半群代数理论是一门重要的代数学分支, 它在自动化控制、密码学和计算机安全系统设置等方面都有重要的实践意义. 1955年, Thierin首次引入了$E$ -反演半群的概念^[1]. 1990年, Mitsch又重新给出了$E$ -反演半群的一个定义, 研究了$E$ -反演半群的基本性质及$E$ -反演半群的子直积^[2]. 2010年, Siripitukdet研究了$E$ -反演$E$ -半群的带同余, 得到了类似于纯正半群上的同余的若干结果^[3].文献[11-12]分别讨论了$E$ -可逆* -半群的性质和具有中间幂等元的正则半群的性质. 1996年作者从代数学的角度对模糊蕴含算子作了进一步抽象, 建立了与著名的Hilbert第十问题H10有关的、比DA重写系统更广泛的$N(2, 2, 0)$代数^[4], 记为$(S, *, \triangle, 0)$, 这个新的代数系统带的两个半群$(S, *)$和$(S, \Delta)$是相互对偶.文献[5]证明了半群$(S, *)$和$(S, \Delta)$还是纯正半群.文献[6]研究了$N(2, 2, 0)$代数的RC半群及其性质. 2011年陈露教授研究了$N(2, 2, 0)$代数的中间幂等元性质^[13]; 2012年李旭东教授研究了$N(2, 2, 0)$代数的子代数与理想^[14-15].本文将讨论$N(2, 2, 0)$代数的$E$ -反演半群$(S, *)$及其性质, 研究$N(2, 2, 0)$代数的$(S, *)$元素的弱逆元与中间单位元的关系.

定义2.1 ^[4]  设$S$是含常元$0$的集合.若在$S$中定义二元运算$*$和$\triangle$满足以下公理: $\forall{x, y, z} \in S$,

$(F_{1}) \quad x*(y \triangle z)=z*(x*y)$,

$(F_{1}) \quad (x \triangle y)*z=y*(x*z)$,

$(F_{1}) \quad 0*x=x$.

则称$(S, *, \triangle, 0)$是一个$N(2, 2, 0)$代数.

定理2.1^[4] 若$(S, *, \triangle, 0)$是一个$N(2, 2, 0)$代数, 则$\forall{x, y, z}\in S$, 恒有下列等式成立:

(1) $x*y=y\triangle x$;

(2) $(x*y)*z=x*(y*z)$, $(x \triangle y) \triangle z=x \triangle (y \triangle z)$;

(3) $x*y*z=y*x*z, x \triangle y \triangle z=x \triangle z \triangle y$.

推论  ^[4]  若$(S, *, \triangle, 0)$是一个$N(2, 2, 0)$代数, 则$(S, *)$和$(S, \triangle)$都是半群.

因此, $N(2, 2, 0)$代数是带有一对对偶半群的代数系统.

定理2.2^[4]  设集合$S$含有常元0, $*$, $\triangle:S\times S \rightarrow S$, 且$\forall{x, y}\in S, 0*x=x, x*y=y\triangle x$, 则$\forall{x, y, z}\in S$, 有下列一些等价形式:

(1) $(x\triangle y)*z=y*(x*z)\Longleftrightarrow (2)(x*y)*z=x*(y*z)$;

(3) $x*(y*z)=y*(x*z)\Longleftrightarrow (4)(x \triangle y)\triangle z=(x \triangle z)\triangle y \Longleftrightarrow (5)x*(y\triangle z)=z*(x*y)$.

定义2.2   $\forall{a}\in S$, $\exists {b}\in S$, 使得$a*b*a=a$, 则称$a$是$S$的正则元.记$S$的全体正则元集合为${\rm Reg}(S)$.

对于$a, b\in S$, 若$a*b*a=a, b*a*b=b$, 则称$b$是$a$的逆元.如果$S$的每个元素都是正则元, 则称$S$是一个正则半群；如果$S$的每个元素都有惟一的逆元素, 则称$S$是一个逆半群, 记逆半群的元素$a$的逆元为$a^{-1}$, $S$中$a$的全体逆元的集合为$V(a)$.

定义2.3 ^[3]  如果一个半群$S$中的每一个元素都是幂等元, 则称$S$是一个带；若一个带$S$中的任何元素$a, b$都满足$a=aba$, 则称该带为矩形带.

定义2.4 ^[3]  如果对于一个半群$S$中的一个元素$a$, 存在$S$中的元素$x$, 使得$ax$是$S$的一个幂等元, 则称$a$是$E$ -反演的; 如果一个半群$S$中的每一个元素都是$E$ -反演的, 则称该半群$S$是$E$ -反演半群; 如果半群$S$的幂等元集合$E_{S}$形成一个子半群, 则称$S$是一个$E$ -半群.

上述$E$ -反演半群的定义是1955年Thierrin提出的.事实上, 如果$xy\in E_{S}$, 则$a=yxy$, 满足$xa, ax\in E_{S}$, 从而得到: $S$是$E$ -反演半群的充分必要条件是^[8]

$(\forall x\in S), I(x)=\{a\in S\mid xa, ax\in E_{S}\}\neq\emptyset.$

由定理2.1及推论知: $N(2, 2, 0)$代数带有一对对偶半群.下面将给出带有一对对偶$E$ -反演半群的$N(2, 2, 0)$代数的例子.

例  设$S=\{0, a, b, c, d, e, f, g\}$, 在$S$上定义两个二元运算$*$, $\Delta$如下表:

可以验证$(S, *, \Delta, 0)$是一个$N(2, 2, 0)$代数, 且(S, *)是一个$E$ -反演半群.

事实上, 对于$0$, 存在$f$, 使得$(0*f)^{2}=0*f=f$, 类似的有:对于$a$, 存在$f$, 使得$(a*f)^{2}=a*f$, 对于$b$, 存在$e$, 使得$(b*e)^{2}=b*e$, 对于$c$, 存在$e$, 使得$(c*e)^{2}=c*e$, 对于$d$, 存在$f$, 使得$(d*f)^{2}=d*f$, 对于$e$, 存在$e$, 使得$(e*e)^{2}=e*e$, 对于$f$, 存在$f$, 使得$(f*f)^{2}=f*f$, 对于$g$, 存在$f$, 使得$(g*f)^{2}=g*f$.因此, 由定义2.4知$(S, *, )$是一个$E$ -反演半群.显然, $E_{S}$=$\{0, a, b, d, f, g\}$.

对偶的可以得到: $(S, \Delta)$也是一个$E$ -反演半群.

定义2.5 ^[9] 设$S$是一个半群, 对于$a\in S$, 定义集合

$W(a)=\{x\in S\mid xax=x \}, $

称$W(a)$中的元素为$a$的弱逆元.

定义2.6 ^[10]  称一个半群$S$的子半群$T$是正规的, 如果$\forall a, b, c, d \in T$, 有$abcd=acbd$成立.

由$N(2, 2, 0)$代数的半群$(S, *)$的运算性质易得

定理2.3  一个$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$的任意子半群都是正规半群.

定理3.1  给定一个$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$, 若$a\in E_{S}$, 有$W(a)\neq\emptyset$, 则$(W(a), *, \triangle, 0)$是$(S, *, \triangle, 0)$的一个子代数.

证 由假设$W(a)\neq\emptyset$, 则$\forall x, y\in W(a)$, 有$x*a*x=x, y*a*y=y$, 于是$x*y=x*a*x*y*a*y=x*y*a*a*x*y=x*y*a*x*y$, 因此${x*y\in W(a)}$, 由对偶性, $x\bigtriangleup y\in W(a)$.所以$(W(a), *, \triangle, 0)$是$(S, *, \triangle, 0)$的一个子代数.

定理3.2  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$中, 若$E_{S}\neq \emptyset$, 则$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$和$(S, \Delta)$都是$E$ -半群.

证 设$S$是一个$N(2, 2, 0)$代数, 显然$0\in E_{S}$, 故$E_{S}\neq\emptyset$.若$\forall a, b\in E_{{S}}$, 则由$*$运算性质, 得

$(a*b)^{2}=a*b*a*b=a^{2}*b^{2}=a*b, $

s即$E_{{S}}$关于$*$运算封闭, 而结合律显然成立, 因此$E_{{S}}$构成$(S, *)$的子半群, 由定义2.4知: $(S, *)$是一个$E$ -半群.同理可得$(S, \Delta)$也是$E$ -半群.

由文献[2]知, 在纯正半群$S$上, 关系

$\gamma=\{(a, b)\in S\times S:V(a)=V(b)\}$

是一个最小逆同余.而由文献[5]知:任意一个$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$和$(S, \Delta)$都是纯正半群, 因此, 上述关系$\gamma$也是$(S, *)$和$(S, \Delta)$的最小逆同余.

由文献[2]知一个$E$ -半群$S$的幂等元集合$E_{{S}}$是一个矩形带时, 其关系

$\sigma=\{(a, b)\in S\times S: W(a)=W(b)\}$

是群$S$的一个最小群同余.由定理3.1知任意一个$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$和$(S, \Delta)$都是$E$ -半群, 且$E_{{S}}$是一个矩形带, 上述关系$\sigma$也是$(S, *)$和$(S, \Delta)$的最小群同余.

定理3.3  如果$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$是正则半群, 则有

(1) $(S, *)$是$E$ -反演半群;

(2) $(S, *)$是$E$ -半群.

证   (1) $\forall a\in S$, 由$a$是正则元知, $\exists x \in S$, 使得$a*x*a=a$, 于是

$(a*x)*(a*x)=(a*x*a)*x=a*x, $

所以$a*x \in E_{S}$.因此, $(S, *)$是$E$ -反演半群.

(2 $\forall a, b\in E_{S}$, 有

$a*b*a*b=a^{2} *b^{2}=a*b, $

所以$a*b \in E_{S}$, 即$E_{S}$构成$S$是子半群, 因此, $(S, *)$是$E$ -半群.

定理3.4 在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, 若$\forall a \in S$, 都存在$x\in W(a)$, 则半群$(S, *)$是$E$ -反演半群.

证  由题设, 对于$\forall a \in S$, 都存在$x\in W(a)$, 即$x*a*x=x$, 所以$a*x*a*x=a*x$, 即有$a*x \in E_{S}$, 所以$(S, *)$是$E$ -反演半群.

定义3.1  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, $\forall x, y\in S$, 如果存在$u\in S$, 使得

$x*u*y=x*y, $

则称$u$是$S$的一个中间单位, 记$S$的全体中间单位的集合为$M(S)$.

显然0是$S$的一个中间单位元, 称其为平凡中间单位元.

定理3.5   ($M(S), *, \triangle, 0)$是$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的一个子代数.

证  显然$0\in M(S)$, 因此$M(S)$是一个非空集, 则${\forall u, v\in M(S)}$, 有

$x*u*y=x*y, x*v*y=x*y, $

于是

$x*(u*v)*y=u*(x*v*y)=u*(x*y)=x*u*y=x*y, $

因此${u*v\in M(S)}$, 由对偶性, ${x\bigtriangleup y\in M(S)}$.所以$(M(S), *, \triangle, 0)$是$(S, *, \triangle, 0)$的一个子代数.

定理3.6  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$中构造关系$\sigma$:

$\forall x, y\in S, (x, y)\in\sigma \Leftrightarrow \exists u_{1}, u_{2}\in M(S), \quad s.t.\quad u_{1}*x=u_{2}*y, $

则$\sigma$是$S$上的一个同余关系.

证  显然$\sigma$是具有自反性和对称性.

下面验证$\sigma$的传递性.

事实上, 若$\forall x, y, z\in S$, $(x, y)\in \sigma, $ $(y, z)\in \sigma$, 则$\exists u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\in S$, 使得

$u_{1}*x=u_{2}*y, u_{3}*y=u_{4}*z, $

于是

$(u_{1}*u_{3})*x=u_{3}*(u_{1}*x)=u_{3}*(u_{2}*y)=u_{2}*(u_{3}*y)=u_{2}*(u_{4}*z)=(u_{2}*u_{4})*z, $

由定理3.5($M(S), *, \triangle, 0)$是$(S, *, \triangle, 0)$的一个子代数知$u_{1}*u_{3}$, $u_{2}*u_{4}\in M(S)$, 故$(x, z)\in\sigma$, 于是$\sigma$是$S$上的一个等价关系.

若$x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\in S, (x_{1}, y_{1})\in \sigma, (x_{2}, y_{2})\in \sigma$, 那么$\exists a, b, c, d\in M(S)$, 使

$a*x_{1}=b*y_{1}, c*x_{2}=d*y_{2}, $

因此,

$(a*c)*(x_{1}*x_{2})=(a*x_{1})*(c*x_{2})=(b*y_{1})*(d*y_{2})=(b*d)*(y_{1}*y_{2}), $

即$\sigma$是$S$上的一个同余关系.

将$x$所在的同余类记为$[x]$, \quad$S/\sigma=\{[x]|x\in S\}$, $\forall[x], [y]\in S/\sigma$, 规定

$[x]*[y]=[x*y], [x]\triangle [y]=[x\triangle y], $

则有

定理3.7   $(S/\sigma, *, \triangle, ^{[<xref ref-type="bibr" rid="b0">0</xref>]})$构成$N(2, 2, 0)$代数.

定理3.8 在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$中, $\forall x\in S, u\in M(S)$, 构作映射$g_{u}(x)=u*x$, 则$g_{u}$是半群$(S, *)$上的自同态映射.

证 由$g_{u}(x)=u*x$知

$g_{u}(x*y)=u*(x*y), $

又由$u\in M(S)$得, $\forall x, y\in S$, 有$x*u*y=x*y$, 于是

$g_{u}(x*y)=u*(x*y)=u*(x*u*y)=(u*x)*(u*y)=g_{u}(x)*g_{u}(y), $

因此, $g_{u}$是半群$(S, *)$上的自同态映射.

定理3.9 若$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的中间单位元集$M(S)\neq\emptyset$, 则半群$(S, *)$的每一个中间单位元都是左单位元.

证  由题设, $M(S)\neq\emptyset$, 即$\forall x, y\in S, \exists u\in S$, 使得$x*u*y=x*y$, 也即是$u*(x*y)=x*y$, 于是$u$是$(S, *)$的左单位元.

定理3.10 在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, 若$a\in M(S)$, 则有$W(a)= E_{S}.$

证  $\forall x\in W(a)$, 由$a\in M(S)$知: $x*a*x=x^{2}=x$, 于是$ x\in E_{S}$.因此$W(a)= E_{S}.$

定义3.2  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, 称半群$(S, *)$是左(右)可约化的, 若$\forall a, b, c \in S, $ $a*b=a*c\Rightarrow b=c(b*a=c*a \Rightarrow b=c).$

显然, 半群$(S, *)$可约化的充要条件是$(S, *)$左可约且右可约.

定理3.11  (1) 若$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$是左可约的, 则$(S, *)$的中间单位一定是左单位元;

(2) $N(2, 2, 0)$代数的半群$(S, *)$是右可约的, 则$(S, *)$的中间单位一定是右单位元.

证 (1)  由中间单位的定义, 若$u$是$S$的一个中间单位, $\forall x, y\in S$, 有$x*u*y=x*y$成立, 又$(S, *)$是左可约的, 故有$u*y=y$, 因此$u$是$S$的一个左单位.类似可证（2）成立.

定理3.12 若$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$是左可约的, $a$是$E$ -反演的, 则$W(a)\neq \emptyset$.进一步, 如果$N(2, 2, 0)$代数的半群$(S, *)$是可约化半群, 则$W(a)=V(a)$.

证  由定义2.3知: $a$是$E$ -反演的, 则存在$ x\in S$, 使得$(a*x)^{2}=a*x$, 即

$(a*x)*(a*x)=a*(x*a*x)=a*x, $

又半群$(S, *)$是左可约的, 故有$x*a*x=x$, 因此$W(a)\neq \emptyset$.当$N(2, 2, 0)$代数的半群$(S, *)$是可约化半群时, 则也有

$(a*x)*(a*x)=(a*x*a)*x=a*x, $

由右可约化条件可得: $a*x*a=a$.于是有$a$和$x$互为逆元, 即$W(a)=V(a)$.

定义3.3 给定一个$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$, 若$a\in S (a\neq 0)$, 存在$b\in S (b\neq 0)$, 使得$a\ast b=0$, 则称$a$是$(S, *, \triangle, 0)$的一个非零零因子, $b$是$a$的右伴随非零零因子.记

$N_{a}=\{x\in S\mid a*x=0\}, $

称$N_{a}$为$a$的右伴随非零零因子集.

定理3.13  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, $a\in S$, 若$a$存在右伴随非零零因子, 则其右伴随非零零因子是惟一的.

证 对于$a\in S$, 若$a$存在右非零零因子, 则不妨设$ x\in N_{a}$, 则有

$a*x=0, x*0=x*a*x=a*x*x=0*x=x, $

假定$N_{a}$中另有$y\in N_{a}$, 则有

$y=0*y=a*x*y=x*a*y=x*0=x, $

因此$N_{a}$只有惟一一个元素.

定理3.14  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, $a\in S$, 则有$N_{a}\subseteq W(a)$, 即元素$a$的右伴随非零零因子必为$a$的弱逆元.

证   $\forall x\in N_{a}$, 则有$a\ast x=0$, 于是, $x*a*x=a*x*x=0*x=x$, 因此$x\in W(a)$.所以$N_{a}\subseteq W(a).$

定理3.15  在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$中, 若$x\in W(a), y\in W(b)$, 则有$x*y\in W(a*b).$

证   $\forall x\in W(a)$, $\forall y\in W(b)$知: $x*a*x=x$, $y*a*y=y$, 于是

$x*y=(x*a*x)*(y*b*y)=(x*y)*(a*b)*(x*y), $

因此$x*y\in W(a*b)$.

定义3.4 半群$S$被称为是右零半群, 如果$\forall a, b\in S$, 有$a*b=b$.

定理3.16 在$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$中, 若半群$(S, *)$是右零半群, 则

(1) $\forall a\in S$, 有$E_{S}=W(a)$;

(2) $\forall a, b\in S$, 有$b\in W(a)$且$a\in W(b)$;

(3) 若$b\in S$, $\exists x\in N_{b}$, 则$\forall a\in S$, 有$x\in N_{a}$.

证 由题设, 半群$(S, *)$是右零半群, 则$\forall a, b\in S$, 有$a*b=b$, 因此,

(1) $\forall x\in E_{S}$, 有$x^{2}=x$, 于是$x*a*x=a*x^{2}=a*x=x$, 即$x\in W(a)$, 从而$E_{S}\subseteq W(a)$, 反过来, 若$x\in W(a)$, 则$x=x*a*x=a*x^{2}=x^{2}$, 即$x\in E_{S}$, 所以$E_{S}\supseteq W(a)$.于是$E_{S}=W(a)$.

(2) 由于$\forall a, b\in S$, 有$a*b=b$, $b*a*b=a*b*b=b*b=b$, 故$b\in W(a)$.

同理可证$a\in W(b)$.

(3) 由$b\in S$, $\exists x\in N_{b}$知: $b*x=0$, 又由右零半群定义, $\forall a\in S$, 都有$a*b=b$, 于是

$a*b*x=b*x=0\Rightarrow b*a*x=b*(a*x)=a*x=0, $

因此$x\in N_{a}$.

注  由(3) 知, 如果$N(2, 2, 0)$代数$(S, *, \triangle, 0)$的半群$(S, *)$是右零半群, 则它们的所有元素有相同的右伴随非零零因子.