设$E$为实的Banach空间, 其正元锥$P$为正规锥, 正规常数为$N$, 记$I=[0,2\pi]$, 本文讨论$E$中的高阶周期边值问题:

$\left\{% \begin{array}{ll} L_{n}u(t)=f(t,u(t)), \ \ \ \ \ \ t\in I,\\ u^{(i)}(0)=u^{(i)}(2\pi),\ \ \ i=0,1,\cdots,n-1 \end{array} \right. $

(1.1)

正解的存在性.其中$L_{n}u(t)=u^{(n)}(t)+\sum^{n-1}\limits_{i=0}a_{i}u^{(i)}(t)$是$n$阶线性微分算子, $a_{0}>0,a_{i}\in\mathbb{R},i=1,2,\cdots,n-1,n\geqslant2$, $f:I\times P\rightarrow P$连续.

对于$L_{n}$的一些具体形式, 其解和正解的存在性已有许多的结论^[1-4], 采用的方法主要是拓扑度及相关的不动点方法与上下解的单调迭代方法.很少有文献在一般Banach空间中讨论高阶周期边值问题正解的存在性.本文在一般Banach空间中利用凝聚映射的不动点指数理论讨论了方程(1.1) 正解的存在性.方程(1.1) 的正解是指$u\in C^{n}(I,E)$满足方程(1.1), 并且$u(t)>\theta,\ 0<t<1$.

Banach空间的常微分方程与普通常微分方程的最大差异是, 把微分方程转换为与之等价的积分方程后, 相应的积分算子不再具有紧性.为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点定理, 通常需要给$f$附加一些非紧性测度条件.本文使用了如下的非紧性测度条件:

(H)对$\forall \ R>0$, 记$P_{R}=\{x\in P:\parallel xallel\leqslant R\}$, $f(I\times P_{R})$有界, 且存在常数$L=L_{R}\in (0,\frac{a_{0}}{4})$使得对$\forall \ t\in I,D\subset P_{R}$, 有$\alpha(f(t,D))\leqslant L\alpha(D)$.

在研究Banach空间常微分方程的正解时, 许多文献都假设$f$在有界集上一致连续, 如文献[5].本文利用新的非紧性测度估计技巧^[7]删去了对$f$的一致连续性.

设$C(I,E)$为定义于$I$取值于$E$的全体连续函数按范数$\|u\|=\max \limits_{t\in I}\|u(t)\|$构成的Banach空间, 记$C(I,P)=\{u\in C(I,E)\mid u(t)\in P,t\in I \}$, 则$C(I,P)$为$C(I,E)$中的正规锥, 正规常数亦为$N$, 以下使用的$C(I,E)$中半序$\leqslant$由$C(I,P)$引出.

设$P_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_{0}$为$L_{n}$的特征多项式, 假设$P_{n}(\lambda)$满足条件:

(H$_{0}$) $\mathcal{N}(P_{n}(\lambda))\subset\{z\in\mathbb{C}\big|| \mathrm{Im}z|<\frac{1}{2}\},$其中$\mathcal{N}(P_{n}(\lambda))$表示$P_{n}(\lambda)$在复平面$\mathbb{C}$上的所有零点的集合.

考虑线性边值问题:

$\left\{% \begin{array}{ll} L_{n}u(t)=\theta, \ \ \ \ \ \ t\in I,\\ u^{(i)}(0)=u^{(i)}(2\pi),\ \ \ i=0,1,\cdots,n-2, \\ u^{(n-1)}(0)-u^{(n-1)}(2\pi)=1. \end{array} \right. $

(2.1)

由文献[4]的引理3知, 条件(H$_{0}$)成立时该问题有唯一解$r_{n}(t)$且$r_{n}(t)>\theta, t\in I.$设$m_{n}=\min \limits_{t\in I}r_{n}(t),$ $M_{n}=\max \limits_{t\in I}r_{n}(t).$记

$G_{n}(t,s)=\left\{% \begin{array}{ll} r_{n}(t-s), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\leqslant s\leqslant t\leqslant2\pi,\\ r_{n}(2\pi+t-s),\ \ \ \ \ \ 0\leqslant t\leqslant s\leqslant2\pi, \end{array} \right. $

则

$0<m_{n}\leqslant G_{n}(t,s)\leqslant M_{n},\ \ \forall\ \ t,s\in I.$

(2.2)

将$r_{n}(t)$代入方程(2.1) 的第一式, 并从$0$到$2\pi$积分, 得$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}r_{n}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{a_{0}}$, 可通过直接计算得$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}G_{n}(t,s)\mathrm{d}s=\frac{1}{a_{0}}$. $\forall h\in C(I,E)$, 依据文献[4]的引理1知, 线性周期边值问题

$\left\{% \begin{array}{ll} L_{n}u(t)=h(t), \ \ \ \ \ \ t\in I,\\ u^{(i)}(0)=u^{(i)}(2\pi),\ \ \ i=0,1,\cdots,n-1 \\ \end{array} \right. $

有唯一解$u$且

$u(t)=\int_{0}^{2\pi}G_{n}(t,s)h(s)\mathrm{d}s. $

记$\sigma=m_{n}/M_{n},$取$C(I,P)$的子锥:

$K=\{u\in C(I,P)\mid u(t)\geqslant \sigma u(\tau), \forall \ t,\tau\in I\}. $

(2.3)

定义算子$Q$如下:

$(Qu)(t)=\int_{0}^{2\pi}G_{n}(t,s)f(s,u(s))\mathrm{d}s, $

(2.4)

则$Q:C(I,P)\rightarrow C(I,P)$连续, 易证方程(1.1) 的解即为积分算子$Q$的不动点.

为了利用凝聚映射的不动点指数理论, 先引入非紧性测度的相关结果.文中$E$与$C(I,E)$中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由$\alpha(\cdot)$表示.对$B\subset C(I,E)$, 记$B(t)=\{u(t)\mid u\in B\}\subset E,t\in I$.

引理2.1 ^[5]设$B\subset C(I,E)$为等度连续的有界函数族, 则$\alpha(B(t))$在$I$上连续, 且$\alpha(B)=\max\limits_{t\in I}\alpha(B(t))$.

引理2.2 ^[6]设$B=\{u_{n}\}\subset C(I,E)$为可列集, 若存在$\psi\in L^{1}(I)$使得

$\parallel u_{n}(t)\parallel\leqslant \psi(t) {\hbox{a.e}} t\in I,n=1,2,\cdots, $

则$\alpha(B(t))$在$I$上可积, 且$\alpha(\{\int_{I}u_{n}(t)\mathrm{d}t \})\leqslant 2\int_{I}\alpha(B(t))\mathrm{d}t.$

引理2.3 ^[7]设$D\subset E$有界, 则存在$D$的可列子集$D_{0}$, 使得$\alpha(D)\leqslant 2\alpha(D_{0})$.

引理2.4 设$f:I\times P\rightarrow P$满足(H), 则由(2.4) 式定义的算子$Q:C(I,P)\rightarrow C(I,P)$为凝聚映射.

证 由(2.4) 式易证, $Q$把$C(I,P)$中的有界集映为有界的等度连续集.任取非相对紧的有界集$B\subset C(I,P)$.下证$\alpha(Q(B))<\alpha(B)$.令$R=\sup\{\parallel uallel \mid u\in B \}$, 则$\forall \ t\in I,B(t)\subset P_{R}$, 设$L=L_{R}\in(0,\frac{a_{0}}{4})$为假设(H)中的非紧性测度系数.由引理2.3知, 存在可列集$B_{1}=\{u_{n}\}\subset B$, 使得$\alpha(Q(B))\leqslant 2\alpha(Q(B_{1}))$.故对$\forall \ t\in I$, 由引理2.2及假设(H), 有

$\begin{eqnarray*} \alpha(Q(B_{1}(t)))&=&\alpha(\{\int_{0}^{2\pi} G_{n}(t,s)f(s,u_{n}(s))\mathrm{d}s|n=1,2,\cdots \})\\ &\leqslant&2\int_{0}^{2\pi}\alpha(\{G_{n}(t,s)f(s,u_{n}(s))|n=1,2,\cdots \})\mathrm{d}s\\ &=&2\int_{0}^{2\pi} G_{n}(t,s)\alpha(f(s,B_{1}(s)))\mathrm{d}s\\ &\leqslant&2L\int_{0}^{2\pi} G_{n}(t,s)\alpha(B_{1}(s))\mathrm{d}s\\ &\leqslant&2L\int_{0}^{2\pi} G_{n}(t,s)\mathrm{d}s\alpha(B_{1})\\ &=&2L\frac{1}{a_{0}}\cdot \alpha(B_{1})\\ &=&\frac{2}{a_{0}}L\cdot\alpha(B_{1}). \end{eqnarray*}$

因为$Q(B_{1})$等度连续, 由引理2.1知

$\alpha(Q(B_{1}))=\max \limits_{t\in I}\alpha(Q(B_{1}(t)))\leqslant \frac{2}{a_{0}}L\cdot \alpha(B_{1}), $

于是有

$\alpha(Q(B))\leqslant 2\alpha(Q(B_{1}))\leqslant2\frac{2}{a_{0}}L\cdot \alpha(B_{1}) \leqslant\frac{4}{a_{0}}L\cdot \alpha(B)<\alpha(B).$

因此$Q:C(I,P)\rightarrow C(I,P)$为凝聚映射.

引理2.5 设$f:I\times P\rightarrow P$, 则$Q(C(I,P))\subset K$.

证 对$\forall u\in C(I,P)$, 及$\forall t,\tau\in I$, 由(2.4) 式和(2.2) 式的右边不等式, 有

$\begin{eqnarray*} (Qu)(\tau)=\int_{0}^{2\pi}G_{n}(\tau,s)f(s,u(s))\mathrm{d}s \leqslant M_{n}\int_{0}^{2\pi}f(s,u(s))\mathrm{d}s, \end{eqnarray*}$

又由(2.4) 式和(2.2) 式的左边不等式, 有

$\begin{eqnarray*} (Qu)(t)=\int_{0}^{2\pi}G_{n}(t,s)f(s,u(s))\mathrm{d}s \geqslant m_{n}\int_{0}^{2\pi}f(s,u(s))\mathrm{d}s \geqslant\sigma(Qu)(\tau), \end{eqnarray*}$

由(2.3) 式知, $Qu\in K$, 因此$Q(C(I,P))\subset K$.

从而当$f:I \times P\rightarrow P$时, $Q:K\rightarrow K$为凝聚映射, 方程(1.1) 的正解等价于$Q$在$K$中的不动点.本文将用凝聚映射的不动点指数理论寻找$Q$的不动点.

引理2.6 ^[8]设$E$为Banach空间, $K$为$E$中的锥, $\Omega\subset E$为有界开集, $\theta\in\Omega$, $Q:K\cap\overline{\Omega}\rightarrow K$为凝聚映射, 若$Q$满足$u\neq\lambda Qu,\forall \ u\in K\cap\partial\Omega,0<\lambda\leqslant1$, 则不动点指数$i(Q,K\cap\Omega,K)=1$.

引理2.7 ^[9]设$E$为Banach空间, $K$为$E$中的锥, $\Omega\subset E$为有界开集, $Q:K\cap\overline{\Omega}\rightarrow K$为凝聚映射, 若存在$\upsilon_{0}\in K,\upsilon_{0}\neq\theta$, 使得$Q$满足$u- Qu\neq\mu\upsilon_{0},\forall\ u\in K\cap\partial\Omega,\mu\geqslant 0$, 则不动点指数$i(Q,K\cap\Omega,K)=0$.

下面用引理2.6与引理2.7证明本文的主要定理.

定理3.1 设$E$为Banach空间, 其正元锥$P$为正规锥, $f:I\times P\rightarrow P$连续, 假设条件(H)与(H$_{0}$)成立.若$f$满足下列条件之一:

(H$_{1}$) 1) 存在$\varepsilon\in(0,a_{0})$及$\delta>0$, 使得当$x\in P_{\delta}$时, $f(t,x)\leqslant (a_{0}-\varepsilon) x$;

2) 存在$\eta>0$及$h_{0}\in C(I,P)$, 使得当$x\in P$时, $f(t,x)\geqslant(a_{0}+\eta )x-h_{0}(t)$.

(H$_{2}$) 1) 存在$\varepsilon>0$及$\delta>0$, 使得当$x\in P_{\delta}$时, $f(t,x)\geqslant(a_{0}+\varepsilon) x$;

2) 存在$\eta \in(0,a_{0})$及$h_{0}\in C(I,P)$, 使得当$x\in P$时, $f(t,x)\leqslant(a_{0}- \eta)x+h_{0}(t)$.

则方程(1.1) 至少存在一个正解.

证 由上面的论述知, 只需证明由(2.4) 式定义的凝聚映射$Q:K\rightarrow K$存在非零的不动点.取$0<r<R<\infty$.记

$\Omega_{r}=\{u\in K\mid\parallel u\parallel<r\}, \partial\Omega_{r}=\{u\in K\mid\parallel u\parallel=r\}. $

以下分两种情形分别证明当$r$充分小$R$充分大时$Q$在$K\cap(\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega_{r}})$上存在不动点.

情形1 $f$满足假设(H$_{1}$).取$0<r<\delta$, 其中$\delta$为假设(H$_{1}$)中的常数, 证明$Q$满足引理2.6中条件:

$u\neq\lambda Qu,\ \ \forall \ u\in K\cap\partial \Omega_{r},\ \ 0<\lambda\leqslant1. $

(3.1)

反设(3.1) 式不成立, 则存在$ u_{0}\in K\cap\partial \Omega_{r}$及$0<\lambda_{0}\leqslant1$, 使得$u_{0}=\lambda_{0} Qu_{0}$.按$Q$的定义, $u_{0}$满足微分方程:

$\left\{% \begin{array}{ll} L_{n}u_{0}(t)=\lambda_{0}f(t,u_{0}(t)), \ \ \ \ \ \ t\in I,\\ u^{(i)}_{0}(0)=u^{(i)}_{0}(2\pi),\ \ \ i=0,1,\cdots,n-1, \end{array} \right. $

(3.2)

将方程(3.2) 第一式在$I$上积分, 并应用假设(H$_{1}$)之1), 有

$a_{0}\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t=\lambda_{0}\int_{0}^{2\pi}f(t,u_{0}(t))\mathrm{d}t \leqslant(a_{0}-\varepsilon)\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t.$

因为$0<\varepsilon<a_{0}$, 故由上式有

$\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t\leqslant\theta.$

另一方面, 因为$u_{0}\in K$, 按锥$K$的定义$u_{0}(t)\geqslant\sigma u_{0}(s)\geqslant\theta$, $\forall\ t,s\in I$.把该式关于$t$在$I$上积分, 得

$\theta\leqslant u_{0}(s)\leqslant\frac{1}{\sigma}\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t, $

(3.3)

即$u_{0}(s)=\theta$于$I$.此与$u_{0}\in K\cap\partial \Omega_{r}(\parallel u_{0}\parallel=r)$矛盾.于是(3.1) 式成立, 故由引理2.6知,

$i(Q,K\cap\Omega_{r},K)=1.$

(3.4)

取$e\in P$使得$\parallel e\parallel=1$, 令$v_{0}(t)=e$, 则$v_{0}(t)$是$f(t,u(t))=a_{0}e$时方程(1.1) 的解, 由$G_{n}(t,s)$的性质易知$v_{0}\in K\setminus\{\theta\}$, 下证当$R$充分大时, 有

$u-Qu\neq\tau v_{0},\ \ \forall\ u\in K\cap\partial \Omega_{R},\ \ \tau\geqslant0.$

(3.5)

反设存在$u_{0}\in K\cap\partial \Omega_{R}$及$\tau_{0}\geqslant0$, 使得$u_{0}-Qu_{0}=\tau_{0} v_{0}$, 则$u_{0}-\tau_{0} v_{0}=Qu_{0}$, 按算子$Q$的定义$u_{0}$满足微分方程:

$L_{n}u_{0}(t)-a_{0}\tau_{0}v_{0}(t)= f(t,u_{0}(t)),t\in I .$

(3.6)

按假设(H$_{1}$)之2), 有

$L_{n}u_{0}(t)=f(t,u_{0}(t))+a_{0}\tau_{0}v_{0}(t)\geqslant(a_{0}+\eta )u_{0}(t)-h_{0}(t),t\in I.$

注意到$u_{0}=\tau_{0} v_{0}+Qu_{0}$满足边界条件$u^{(i)}_{0}(0)=u^{(i)}_{0}(2\pi),i=0,1,\cdots,n-1$, 将上式在$I$上积分得

$a_{0}\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t\geqslant(a_{0}+\eta)\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t -\int_{0}^{2\pi}h_{0}(t)\mathrm{d}t.$

从而有

$\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t\leqslant\frac{1}{\eta}\int_{0}^{2\pi}h_{0}(t)\mathrm{d}t.$

上式结合(3.3) 式, 有

$\theta\leqslant u_{0}(s)\leqslant \frac{1}{\sigma \eta}\int_{0}^{2\pi}h_{0}(t)\mathrm{d}t,\ \ \forall\ s\in I.$

由锥$P$的正规性, 有

$\parallel u_{0}(s)\parallel\leqslant N\parallel \frac{1}{\sigma\eta}\int_{0}^{2\pi}h_{0}(t) \mathrm{d}t\parallel\leqslant\frac{2\pi N}{\sigma\eta}\parallel h_{0}\parallel:=\overline{R}.$

(3.7)

取$R>\max\{\overline{R},r\}$, 则(3.5) 式成立, 由引理2.7知$i(Q,K\cap\Omega_{R},K)=0.$从而按不动点指数的区域可加性, 由该式结合(3.4) 式有

$i(Q,K\cap(\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega_{r}}),K)=i(Q,K\cap\Omega_{R},K)-i(Q,K\cap\Omega_{r},K)=-1.$

由可解性知$Q$在$K\cap(\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega_{r}})$中至少存在一个不动点, 该不动点即为方程(1.1) 的正解.

情形2 $f$满足假设(H$_{2}$).取$0<r<\delta$, 证明

$u-Qu\neq\tau v_{0}, \ \ \forall\ u\in K\cap\partial \Omega_{r}, \ \ \tau\geqslant0, $

(3.8)

其中$v_{0}(t)=e\in K$, 反设(3.8) 式不成立, 则存在$u_{0}\in K\cap\partial \Omega_{r}$及$\tau_{0}\geqslant0$, 使得$u_{0}-Qu_{0}=\tau_{0} v_{0}$, 于是$u_{0}(t)$满足微分方程(3.6).由(3.6) 式及假设(H$_{2}$)之1) 有

$L_{n}u_{0}(t)=f(t,u_{0}(t))+a_{0} \tau_{0}v_{0}(t)\geqslant(a_{0}+\varepsilon )u_{0}(t), t\in I.$

将上式在$I$上积分得

$a_{0}\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t) \mathrm{d}t\geqslant(a_{0}+\varepsilon)\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t) \mathrm{d}t.$

因此

$\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t\leqslant \theta.$

于是由(3.3) 式可得$u_{0}(s)=\theta$于$I$.此与$u_{0}\in\partial \Omega_{r}$矛盾.因此(3.8) 式成立, 故按引理2.7知

$i(Q,K\cap\Omega_{r},K)=0.$

(3.9)

再证当$R$充分大时, 有

$u\neq\lambda Qu,\ \ \forall\ u\in K\cap\partial \Omega_{R},\ \ 0<\lambda\leqslant1 .$

(3.10)

假设存在$ u_{0}\in K$及$0<\lambda_{0}\leqslant1$, 使得$u_{0}=\lambda_{0} Qu_{0}$, 则$u_{0}$满足微分方程(3.2).将方程(3.2) 的第一式在$I$上积分, 并应用假设(H$_{2}$)之2) 得

$a_{0}\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t) \mathrm{d}t=\lambda_{0}\int_{0}^{2\pi}f(t,u_{0}(t))\mathrm{d}t \leqslant(a_{0}-\eta)\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t+\int_{0}^{2\pi}h_{0}(t)\mathrm{d}t.$

从而有

$\int_{0}^{2\pi}u_{0}(t)\mathrm{d}t\leqslant \frac{1}{\eta}\int_{0}^{2\pi}h_{0}(t)\mathrm{d}t.$

由上式和(3.3) 式可证明$u_{0}$满足(3.7) 式, 取$R>\max\{\overline{R},r\}$, 则(3.10) 式成立, 由引理2.6知, $i(Q,K\cap\Omega_{R},K)=1.$于是该式结合(3.9) 式有

$i(Q,K\cap(\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega_{r}}),K)=i(Q,K\cap\Omega_{R},K)-i(Q,K\cap\Omega_{r},K)=1.$

由可解性知$Q$在$K\cap(\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega_{r}})$中至少存在一个不动点, 该不动点即为方程(1.1) 的正解.

定理3.1中的$a_{0}$是方程(1.1) 对应的线性边值问题的第一特征值, 将此结果作到了最优.将文献[4]中的相关结论推广到了无穷维空间.