1980's前后, Gage在[1]中证明了一个涉及平面凸曲线的曲率积分的不等式, 即:

(Gage等周不等式)欧氏平面$\mathbb R^{2}$上闭凸曲线$\Gamma$所围成的区域$D$的面积$A$, 周长$L$满足不等式

$\begin{equation} \int_{\Gamma}{\kappa}^{2}ds\geq \frac{\pi L}{A}, \end{equation}$

(1.1)

其中$\kappa$为$\Gamma$的曲率, 等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

不等式(1.1) 称为Gage等周不等式, 并且Gage还给出了Jocobowitz骨形非凸曲线的例子, 来说明该不等式对非凸曲线不成立.

在20世纪末, Green--Osher给出了一系列关于曲率积分的等周不等式(参见文献[3]).

$\begin{equation} \int_{\Gamma}{\kappa^{3}}ds\geq \frac{\pi L^{2}-2\pi^{2}A}{A^{2}}; \end{equation}$

(1.2)

$\begin{equation} \int_{\Gamma}{\kappa^{4}}ds\geq \frac{\pi L^{3}-3\pi^{2}AL}{A^{3}}; \end{equation}$

(1.3)

$\begin{equation} \int_{\Gamma}\kappa \ln (\kappa)ds+\pi\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\geq 0. \end{equation}$

(1.4)

其中, $L$, $A$分别为平面卵形线$\Gamma$的周长及它所围成的面积, 等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.不等式(1.4) 通常称为曲率的熵不等式.

几何不等式可以分为内在型几何不等式(即关于体积、面积、弧长、Guass曲率等内在不变量以及这些不变量积分不等式)和外在型几何不等式(即关于平均曲率等外在不变量以及积分不等式)(参见文献[8]).值得注意的是:经典的等周不等式以及Bonnesen型不等式与域$D$的表面积$A,$体积$V,$直径$D,$最大内接球半径$r,$及最小外接球半径$R$等内蕴不变量有关.但是我们对外在型的几何不等式却知之甚少. Ros不等式(参见文献[14])是目前已知的几个与内在型不变量和外在型不变量有关的混合型几何不等式之一.最近, 周家足教授等已将其推广到了平面和高维的情形(参见文献[7, 8]).而Gage不等式作为与外蕴不变量$\kappa$有关不等式, 对人们理解平面曲线缩短流以及研究平面曲线的其他演化问题起着重要作用(参见文献[2, 4]).因此, 研究平面曲线曲率积分有着十分重要的意义, 也越来越受到数学家的关注(参见文献[6, 9]).

本文主要利用积分几何与凸几何分析中凸集的支持函数以及外平行集的性质讨论不等式(1.1)、(1.3)、(1.4) 之间的关系, 得到了Gage等周不等式以及曲率的熵不等式的一个简化证明; 进一步地, 我们得到了一个新的关于曲率积分的不等式定理3.5.

设$C$为欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$中闭的凸曲线, 其曲率为$\kappa$, 周长为$L$, 所围面积为$A$.若记$h=h(\theta)$为$C$的支持函数($h(\theta)$是以$2\pi$为周期的周期函数), 则(参见文献[10, 11])

$\begin{eqnarray} && \kappa=\frac{1}{h+h''} , \end{eqnarray}$

(2.1)

$\begin{eqnarray} && L=\int^{2\pi}_{0}h{d\theta}=\int^{2\pi}_{0}h+h''{d\theta}, \end{eqnarray}$

(2.2)

$\begin{eqnarray} && A=\frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}(h^{2}-h'^{2}){d\theta}=\frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}h(h+h''){d\theta}. \end{eqnarray}$

(2.3)

若欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$上简单闭曲线的曲率$\kappa$处处大于$0$, 则称此曲线为卵形线.

设$D$为欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$中一凸集.以$D$的每一点为圆心、以$t$为半径作圆, 这些圆之并集称为$D$的距离为$t$的外平行集, 记为$D_{t}$.其边界$\partial D_{t}$称为$\partial D$的外平行曲线.外平行曲线$\partial D_{t}$也可以看作是这样一族圆的包络:圆的半径为$ {t}$圆心在$\partial D$上流动.特别的当$t=0$时$D_{t}$就是$D$.

若凸集$D$的支持函数为$p(\theta)$, 则外平行集$D_{t}$的支持函数为$p(\theta)+t$, 且有下列性质(参见[3, 12]):

$\begin{equation} \begin{split} L_{t} &=\int^{2\pi}_{0}(p+t){d\theta}=\int^{2\pi}_{0}p{d\theta}+t\int^{2\pi}_{0}{d\theta}=L+2\pi t,\\ A_{t}&=\frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}{(p+t)(p+t+p'')}d\theta=A+tL+\pi t^{2}. \end{split} \end{equation}$

(2.4)

其中$L_{t}$、${A}_{t}$分别为$D_{t}$的周长与面积.

设$\kappa$, ${\kappa}_{t}$分别为$\partial D$和$\partial D_{t}$的曲率, 且$\kappa$处处不为$0$(即$\partial D$为卵形线), 则

$\begin{equation} \frac{1}{{\kappa}_{t}}=\frac{1}{\kappa}+t, \ \ \ \ {\kappa}_{t}=\frac{\kappa}{1+t\kappa}. \end{equation}$

(2.5)

由(2.5) 式及卵形线的定义可知, 卵形线的外平行线仍为卵形线.因此(参见文献[12]):

$\begin{eqnarray*}&& \frac{dL_{t}}{dt}=2\pi,\ \ \ \ \frac{dA_{t}}{dt}=L_{t},\ \ \ \ \frac{d{\kappa}_{t}}{dt}=-{{\kappa}_{t}}^{2}, \\ && L^{2}-4\pi A=L_{t}^{2}-4\pi A_{t}.\end{eqnarray*}$

首先, 我们有下列引理:

引理3.1 ^[3]欧氏平面$\mathbb R^{2}$中曲率为$k,$周长为$L,$所围面积为$A$的卵形线$\Gamma$满足下列不等式:

$\begin{equation} \int_{\Gamma}{\kappa^{3}}ds\geq \frac{\pi L^{2}-2\pi^{2}A}{A^{2}}, \end{equation}$

(3.1)

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

定理3.2 (见文献[1, 3, 5], Gage等周不等式)欧氏平面$\mathbb R^{2}$中曲率为$k,$周长为$L,$所围面积为$A$的卵形线$\Gamma$满足下列不等式:

$\begin{equation} \int_{\Gamma}{\kappa}^{2}ds\geq \frac{\pi L}{A}, \end{equation}$

(3.2)

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

证 设$\Gamma_{t}$为卵形线$\Gamma$的外平行曲线, $\kappa_{t}$, $L_{t}$, $A_{t}$分别为$\Gamma_{t}$的曲率, 周长及所围面积.令

$F(t)=\int_{\Gamma_{t}}{\kappa_{t}}^{2}ds_{t} -\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}.$

由(2.1), (2.2), (2.3), (3.1) 式以及外平行集的性质, 则下式成立

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{dF}{dt} &=\frac{d}{dt}\left(\int_{\Gamma_{t}}{\kappa_{t}}^{2}ds_{t} -\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}\right)=\frac{d}{dt}\left(\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{t}}d\theta -\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}\right)\\ &=-\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{t}}d\theta+\frac{\pi L_{t}^{2}-2\pi^{2}A_{t}}{A_{t}^{2}} =-\int_{\Gamma_{t}}{\kappa_{t}^{3}}ds_{t}+ \frac{\pi L_{t}^{2}-2\pi^{2}A_{t}}{A_{t}^{2}}\leq 0. \end{split} \end{equation*}$

又

$\begin{equation*} \begin{split} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}F(t) &=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(\int_{\Gamma_{t}}{\kappa_{t}}^{2}ds_{t} -\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}\right) =\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{t}}d\theta -\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}\right)\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{{\kappa}}{1+t{\kappa}}d\theta-\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{\pi L+2\pi^{2} t}{A+tL+\pi t^{2}}=0-0=0. \end{split} \end{equation*}$

因此, 对于任意的$t\geq 0$, 都有$F(t)\geq 0.$

根据引理$3.1$, $\frac{dF}{dt}=0$当且仅当$\Gamma$为圆, 又因为$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}F(t)=0$.因此, $F(t)=0$当且仅当$\Gamma$为圆.

特别地, 当$t=0$时,

$F(0)=\int_{\Gamma}{\kappa}^{2}ds -\frac{\pi L}{A}\geq 0,$

即

$\int_{\Gamma}{\kappa}^{2}ds\geq \frac{\pi L}{A}.$

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

定理3.3 (见文献[3], 曲率的熵不等式)欧氏平面$\mathbb R^{2}$中曲率为$k,$周长为$L,$所围面积为$A$的卵形线$\Gamma$满足下列不等式:

$\begin{equation} \int_{\Gamma}\kappa \ln (\kappa)ds+\pi\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\geq 0, \end{equation}$

(3.3)

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

证 设$\Gamma_{t}$为卵形线$\Gamma$的外平行曲线, $\kappa_{t}$, $L_{t}$, $A_{t}$分别为$\Gamma_{t}$的曲率、周长及所围面积.令

$G(t)=\int_{\Gamma_{t}}\kappa_{t} \ln (\kappa_{t})ds_{t}+\pi\ln\left(\frac{A_{t}}{\pi}\right).$

由(2.1), (2.2), (2.3) 式, Gage等周不等式(3.2) 以及外平行集的性质, 则下式成立:

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{dG}{dt} &=\frac{d}{dt}\left[\int_{\Gamma_{t}}\kappa_{t} \ln (\kappa_{t})ds_{t}+\pi\ln\left(\frac{A_{t}}{\pi}\right)\right]=\frac{d}{dt}\left[\int_{0}^{2\pi} \ln (\kappa_{t})d\theta+\pi\ln\left(\frac{A_{t}}{\pi}\right)\right]\\ &=-\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{t}}d\theta+\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}=-\int_{\Gamma_{t}}{\kappa_{t}}^{2}ds +\frac{\pi L_{t}}{A_{t}}\leq 0. \end{split} \end{equation*}$

又

$\begin{equation*} \begin{split} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}G(t) &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{\Gamma_{t}}\kappa_{t} \ln (\kappa_{t})ds_{t}+\pi\ln\left(\frac{A_{t}}{\pi}\right)\right]=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{0}^{2\pi} \ln (\kappa_{t})d\theta+\pi\ln\left(\frac{A_{t}}{\pi}\right)\right]\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{0}^{2\pi}\ln\left(\frac{{\kappa}}{1+t{\kappa}}\sqrt{\frac{A+tL+\pi t^{2}}{\pi}}\right)d\theta=0. \end{split} \end{equation*}$

因此, 对于任意的$t\geq 0$, 都有$G(t)\geq 0.$

根据定理$3.2$, $\frac{dG}{dt}=0$当且仅当$\Gamma$为圆, 又因为$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}G(t)=0$.因此, $G(t)=0$当且仅当$\Gamma$为圆.

特别地, 当$t=0$时,

$G(0)=\int_{\Gamma}\kappa \ln (\kappa)ds+\pi\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\geq 0.$

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

由定理3.3和经典的等周不等式$L^{2}-4\pi{A}\geq 0$, 我们立即得到:

推论3.4 设欧氏平面$\mathbb R^{2}$中卵形线$\Gamma$的周长为$L$, 曲率为$\kappa$, 则

$\begin{equation} \int_{\Gamma}\kappa \ln (\kappa)ds+2\pi\ln\left(\frac{L}{2\pi}\right)\geq 0, \end{equation}$

(3.4)

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

根据推论3.4, 得到

定理3.5 设欧氏平面$\mathbb R^{2}$中卵形线$\Gamma$的周长为$L$, 曲率为$\kappa$, 则

$\begin{equation} \int_{\Gamma}{\ln (\kappa)}ds+{L}\ln\left(\frac{L}{2\pi}\right)\leq0, \end{equation}$

(3.5)

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

证 设$\Gamma_{t}$为卵形线$\Gamma$的外平行曲线, $\kappa_{t}$, $L_{t}$, $A_{t}$分别为$\Gamma_{t}$的曲率、周长及所围面积.令

$H(t)=\int_{\Gamma_{t}}{\ln (\kappa_{t})}ds_{t}+{L_{t}}\ln\left(\frac{L_{t}}{2\pi}\right).$

由(2.1), (2.2), (2.3) 式, 推论$3.4$以及外平行集的性质, 则下式成立

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{dH}{dt} &=\frac{d}{dt}\left[\int_{\Gamma_{t}}{\ln (\kappa_{t})}ds_{t}+{L_{t}}\ln\left(\frac{L_{t}}{2\pi}\right)\right]=\frac{d}{dt}\left[\int_{\Gamma_{t}}\frac{\ln (\kappa_{t})}{\kappa_{t}}d\theta+{L_{t}}\ln\left(\frac{L_{t}}{2\pi}\right)\right]\\ &=\int_{\Gamma_{t}}\kappa_{t} \ln (\kappa_{t})ds_{t}+2\pi\ln\left(\frac{L_{t}}{2\pi}\right)\geq 0. \end{split} \end{equation*}$

又

$\begin{equation*} \begin{split} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}H(t) =\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{\Gamma_{t}}{\ln (\kappa_{t})}ds+{L_{t}}\ln\left(\frac{L_{t}}{2\pi}\right)\right]=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{\Gamma_{t}}\ln\left(\frac{{\kappa L+2\pi\kappa t}}{2\pi+2\pi{\kappa}t}\right)ds_{t}=0. \end{split} \end{equation*}$

因此, 对于任意的$t\geq 0$, 都有$H(t)\geq 0.$

根据推论3.4, $\frac{dH}{dt}=0$当且仅当$\Gamma$为圆, 又因为$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}H(t)=0$.因此, $H(t)=0$当且仅当$\Gamma$为圆.

特别地, 当$t=0$时,

$H(0)=\int_{\Gamma}{\ln (\kappa)}ds+{L}\ln\left(\frac{L}{2\pi}\right)\leq0,$

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

由定理3.5和经典的等周不等式$L^{2}-4\pi{A}\geq 0$, 立即得到:

推论3.6 设欧氏平面$\mathbb R^{2}$上卵形线$\Gamma$的周长为$L$, 曲率为$\kappa$, 则

$\int_{\Gamma}{\ln (\kappa)}ds+\frac{L}{2}\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\leq0,$

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.

推论3.7 设欧氏平面$\mathbb R^{2}$上卵形线$\Gamma$的周长为$L$, 曲率为$\kappa$, 则

$\int_{\Gamma}{\ln (\kappa)}ds+\frac{A}{\pi}\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\leq0,$

等号成立当且仅当$\Gamma$为圆.