设Dirichlet级数

$\begin{equation}f(s)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_ne^{\lambda_ns},\end{equation}$

(1.1)

其中$\{a_n\}$是复数列, $s=\sigma+it$ ($\sigma,t$是实变量), 满足

$\begin{equation}0=\lambda_0<\lambda_1<\cdots<\lambda_n<\cdots\uparrow+\infty, \end{equation}$

(1.2)

及

$\begin{eqnarray}&& \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)=h>0,\end{eqnarray}$

(1.3)

$\begin{eqnarray}&& \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\log|a_n|}{\lambda_n}=0.\end{eqnarray}$

(1.4)

根据(1.3) 式以及文献[7, 引理3.1.1]的推导知

$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\lambda_n}=E<+\infty,\qquad \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\log n}{\lambda_n}=0.$

(1.5)

级数(1.1) 的收敛横坐标及绝对收敛横坐标都是零, 那么和函数$f(s)$在左半平面内解析.

记$D$为级数(1.1) 满足条件(1.2)--(1.4) 在Re$s<0$内解析的和函数$f(s)$全体.

定义1.1 若$f(s)\in D$, 那么$f(s)$的增长级$\rho$定义为$ \rho=\limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{\log\log M(\sigma,f)}{-\log(-\sigma)},$其中$M(\sigma,f)=\sup\limits_{-\infty<t<+\infty}|f(\sigma+it)|$为$f(s)$的最大模.

当$\rho=0, 0<\rho<+\infty, \rho=+\infty$时, 级数(1.1) 分别称为零级, 有限级和无限级Dirichlet级数.关于零级, 有限级, 无限级Dirichlet级数已有不少结果^{[1-7, 10-11]}.为了能更好地比较两个无限级Dirichlet级数的增长性, 作者在文[8]中引入$\beta$ -级(本文记$X$ -级)的定义讨论了半平面内解析的无限级Dirichlet级数的增长性, 得到如下结果:

定理A 若$f(s)\in D$并具有$X$ -级$\rho_X$, 则

$ \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_n)}{\log\lambda_n -\log^+\log|a_n|}=\rho_X=\limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-} \frac{X(\log M(\sigma,f))}{-\log(-\sigma)}. $

半平面内解析的无限级Dirichlet级数的$X$级的定义如下:

定义1.2 若$f(s)\in D$以及$X\in \Im$, 那么$f(s)$的$X$ -级$\rho_X$定义为

$ \rho_X=\limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,f))}{-\log(-\sigma)},$

其中$M(\sigma,f)=\sup\limits_{-\infty<t<+\infty}|f(\sigma+it)|$为$f(s)$的最大模.当$\rho_X=0, 0<\rho_X<+\infty, \rho_X=+\infty$时分别称$f(s)$为零$X$级, 有限$X$级以及无限$X$级Dirichlet级数.

注1.1 $\Im$为所有满足下列条件的函数$X(x)$构成的集合:

(i) $X(x)$为定义在$[0,\infty)$上, 严格递增, 可微的正函数, 并随着$x\rightarrow\infty$而趋于$\infty$;

(ii)当$x\rightarrow\infty$时, 有$xX'(x)=o(1)$.

注1.2 显然, $\log_px\in \Im , p\geq2$, 因此$p$级只是$X$级的一种特殊形式.另外, $X$级在某种意义上比$p$级更宽泛, 更精确.事实上, 若函数$Q(x)$的$p$级为无穷且$p+1$级为零, 我们能够找到一函数$X(x)$使得$Q(x)$的$X$ -级却为非零有限.例如, 令$Q(x)=\exp\limits_{p+1}\{(t\log x)^{1/d}\},$ $ X(x)=(\log_{p}x)^d$, 其中$t>1, 0<d<1$.显然,

$ \limsup\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\log_p \log Q(x)}{\log x}=\infty, \limsup\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\log_{p+1} \log Q(x)}{\log x}=0. $

然而$ \limsup\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{X(\log Q(x))}{\log x}=t. $

对于$\rho_X=\infty$的Dirichlet级数, 如何更精确刻化它们的增长性呢?针对这问题, 我们将结合$X$函数与文[9]中的型函数共同刻化级数的增长性, 得到如下结果:

定理1.1 若$f(s)\in D$并具有无限$X$ -级, 则

$ \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,F))}{\log U (\frac{1}{-\sigma} )}=T \Longleftrightarrow \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log m(\sigma,F))}{\log U (\frac{1}{-\sigma} )}=T, $

其中$0<T<\infty$以及$U(x)=x^{\rho(x)}$是满足下列条件的函数:

(i) $\rho(x)$单调且$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\rho(x)=\infty$;

(ii)若$x'=x (1+\frac{1}{\log U(x)} )$且$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\log U(x')}{\log U(x)}=1$成立.

关于Dirichlet级数的正规增长性, 孙道椿, 高宗升等人进行了一些研究, 得到许多很好的结果(见文献[6, 12-14]).本文继续研究具有无穷$X$ -级的正规增长性, 得到如下结果:

定理1.2 若$f(s)\in D$并具有无限$X$ -级, 那么

(i) $ \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,F))}{\log U (\frac{1}{-\sigma} )}=T \Longleftrightarrow \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_n)}{\log U (\frac{\lambda_n}{\log^+|a_n|} )}=T;$

(ii) $\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,F))}{\log U (\frac{1}{-\sigma} )}=T \Longleftrightarrow \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_n)}{\log U (\frac{\lambda_n}{\log^+|a_n|} )}=T, $

并存在$\{\lambda_n\}$的子序列$\{\lambda_{n(p)}\}$, 使

$ \lim\limits_{p\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_{n(p)})}{\log U (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} )}=T, \lim\limits_{p\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_{n(p)})}{X(\lambda_{n(p+1)})}=1.$

注 若级数(1.1) 满足定理1.2中的(ii), 则称$f(s)$为具有正规增长的无限$X$级级数.

为证明定理1.1和定理1.2, 我们需要以下引理.

引理2.1 ^[7]若级数(1.1) 满足(1.3), (1.4) 式, 对于任意$\varepsilon\in(0,1)$, 当$\sigma<0$时, 有

$ m(\sigma,f)\leq M(\sigma,f)\leq K_1(\varepsilon)\frac{1}{-\sigma}m((1-\varepsilon)\sigma,f),$

其中$K_1(\varepsilon)$是一个与$\varepsilon$和$E$有关的正数, 这里$E$如(1.5) 式所述.

引理2.2 若$X(x)\in \Im$, 正实函数$\beta(x)$满足

$\begin{equation} \limsup\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\log\beta(x)}{\log x}=\varrho (0\leq \varrho<\infty), \end{equation}$

(2.1)

如果$M(x)$满足$ \limsup\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{X(\log M(x))}{\log x}=\mu(>0).$那么

$\limsup\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{X(\beta(x)\log M(x))}{\log x}=\mu.$

证 这里只证当$0<\varrho<+\infty$时的情形.当$\varrho=0$时类似可证得.由条件(2.1) 知, 当$x\rightarrow\infty$时, $\beta(x)\rightarrow\infty$.这样, 对充分大的$x$, 不妨设$\beta(x)>1$.又由于$X(x)\in \Im$, 我们有$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log M(x)=\infty$.于是, 根据柯西中值定理知, 至少存在一点$\xi$满足$\log M(x)<\xi<\beta(x)\log M(x)$, 使得

$ \frac{X(\beta(x)\log M(x))-X(\log M(x))}{\log(\beta(x)\log M(x))-\log\log M(x)} =\frac{X'(\xi)}{(\log\xi)'}=\xi X'(\xi), $

即

$\begin{equation} X(\beta(x)\log M(x))=X(\log M(x))+\log \beta(x)\xi X'(\xi). \end{equation}$

(2.2)

由于$X(x)$性质, 当$x\rightarrow+\infty$时$xX'(x)=o(1)$, 这样由(2.1), (2.2) 式, 我们很容易得到引理2.2的结论.

定理1.1的证明 根据定理1.1的条件以及引理2.1, 2.2, 容易证得定理1.1.

定理1.2的证明 我们首先证明定理1.2(i)中($\Longleftarrow$).

若

$\begin{equation}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_n)}{\log U (\frac{\lambda_n}{\log^+|a_n|} )}=T, \end{equation}$

(2.3)

那么对$\forall \tau>0$以及充分大的$n$, 有$ \lambda_n\leq W ((T+\tau)\log U (\frac{\lambda_n}{\log^+ |a_n|} ) ), $其中$W(x)$与$X(x)$互为反函数.令$V(x)$与$U(x)$互为反函数, 由上式可得

$ V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(\lambda_n) \} )\leq\frac{\lambda_n}{\log^+|a_n|}, \log^+|a_n|\leq \lambda_n (V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(\lambda_n) \} ) )^{-1}. $

于是

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\lambda_n\sigma}\leq \lambda_n ( (V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(\lambda_n) \} ) )^{-1}+\sigma ), \end{equation}$

(2.4)

那么对于任意充分接近$0^-$的$\sigma$, 取

$ G=W ((T+\tau)\log U (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} ) ),$

即

$\begin{equation} \frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} =V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(G) \} ). \end{equation}$

(2.5)

如果$\lambda_n\leq G$, 对于充分大的$n$, 不妨设$V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(\lambda_n) \} )\geq1$, 由(2.4), (2.5) 式及$\sigma<0$, 有

$\begin{eqnarray*} \log^+ |a_n|e^{\lambda_n\sigma} &\leq& G ( (V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(\lambda_n) \} ) )^{-1}+\sigma ) \\ &\leq& G=W ((T+\tau)\log U (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} ) ), \end{eqnarray*}$

再根据$U(x)$的性质可得

$\begin{equation} \log^+ |a_n|e^{\lambda_n\sigma} \leq W ((T+\tau)\log [(1+o(1))U (\frac{1}{-\sigma} ) ] ). \end{equation}$

(2.6)

如果$\lambda_n> G$, 由(2.6) 式有$ \log^+ |a_n|e^{\lambda_n\sigma} \leq \lambda_n ( (V (\exp \{\frac{1}{T+\tau}X(G) \} ) )^{-1}+\sigma ),$将(2.5) 式代入上式得到

$\begin{equation} \log^+ |a_n|e^{\lambda_n\sigma}\leq \lambda_n ( (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} )^{-1}+\sigma )<0. \end{equation}$

(2.7)

这样由(2.6) 与(2.7) 式可得

$ \log m(\sigma,f)\leq W ((T+\tau)\log [(1+o(1))U (\frac{1}{-\sigma} ) ] ), $

由于$\tau$的任意性, 根据上式并结合定理1.1, 有

$\begin{equation} \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,F))}{\log U(\frac{1}{-\sigma})}\leq T. \end{equation}$

(2.8)

下面将证明(2.8) 式中的不等号不成立.反证, 假设

$ \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,F))}{\log U(\frac{1}{-\sigma})}=\eta<T. $

于是$\exists \varepsilon\in (0,\frac{\eta}{2})$, 对于任意的$n$以及任意充分接近$0^-$的$\sigma$, 有

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\lambda_n\sigma}\leq\log M(\sigma,f)\leq W ((\eta-2\varepsilon)\log U(\frac{1}{-\sigma}) ).\end{equation}$

(2.9)

由(2.3) 式知存在子序列$\{\lambda_{n(p)}\}$, 对上述的$\varepsilon$及充分大的$p$, 满足

$\begin{equation} X(\lambda_{n(p)})>(T-\varepsilon)\log U (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} ). \end{equation}$

(2.10)

取序列$\{\sigma_p\}$满足

$\begin{equation} W ((\eta-2\varepsilon)\log U(\frac{1}{-\sigma_p}) ) =\frac{\log^+|a_{n(p)}|}{1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})}. \end{equation}$

(2.11)

于是由(2.9) 及(2.11) 式可得

$ \log^+|a_{n(p)}|+\lambda_{n(p)}\sigma_p\leq W ((\eta-2\varepsilon)\log U(\frac{1}{-\sigma_p}) )=\frac{\log^+|a_{n(p)}|}{1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})},$

即

$ \frac{1}{-\sigma_p}\leq\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} (1+\frac{1}{\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})} ).$

再根据$U(x)$的性质便得到

$\begin{equation} U(\frac{1}{-\sigma_p})\leq U (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} (1+\frac{1}{\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})} ) )\leq U^{1+o(1)} (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} ). \end{equation}$

(2.12)

结合(2.11) 式可得

$\begin{eqnarray*} \lambda_{n(p)}&=&\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} W ((\eta-2\varepsilon)\log U(\frac{1}{-\sigma_p}) ) (1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) )\\ &=&\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} W ((\eta-2\varepsilon)(1+o(1))\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ) (1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ). \end{eqnarray*}$

类似于引理2.2的证明, 至少存在一实数$\xi$介于

$\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}(1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) W(\eta-2\varepsilon)(1+o(1))\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})$

与$W(\eta-2\varepsilon)(1+o(1))\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})$之间, 使得

$\begin{eqnarray*} && X (\lambda_{n(p)} )\\ &=&X (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} (1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ) W ((\eta-2\varepsilon)(1+o(1))\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ) )\\ &=&X (W ((\eta-2\varepsilon)(1+o(1))\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ) )\\ &&+ \log (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} (1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ) )\xi X'(\xi), \end{eqnarray*}$

又因为

$ \lim\limits_{p\rightarrow\infty}\frac{\log (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} (1+\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) ) )}{\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|})}=0,$

于是对于充分大的$p$, 得到

$\begin{equation} X (\lambda_{n(p)} )=(\eta-2\varepsilon)(1+o(1))\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}) +\xi X'(\xi)o(1)\log U(\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}). \end{equation}$

(2.13)

由$\eta<T$并结合(2.10), (2.13) 式, 容易得出矛盾.这样便得到

$ \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,f))}{\log U(\frac{1}{-\sigma})}=T.$

因此, 定理1.2(i)的充分性得证.

类似于充分性的讨论可以容易证得其必要性.

接下来证明定理1.2(ii).先证充分性:对于任意的$\varepsilon(>0)$, 由条件可设存在一子序列$\{\lambda_{n(p)}\}$满足

$\begin{equation} \lambda_{n(p)}\geq W ((T-\varepsilon)\log U (\frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|} ) ), \lim\limits_{p\rightarrow\infty}\frac{X(\lambda_{n(p)})}{X(\lambda_{n(p+1)})}=1, \end{equation}$

(2.14)

即

$ \frac{\lambda_{n(p)}}{\log^+|a_{n(p)}|}\leq V (\exp \{\frac{1}{T-\varepsilon}X(\lambda_{n(p)}) \} ), \log^+|a_{n(p)}|\geq \lambda_{n(p)}V (\exp \{\frac{1}{T-\varepsilon}X(\lambda_{n(p)}) \} )^{-1}. $

取序列$\{\sigma_p\}$满足

$\begin{eqnarray} && \lambda_{n(p)}=W ((T-\varepsilon)\log U (\frac{1}{-\sigma_p}+\frac{1}{\sigma_p\log U(\frac{1}{-\sigma_p})} ) ),\end{eqnarray}$

(2.15)

$\begin{eqnarray} && \frac{1}{-\sigma_p}+\frac{1}{\sigma_p\log U(\frac{1}{-\sigma_p})} =V (\exp \{\frac{1}{T-\varepsilon}X(\lambda_{n(p)}) \} ).\end{eqnarray}$

(2.16)

对任意充分接近$0^-$的$\sigma$, 选取$\sigma_p\leq\sigma<\sigma_{p+1}$, 再根据(2.14)--(2.16) 式可得

$\begin{eqnarray} \log M(\sigma,f)&\geq& \log m(\sigma,f)\geq \log^+|a_{n(p)}|+\lambda_{n(p)}\sigma_p\nonumber\\ &\geq& \lambda_{n(p)} (V (\exp \{\frac{1}{T-\varepsilon}X(\lambda_{n(p)}) \} )^{-1} +\sigma_p )\nonumber\\ &\geq& W ((T-\varepsilon)\log U (\frac{1}{-\sigma_p}+\frac{1}{\sigma_p\log U(\frac{1}{-\sigma_p})} ) )\frac{-\sigma_p}{\log U(\frac{1}{-\sigma_p})-1}\nonumber\\ &\geq&(1+o(1))W ((T-\varepsilon)\log U (\frac{1}{-\sigma_{p+1}}+\frac{1}{\sigma_{p+1}\log U(\frac{1}{-\sigma_{p+1}})} ) )\frac{-\sigma_p}{\log U(\frac{1}{-\sigma_p})-1}\nonumber\\ &\geq&(1+o(1))W ((T-\varepsilon)\log U (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{\sigma\log U(\frac{1}{-\sigma})} ) )\frac{-\sigma}{\log U(\frac{1}{-\sigma})-1}. \end{eqnarray}$

(2.17)

令

$ \frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{\sigma\log U(\frac{1}{-\sigma})}=r, r (1+\frac{1}{\log U(r)} )=R, R (1+\frac{1}{\log U(R)} )=R',$

通过简单的计算可得$R'\geq \frac{1}{-\sigma}$, 由$U(r)$的性质(ii)容易得

$\begin{equation} \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{\log U(r)}{\log U(\frac{1}{-\sigma})}=1,\end{equation}$

(2.18)

又因为$ \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{\log\frac{-\sigma}{\log U(\frac{1}{-\sigma})-1}}{\log U(\frac{1}{-\sigma})}=0.$这样由引理2.2及(2.17)--(2.18) 式可得

$ \limsup\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,f))}{\log U(\frac{1}{-\sigma})}=T.$

接下来证明定理1.2(ii)的必要性.由定理1.2(i)容易得到定理1.2(ii)的第一个式子成立, 下证第二个式子也成立.取递减的正数列$\{\varepsilon_i\}(0<\varepsilon_i<T)$, $\varepsilon_i\rightarrow0(i\rightarrow\infty)$.令

$\begin{equation} E_i= \{n:\frac{X(\lambda_n)}{\log U (\frac{\lambda_{n}}{\log^+|a_n|} )}>T-\varepsilon_i \},\end{equation}$

(2.19)

则由条件知:对每个$i\in N_+$, $E_i$为非空无限集且$E_{i+1}\subset E_i$.将$E_i$中正整数从小到大记为$\{n(p)^{(i)}\}_{p=1}^{\infty}$, 那么$\limsup\limits_{\nu\rightarrow+\infty}\frac{X (\lambda_{n(p+1)^{(i)}} )} {X (\lambda_{n(p)^{(i)}} )}\geq1.$

接下来分两种情况讨论.

情形1 若对每个$i\in N_+$有$\limsup\limits_{\nu\rightarrow+\infty}\frac{X (\lambda_{n(p+1)^{(i)}} )} {X (\lambda_{n(p)^{(i)}} )}=1$, 那么存在$N_i\in E_i(i\in N_+)$, 当$n(p)^{(i)}\geq N_i$时, 有

$\begin{equation} \frac{X (\lambda_{n(p+1)^{(i)}} )} {X (\lambda_{n(p)^{(i)}} )}\leq 1+\varepsilon_i. \end{equation}$

(2.20)

又因为$E_{i+1}\subset E_i$, 可取$N_{i+1}>N_i$, $E_i$的子集$E_i'=\{n\in E_i: N_i\leq n\leq N_{i+1}\}$, 那么$E_i'$中的元素同时满足(2.19) 和(2.20) 式.将$E=\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i'$中的元素按递增进行排序, 记为$\{n_\nu\}$, 很容易证得定理1.2的结论.

情形2 若存在$i\in N_+$使$\limsup\limits_{p\rightarrow+\infty}\frac{X (\lambda_{n(p+1)^{(i)}} )} {X (\lambda_{n(p)^{(i)}} )}>1$, 那么存在$\{n(p)^{(i)}\}$子列(依然记为$\{n(p)^{(i)}\}$), 使任$p\in N_+$和正常数$\gamma$, 有$ \frac{X (\lambda_{n(p+1)^{(i)}} )} {X (\lambda_{n(p)^{(i)}} )}\geq 1+\gamma. $

取$\{n'(p)\},\{n''(p)\}$为两个单调增加的正整数序列

$\begin{eqnarray*} && n'(1)=n(1)^{(i)}, n'(2)=n(3)^{(i)},\cdots,n'(p)=n(2p-1)^{(i)},\cdots, \\ && n''(1)=n(2)^{(i)}, n''(2)=n(4)^{(i)},\cdots,n''(p)=n(2p)^{(i)},\cdots, \end{eqnarray*}$

满足

$ n''(p)<n'(p+1), \quad X (\lambda_{n''(p)} )>(1+\gamma)X (\lambda_{n'(p)} ),\quad p=1,2,\cdots, $

则对于充分大的$p$, 当$n'(p)<n<n''(p)$, $n\not\in E_i$, 那么由(2.19) 式, 存在一正数$\delta>0$, 有

$\begin{equation} \lambda_n\leq W ((T-\delta)\log U(\frac{\lambda_n}{\log^+|a_n|}) ), \frac{\lambda_n}{\log^+|a_n|}\geq V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_n)\} ), \end{equation}$

(2.21)

那么

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\sigma\lambda_{n}}<\lambda_{n} ( \frac{1}{V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_n)\} )}+\sigma ). \end{equation}$

(2.22)

令

$ G=W ((T-\delta)\log U (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} ) ),$

即

$\begin{equation} \frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} =V (\exp \{\frac{1}{T-\delta}X(G) \} ). \end{equation}$

(2.23)

若$\lambda_n\geq G$, 由(2.21), (2.22) 式, 可得

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\sigma\lambda_{n}}\leq \lambda_{n} ( \frac{1}{V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_n)\} )}+\sigma )<0. \end{equation}$

(2.24)

若$\lambda_n< G$, 由(2.21), (2.22) 式, 可得

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\sigma\lambda_{n}}<G=W ((T-\delta)\log U (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} ) ). \end{equation}$

(2.25)

取序列$\{\sigma_p\}$满足$\sigma_p=-V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_{n''(p)})\} )^{-1}$, 于是由条件知:存在$N_2\in N_+$满足$V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_{n})\} )\geq1$, 当$n\geq N_2$时有

$ \log^+|a_n|e^{\sigma_p\lambda_{n}} <\lambda_{n} (V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_{n})\} )^{-1}+\sigma_p ).$

当$n\geq n''(p)$时, $\lambda_n\geq \lambda_{n''(p)}$, 再由$\sigma_\nu$的取法, 于是

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\sigma_p\lambda_{n}} <\lambda_{n} (V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_{n''(p)})\} )^{-1}+\sigma_p )=0.\end{equation}$

(2.26)

对于充分大的$\nu$, 当$N_2\leq n\leq n'(p)$时有$\lambda_{n'(p)}\geq \lambda_{n}$, 且

$ \log^+|a_n|e^{\sigma_p\lambda_{n}} \leq \lambda_{n'(p)} (V (\exp\{\frac{1}{T-\delta}X(\lambda_{n})\} )^{-1}+\sigma_p ).$

又由于$\lambda_{n'(p)}<W (\frac{1}{1+\gamma}X(\lambda_{n''(p)}) )$, $\sigma_p<0$以及$\sigma_p, N_2$的取法, 得到

$\begin{equation} \log^+|a_n|e^{\sigma_p\lambda_{n}} \leq W (\frac{1}{1+\gamma}X(\lambda_{n''(p)}) ) \leq W (\frac{T-\delta}{1+\gamma}\log U (\frac{1}{-\sigma_p} ) ).\end{equation}$

(2.27)

这样由(2.23)--(2.26) 式知, 当$n>N_2$, 有

$ \log^+|a_n|e^{\sigma_p\lambda_{n}} \leq W ((T-\delta)\log U (\frac{1}{-\sigma}+\frac{1}{-\sigma\log U (\frac{1}{-\sigma} )} ) ).$

根据引理2.2得到

$ \lim\limits_{\sigma_p\rightarrow0^-}\frac{X(\log m(\sigma_p,f))}{\log U (\frac{1}{-\sigma_\nu} )}\leq T-\delta<T.$

结合定理1.1可知上式与定理1.2中

$ \lim\limits_{\sigma\rightarrow0^-}\frac{X(\log M(\sigma,f))}{\log U (\frac{1}{-\sigma} )}=T$

矛盾.故定理1.2的必要性得证.