^[5]  根据Yoneda引理, 我们有coherent函子 $F:\mathcal{C}^{op}\rightarrow Ab$可以作成加法范畴并且有cokernel, 称之为加法范畴 $\mathcal{C}$的coherent函子范畴, 记作 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$.

定义2.4^[5]  如果在 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$中存在正合列Hom $_{\mathcal{C}}(\_{}, X)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{C}}(\_{}, Y)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{C}}(\_{}, Z)$, 那么我们称态射 $X\rightarrow Y$是态射 $Y\rightarrow Z$的弱kernel.

对于加法范畴 $\mathcal{C}$, 有如下引理:

引理2.5^[5]  如果加法范畴 $\mathcal{C}$有弱kernel, 那么 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$是Abel范畴.

由引理2.5, 易得三角范畴 $\mathcal{D}$的coherent函子范畴 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$是Abel范畴.

为方便读者, 我们给出下面引理及其证明.

引理2.6  设 $\mathcal{T}$是三角范畴 $\mathcal{D}$的满子范畴.如果 $\mathcal{T}$是 $\mathcal{D}$的反变有限子范畴, 那么 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$是Abel范畴.

证  任取 $ Y, Z\in\mathcal{T}$和态射 $\alpha:Y\rightarrow Z$.一方面, 在三角范畴 $\mathcal{D}$中有三角

$ X\xrightarrow{\beta} Y\xrightarrow{\alpha}Z\rightarrow X[1], $

从而有正合列

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, X)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, Y)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, Z). $

另一方面, 对于 $X$存在着右 $\mathcal{T}$-逼近 $\gamma:M\rightarrow X$, 即有满射

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, \gamma): {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, M)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, X). $

故Hom $_{\mathcal{T}}(\_{}, M)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, Y)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(\_{}, Z)$也是正合列, 因此 $\beta\gamma:M\rightarrow Y$是态射 $\alpha:Y\rightarrow Z$的弱kernel.由引理2.5可得 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$是Abel范畴.

定义2.7^[6]  设 $\mathcal{C}$是Abel范畴 $\mathcal{A}$的满子范畴.如果 $\mathcal{C}$是扩张闭的Abel范畴, 并且 $\mathcal{C}$的任意对象 $N$关于直和项封闭, 那么称 $\mathcal{C}$是 $\mathcal{A}$的thick子范畴.

定义2.8^[7]  设 $\mathcal{X}$和 $\mathcal{Y}$是Abel范畴 $\mathcal{A}$的满子范畴, 且满足

(1) 对任意 $M\in\mathcal{X}, N\in\mathcal{Y}$都有Hom $_{\mathcal{A}}(M, N)=0$,

(2) 对任意 $L\in\mathcal{D}$, 存在 $\mathcal{D}$中的短正合列 $0\rightarrow X'\rightarrow L\rightarrow X''\rightarrow 0$, 其中 $X'\in\mathcal{X}, X''\in\mathcal{Y}$, 则称有序对 $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$是 $\mathcal{A}$的Torsion理论.

定义2.9^[8]  设 $\mathcal{X}$和 $\mathcal{Y}$是三角范畴 $\mathcal{D}$的满子范畴, 且满足

(1) 对任意 $M\in\mathcal{X}, N\in\mathcal{Y}$都有Hom $_{\mathcal{D}}(M, N)=0$,

(2) 任意 $L\in\mathcal{D}$, 存在 $\mathcal{D}$中的三角 $X'\rightarrow L\rightarrow X''\rightarrow X[1]$, 其中 $X'\in\mathcal{X}, X''\in\mathcal{Y}$, 则称有序对 $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$是 $\mathcal{D}$的torsion理论.

引理2.10^[9]  设 $T$是三角范畴 $\mathcal{D}$的rigid对象, 令

$ ^{\bot}T=^{\bot}({\hbox{add}}T)=\{Y\in\mathcal{D}|Ext^{1}(Y, X)=0~~\text{其中}X\in {\hbox{add}}T\}, $

则 $^{\bot}T$是 $\mathcal{D}$的反变有限子范畴.

引理2.11^[10]  设 $\mathcal{C}$是一个加法范畴, $H: \mathcal{C}\rightarrow\mathcal{A}$是 $\mathcal{C}$到加法范畴 $\mathcal{A}$的加法函子; 用 $h_{\mathcal{C}}$表示 $\mathcal{C}$的Yoneda函子, 在 $h_{\mathcal{C}}$的作用下 $\mathcal{C}$的对象 $X$映成 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$的对象Hom $_{\mathcal{C}}(\_, X)$.如果 $\mathcal{A}$有cokernel, 则存在唯一的正合函子 $\overline{H}: \mathcal{A}(\mathcal{C})\rightarrow\mathcal{A}$满足 $H=\overline{H}\circ h_{\mathcal{C}}$.

设 $\mathcal{S}$是三角范畴 $\mathcal{D}$的满子范畴.则存在态射 $H:\mathcal{S}\xrightarrow{i}\mathcal{D}\xrightarrow{h_{\mathcal{D}}}\mathcal{A}(\mathcal{D})$, 由引理2.5知 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$是Abel范畴.

根据引理2.11, 存在唯一的 $\overline{H}: \mathcal{A}(\mathcal{S})\rightarrow \mathcal{A}(\mathcal{D})$, 使得 $h_{\mathcal{D}}\circ i=\overline{H}\circ h_{\mathcal{S}}$.

任取 $G\in\mathcal{A}(\mathcal{S})$, 由文献[10]存在 $\mathcal{A}(\mathcal{S})$的正合列

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{S}}(\_{}, Y)\xrightarrow{f} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{S}}(\_{}, X)\xrightarrow{g} G\rightarrow 0. $

由此, 存在 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$的正合列

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y)\xrightarrow{f'} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X)\xrightarrow{g'} G'\rightarrow 0, $

且 $\overline{H}(G)=G', \overline{H}({\hbox{Hom}}_{\mathcal{S}}(\_{}, X))={\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X).$

根据引理2.6, $\mathcal{A}(\mathcal{T})$是Abel范畴.

设 $G\in\mathcal{A}(\mathcal{T})$, 那么 $G$可以自然的延拓为 $\mathcal{D}$的函子, 我们依然用 $G$表示, 且存在 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$中的正合列

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y)\xrightarrow{f} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X)\xrightarrow{g} G\rightarrow 0, $

其中 $X, Y\in \mathcal{T}$.下面将 ${\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y)$简记为 $h_{Y}$.

如果在 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$中, 有 $G=G_1\bigoplus G_2$, 那么存在如下交换图,

其中 $\pi_i(i=1, 2)$是自然投射, $R, R'$分别是 $g, \pi_1g$的kernel.

由 $\pi_1gp=0$, 所以存在唯一的态射 $n: R\rightarrow R'$使得 $bn=p$; 根据“蛇引理”, 存在“Ker-coker”正合序列

$ 0\rightarrow {\hbox{ker}}n\rightarrow {\hbox{ker}}1_X\rightarrow {\hbox{ker}}\pi_1\rightarrow {\hbox{coker}}n\rightarrow {\hbox{ coker}}1_X\rightarrow {\hbox{coker}}\pi_1\rightarrow 0 $

从而 $n$是单射, 且 ${\hbox{cokern}}\cong {\hbox{ker}}\pi_1=G_2$, 因此 $0\rightarrow R\xrightarrow{n} R'\xrightarrow{c}G_2\rightarrow0$是短正合列.且下图是交换图,

其中 $l$满足 $p\circ l=f$; 因为 $c$是满射, $h_X$是投射对象, 所以存在态射 $d: h_X\rightarrow R'$满足 $cd=\pi_2g$, 故存在态射 $a=(nl, d)$使得上图是交换图.

根据“蛇引理”, 存在“Ker-coker”正合序列

$ 0\rightarrow {\hbox{ker}}l\rightarrow {\hbox{ker}}a\rightarrow {\hbox{ker}}\pi_2g\rightarrow {\hbox{coker}}l\rightarrow {\hbox{coker}}a \rightarrow {\hbox{coker}}\pi_2g\rightarrow 0. $

由 $l$和 $\pi_2g$是满射, 可得 $a$是满射, 因此 $h_Y\oplus h_X\xrightarrow{ba}h_X\xrightarrow{\pi_1g}G_1\rightarrow0$是正合列, 从而 $G_1\in\mathcal{A}(\mathcal{T})$, 即 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$关于直和项封闭.

设 $G_1, G_2\in\mathcal{A}(\mathcal{T})$, 那么存在正合列 $h_{Y_1}\xrightarrow{b_1}h_{X_1}\xrightarrow{a_1}G_1\rightarrow0$和 $h_{Y_2}\xrightarrow{b_2}h_{X_2}\xrightarrow{a_2}G_2\rightarrow0$, 其中 $X_i, Y_i\in\mathcal{T}, i=1, 2$. $G_1, G_2$可以自然延拓为 $\mathcal{D}$的函子, 我们依然用 $G_1, G_2$表示, 且在 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$中依然有上面两个正合列.

任取 $G_1, G_2$的扩张 $G$, 那么下图是交换图,

其中 $R', R''$分别是 $a_1, a_2$的kernel, $0\rightarrow R'\xrightarrow{b_1^{''}}h_{X_1}\xrightarrow{a_1}G_1\rightarrow0$和 $0\rightarrow R''\xrightarrow{b_2^{''}}h_{X_2}\xrightarrow{a_2}G_2\rightarrow0$是正合列.

因为 $c_2$是满射, $h_{X_2}$是投射对象, 存在态射 $d_2: h_{X_2}\rightarrow G$满足 $c_2d_2=a_2$, 从而上图的“右部分”是交换的; 令 $R$是 $(c_1a_1~d_2)$的kernel, 故存在态射 $\alpha_1, \alpha_2$使得 $R'\xrightarrow{\alpha_1}R\xrightarrow{\alpha_2}$是正合列, 且上图是交换的; 根据“蛇引理”可得, $(c_1a_1~d_2)$是满射.

类似的, 我们可以找到满射 $l: h_{Y_1}\oplus h_{Y_2}\rightarrow R$, 使得下图交换,

从而有正合列 $h_{Y_1}\oplus h_{Y_2}\xrightarrow{p\circ l}h_{X_1}\oplus h_{X_2}\xrightarrow{\left(\begin{array}{cc} c_1a_1&d_2\end{array}\right)}G\rightarrow 0$.因为 $X_i, Y_i\in \mathcal{T}$, 所以 $G\in\mathcal{A}(\mathcal{T})$, 即 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$是扩张闭的, 从而 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$是 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$的thick子范畴.

根据引理2.10有如下推论:

推论3.2.1  设 $T$是三角范畴 $\mathcal{D}$的rigid对象, 则 $\mathcal{A}(^{\perp}T)$是 $\mathcal{A}(\mathcal{D})$的thick子范畴.

任取 $G\in\mathcal{A}(\mathcal{D})$, 则存在下面正合列

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, T_1)\xrightarrow{\alpha} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, T_0)\xrightarrow{\beta} G\rightarrow 0, $

其中 $T_0, T_1\in\mathcal{D}$.

由于 $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$是三角范畴 $\mathcal{D}$的torsion理论, 且 $\mathcal{D}$ $=$ $\mathcal{X}$ $\ast$ $\mathcal{Y}$的扩张是可裂的, 所以对于 $T_0, T_1\in\mathcal{D}$存在下面两个三角

$ X_0\rightarrow T_0\rightarrow Y_0\xrightarrow{0}X_0[1], \ \ \ \ X_1\rightarrow T_1\rightarrow Y_1\xrightarrow{0}X_1[1], $

其中 $X_0, X_1\in\mathcal{X}, Y_0, Y_1\in\mathcal{Y}$.任意 $M\in\mathcal{D}$有上同调函子Hom$_{\mathcal{D}}(M, \_)$, 因此存在下面两个短正合列

$ \begin{eqnarray*}&& 0\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, X_0)\xrightarrow{f_0}{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, T_0)\xrightarrow{g_0}{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, Y_0)\rightarrow0, \\ && 0\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, X_1)\xrightarrow{f_1}{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, T_1)\xrightarrow{g_1}{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, Y_1)\rightarrow0.\end{eqnarray*} $

故有如下交换图

因为 ${\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(X_1, Y_0)=0$, 所以 $g_0\alpha f_1=0$, 从而 $\alpha f_1=0$通过 ${\hbox{ker}}(g_0)\cong {\hbox{Im}}(f_0)$分解, 且 ${\hbox{Hom}}_{\mathcal{T}}(-, X_1)$是投射对象, 所以存在 $\alpha_1$满足 $\alpha f_1=f_0\alpha_1$; 类似的, 由于

$ 0\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, X_1)\xrightarrow{f_1}{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, T_1)\xrightarrow{g_1}{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_, Y_1)\rightarrow0 $

是短正合列, 且 $g_0\alpha f_1=0$, 故存在 $\alpha_2$满足 $g_0\alpha=\alpha_2 g_1$.

取 $\beta_1, \beta_2$分别是 $\alpha_1, \alpha_2$的cokernel, 因此 $G_1\in\mathcal{A}(\mathcal{X}), G_2\in\mathcal{A}(\mathcal{Y})$.

由 $\beta_2g_0\alpha=0$, 且有正合列

$ {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, T_1)\xrightarrow{\alpha} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, T_0)\xrightarrow{\beta} G\rightarrow 0, $

所以存在 $h_2$满足 $h_2\beta =\beta_2g_0$.

类似的, 由 $\beta f_0\alpha_1=0$, 且有正合列 ${\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_1)\xrightarrow{\alpha_1} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_0)\xrightarrow{\beta_1} G_1\rightarrow 0$, 所以存在 $h_1$满足 $h_1\beta_1=\beta f_0$.故上图是交换图, 且存在序列 $G_1\xrightarrow{h_1}G\xrightarrow{h_2}G_2$, 其中 $G_1\in\mathcal{A}(\mathcal{X}), G_2\in\mathcal{A}(\mathcal{Y})$.

因为 $h_2h_1\beta_1=\beta_2g_0f_0=0$, 所以 $h_2h_1=0$; 根据“强四引理”可得

$ {\hbox{ker}}h_2=\beta ({\hbox{ker}}g_0)=\beta ({\hbox{Im}}f_0)=h_1({\hbox{Im}}\beta _1), $

所以 $0\rightarrow G_1\xrightarrow{h_1}G\xrightarrow{h_2}G_2\rightarrow 0$是短正合列.

任取 $G_1\in\mathcal{A}(\mathcal{X}), G_2\in\mathcal{A}(\mathcal{Y})$, 自然延拓为 $\mathcal{D}$的函子 $G_1, G_2$, 则存在两个正合列

$ \begin{eqnarray*}&&{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_1)\xrightarrow{\alpha_1} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_0)\xrightarrow{\beta_1} G_1\rightarrow 0, \\ && {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y_1)\xrightarrow{\alpha_2} {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y_0)\xrightarrow{\beta_2} G_2\rightarrow 0, \end{eqnarray*} $

其中 $X_0, X_1\in\mathcal{X}, Y_0, Y_1\in\mathcal{Y}$.设存在态射 $\eta: G_1\rightarrow G_2$, 由 ${\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(-, X_0)$的投射性, 存在 $\varepsilon: X_0\rightarrow Y_0$满足 $\eta\beta_1=\beta_2{\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(-, \varepsilon)$, $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$是Torsion理论, 所以 $\varepsilon=0$, 故 $\eta=0$.

因此 $(\mathcal{A}(\mathcal{X}), \mathcal{A}(\mathcal{Y}))$是 $\mathcal{A}(\mathcal{T})$的Torsion理论.

推论3.3.1  设 $\mathcal{D}$是三角范畴, 其Torsion理论记为 $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$, 那么 $\mathcal{A}(\mathcal{X})\cap\mathcal{A}(\mathcal{Y})=0$.

证  任取 $G\in\mathcal{A}(\mathcal{X})\cap\mathcal{A}(\mathcal{Y})$, 自然延拓为 $\mathcal{D}$的函子 $G$, 则存在如下两个正合列

$ \begin{eqnarray*}&& {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_2)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_1)\rightarrow G\rightarrow 0, \\ && {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y_2)\rightarrow {\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, Y_1)\rightarrow G\rightarrow 0, \end{eqnarray*} $

其中 $X_0, X_1\in\mathcal{X}, Y_0, Y_1\in\mathcal{Y}$.因为 ${\hbox{Hom}}_{\mathcal{D}}(\_{}, X_1)$有投射性, 并且 $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$是Torsion理论, 由Yoneda引理知 $G\xrightarrow{1_G}G$为零, 从而 $G=0$.