关于单位球面$S^{n+1}(1)$中具有常平均曲率或者常数量曲率超曲面的研究内容非常丰富. 1969年Nomizu-Smyth证明了球中具有非负紧致子流形是标准球或者是两个球的乘积; Yano和Ishihara^[1], Smyth^[2]和Yau^[3]分别推广了这个结果.为了更好的研究常数量曲率超曲面, Cheng-Yau^[4]引入了一个新的自伴随微分算子$\Box$.最近, Liu^[5]与Li^[6]分别利用自伴随算子$\Box$研究了单位球面上的超曲面.在本文, 我们以Cheng-Yau的算子$\Box$为基础, 改进了算子$\Box$, 研究了单位球面$S^{n+1}(1)$上的完备超曲面, 得到如下结论：

定理  设$M$是单位球面$S^{n+1}(1)$上$n$ -维完备超曲面, 其标准数量曲率$r$与平均曲率$H$满足$r=aH+b$, $a\leq0$且$(n-1)a^2-4n+4nb\geq0$.如果第二基本形式模长平方满足$\sup S<2\sqrt{n-1}$, 那么$M$是全脐超曲面.

注1  定理条件修改了一般研究球面上超曲面具有常数量曲率或者常中曲率这个条件.

注2  定理中, 若$a=0$, 球面上超曲面则是具有常数量曲率超曲面.

设$M$是单位球$S^{n+1}(1)$中$n$ -维超曲面, 对任意点$x\in M$, 在单位球$S^{n+1}(1)$中选取正交标架场$\{e_1, e_2, \cdots, e_{n+1}\}$, 使限制在$M$上时, $\{e_1, e_2, \cdots, e_{n}\}$是$M$切向量场, $e_{n+1}$是其法向量.设$\{ {\omega ^1}, \;{\omega ^2}, \cdots, {\omega ^{n + 1}}\} M$是对偶标架场.为了方便, 对指标的范围使用下列约定:

$ 1\leq A, B, C, \cdots\leq {n+1}, \quad 1 \leq i, j, k, \cdots\leq n. $

对于单位球$S^{n+1}(1)$中的超曲面$M$, 其结构方程为

$ \begin{array}{l} & d\omega_{ij}=\sum\limits_k\omega_{ik}\wedge\omega_{kj}-\frac{1}{2}\sum\limits_{k, l} R_{ijkl}\omega^k\wedge\omega^l, \\ & R_{ijkl}=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}+h_{ik}h_{jl}-h_{il}h_{jk}. \end{array} $

故有

$ \begin{eqnarray} n(n-1)(r-1)=n^2H^2-S, \end{eqnarray} $

(2.1)

其中$R_{ijkl}$是$M$的黎曼曲率分量, $h={h_{ij}}$为第二基本形式, $S=\sum\limits_{i, j=1}^n(h_{ij})^2$为第二基本形式$h$模长平方, $H=\frac{1}{n}\sum^n\limits_{i=1}h_{ii}e_{n+1}$为平均曲率.

分别用${h_{ijk}}$和${h_{ijkl}}$表示$h_{ij}$一阶与二阶协变微分, 得

$ \begin{array}{l}\label{covariant} & \sum\limits_kh_{ijk}\omega_k=dh_{ij}+\sum\limits_kh_{ik}\omega_{kj}+\sum\limits_kh_{kj}\omega_{ki}, \\ & \sum\limits_ih_{ijkl}\omega_l=dh_{ijk}+\sum\limits_mh_{mjk}\omega_{mi}+\sum\limits_mh_{imk}\omega_{mj}+\sum\limits_mh_{ijm}\omega_{mk}.\nonumber \end{array} $

(2.2)

故Ricci恒等式为$ h_{ijkl}-h_{ijlk}=\sum\limits_mh_{mj}R_{mikl}+\sum\limits_mh_{im}R_{mjkl}. $

超曲面$M$的第二基本形式$h_{ij}$的Laplacian定义为$\Delta h_{ij}=\sum^n\limits_{k=1}h_{ijkk}$.

选择局部标架场$\{e_i\}$使得$h_{ij}=\lambda_i\delta_{ij}$, 则

$ \begin{eqnarray}\label{laplace} \frac{1}{2}\Delta S&=&\frac{1}{2}\Delta(\sum\limits_{i, j}h_{ij}^2)=\sum\limits_{i, j, k}h_{ijk}^2+\sum\limits_{i, j, k}h_{ijkk}h_{ij}\nonumber\\ &=&\sum\limits_{i, j, k}h_{ijk}^2+\sum\limits_i\lambda_i(nH)_{ii}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j}(\lambda_i-\lambda_j)^2R_{ijij}. \end{eqnarray} $

(2.3)

根据文献[4], 我们修改了Cheng-Yau提出的算子$\Box$, 并将其作用在$M$上的一个$C^2$ -函数$f$

$ \begin{eqnarray} \Box f=\sum\limits_{i, j}(nH\delta_{ij}-h_{ij})f_{ij}-\frac{n-1}{2}a\Delta f. \end{eqnarray} $

(2.4)

故在$x$点处, 有

$ \begin{eqnarray}\label{box} \Box(nH)&=&nH\Delta(nH)-\sum\limits_i\lambda_i(nH)_{ii}-\frac{n-1}{2}a\Delta(nH)\nonumber\\ &=&\frac{1}{2}\Delta(nH)^2-\sum\limits_i(nH)^2_i-\sum\limits_i\lambda_i(nH)_{ii}-\frac{1}{2}\Delta(n(n-1)r)\nonumber\\ &=&\frac{1}{2}\Delta S-n^2|\nabla H|^2-\sum\limits_i\lambda_i(nH)_{ii}. \end{eqnarray} $

(2.5)

将(2.3) 式代入(2.5) 式得

$ \begin{eqnarray}\label{box22} \Box(nH)&=&|\nabla h|^2-n^2|\nabla H|^2+\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j}(\lambda_i-\lambda_j)^2R_{ijij}. \end{eqnarray} $

(2.6)

由Gauss方程, 有$R_{ijij}=1+\lambda_i\lambda_j$, 并将其代入(2.6) 式得

$ \begin{equation}\label{box2} \Box(nH)=|\nabla h|^2-n^2|\nabla H|^2 +nS-n^2H^2-S^2+nH\sum\limits_i\lambda^3_i. \end{equation} $

(2.7)

由第二基本形式模长平方的定义, 可以得到$ S=\sum\limits_{i}\lambda_{i}^2. $设$\mu_{j}=H-\lambda_{j}$, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray} \sum\limits_{j}\mu_{j}=0, \ \ \ \ |\phi|^2=\sum\limits_{j}\mu_{j}^{2}=S-nH^2, \\ \sum\limits_i\lambda_i^3=nH^3+3H\sum\limits_i\mu_i^2-\sum\limits_i\mu_i^3. \end{eqnarray} $

(2.8)

引理2.1^[7]  设$\mu_{1}, \cdots, \mu_{n}$是满足$\sum\limits_{i}\mu_{i}=0$的实数, 且$\sum\limits_{i}\mu_{i}^2=B$ ($B$为大于零常数), 则有$ |\sum\limits_{i}\mu_{i}^3|\leq\frac{n-2}{\sqrt{n(n-1)}}B^{\frac{3}{2}} $成立, 其中等号成立当且仅当

$ \begin{eqnarray*} \mu_1=\cdots=\mu_{n-1}=-\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}B}, \ \mu_{n}=\sqrt{\frac{n-1}{n}B}. \end{eqnarray*} $

由引理2.1, 可以得到

$ \begin{eqnarray}\label{eq100} nH\sum\limits_{i}\lambda_i^3&=&nH(nH^3+3H\sum\limits_i\mu_i^2-\sum\limits_i\mu_i^3)\nonumber\\ &\geq&3nH^2|\phi|^2+n^2H^4-n|H|\frac{n-2}{\sqrt{n(n-1)}}|\phi|^3. \end{eqnarray} $

(2.10)

为了证明定理, 我们还需要下列引理.

引理2.2^[6]  设$M$是单位球$S^{n+1}(1)$上超曲面, $ r=aH+b, $ $(n-1)a^2-4n+4nb\geq 0.$则

$ \begin{eqnarray}\label{lamme} |\nabla h|^2\geq n^2|\nabla H|^2, \end{eqnarray} $

(2.11)

其中$n(n-1)r$是$M$的数量曲率, $H$是平均曲率.

故由(2.7), (2.10) 式和引理2.2, 得

$ \begin{eqnarray}\label{important} \Box(nH)\geq|\phi|^2\bigg[n-|\phi|^2-n|H|\frac{n-2}{\sqrt{n(n-1)}}|\phi|+nH^2\bigg]. \end{eqnarray} $

(2.12)

引理2.3^[8]  设$M$是截曲率有下界的$n$ -维完备黎曼流形, $f: M\rightarrow\mathbb{R}$是$M$上有上界的光滑函数.则$M$上存在一个点列$\{p_k\}$, 使得$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}f(p_k)=\sup f;$ $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|\nabla f(p_k)|=0;$ $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sup(\triangle f(p_k))\leq0. $

下面是一个证明定理的关键引理.

引理3.1  设$M$是单位球$S^{n+1}(1)$上具有有界平均曲率的超曲面.若$ r=aH+b, $ $ a\leq0, $ $(n-1)a^2-4n+4nb\geq 0, $则$M$上存在一个点列$\{p_k\}$, 使得

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\rightarrow\infty}nH(p_k)=n\sup H;\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|\nabla nH(p_k)|=0; \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sup(\Box(nH)(p_k))\leq0. \end{eqnarray*} $

证  在$M$上$p$点, 选择适当的局部正交标架场$\{e_1, \cdots, e_n\}$, 使得$h^{n+1}_{ij}=\lambda^{n+1}_i\delta_{ij}$.故

$ \begin{eqnarray*} \Box (nH)=\sum\limits_{i}\bigg((nH-\lambda^{n+1}_i)-\frac{n-1}{2}a\bigg)(nH)_{ii}. \end{eqnarray*} $

若$H=0$, 引理显然成立.这里不访假设$H>0$, 由

$ \begin{eqnarray*} (\lambda^{n+1}_i)^2&\leq& S=n^2H^2+n(n-1)(1-aH-b)\\ &=&(nH)^2-(n-1)a(nH)+n(n-1)(1-b)\\ &=&(nH-\frac{1}{2}(n-1)a)^2-\frac{1}{4}(n-1)((n-1)a^2+4nb-4n) \leq(nH-\frac{1}{2}(n-1)a)^2, \end{eqnarray*} $

得

$ \begin{eqnarray}\label{lamme311} |\lambda^{n+1}_i|\leq|nH-\frac{1}{2}(n-1)a|. \end{eqnarray} $

(3.1)

故

$ \begin{eqnarray}\label{curvature} R_{ijij}=1+h^{n+1}_{ii}h^{n+1}_{jj}-(h^{n+1}_{ij})^2\geq1-\bigg(nH-\frac{1}{2}(n-1)a\bigg)^2. \end{eqnarray} $

(3.2)

又因为$H$有界, 由(3.3) 式可知截曲率是有下界的.应用引理2.3, 可以得到$M$上存在一个点列$\{p_k\}$, 使得

$ \begin{eqnarray}\label{box10} \lim\limits_{k\rightarrow\infty}nH(p_k)=n\sup H;\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|\nabla nH(p_k)|=0; \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sup((nH)_{ii}(p_k))\leq0. \end{eqnarray} $

(3.3)

由于$H$有界, 选取满足上式的点列$\{p_k\}$, 且有$H(p_k)\geq0$.又因为$a\leq0$, 故由(3.1) 式, 可以得到

$ \begin{eqnarray}\label{box11} 0&\leq&nH(p_k)-\frac{1}{2}(n-1)a-|\lambda^{n+1}_i| \leq nH(p_k)-\frac{1}{2}(n-1)a-\lambda^{n+1}_i\nonumber\\ &\leq&nH(p_k)-\frac{1}{2}(n-1)a+|\lambda^{n+1}_i| \leq 2nH(p_k)-(n-1)a. \end{eqnarray} $

(3.4)

由(3.4) 式, 可以得到$nH(p_k)-\frac{1}{2}(n-1)a-\lambda^{n+1}_i$是非负有界的.在点$p_k$应用$\Box(nH)$, 取极限应用方程(3.3) 和(3.4), 可以得到

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sup(\Box(nH)(p_k))&\leq&\sum\limits_i \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sup[(nH)(p_k)-\frac{1}{2}(n-1)a)-\lambda^{n+1}_i](nH)_{ii}(p_k)\\ &\leq& 0. \end{eqnarray*} $

设$M$是单位球面$S^{n+1}(1)$上完备超曲面, 考虑二次型$Q(u, t)=u^2-\frac{n-2}{\sqrt{n-1}}ut-t^2$.由下面正交变换

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{u}=\frac{1}{\sqrt{2n}}((1+\sqrt{n-1})u+(1-\sqrt{n-1})t), \\ \widetilde{t}=\frac{1}{\sqrt{2n}}((-1+\sqrt{n-1})u+(1+\sqrt{n-1})t), \end{eqnarray*} $

得

$ Q(u, t)=\frac{n}{2\sqrt{n-1}}(\widetilde{u}^2-\widetilde{t}^2)=\frac{n}{2\sqrt{n-1}}(2\widetilde{u}^2-S). $

在二次型$Q(u, t)$中, 令$t=|\phi|$和$u=\sqrt{n}H$, 并将其代入(2.12) 式, 得

$ \begin{eqnarray}\label{box13} \Box(nH)\geq|\phi|^2(n-\frac{n}{2\sqrt{n-1}}S). \end{eqnarray} $

(3.5)

根据定理条件$\sup S<2\sqrt{n-1}$, 由方程(3.5), 应用引理3.1, 得

$ \begin{eqnarray} 0\leq\sup|\phi|^2(n-\frac{n}{2\sqrt{n-1}}\sup S)\leq 0. \end{eqnarray} $

(3.6)

即$\sup|\phi|^2=0$, 从而可得$|\phi|^2=0$, 故可以得到$S=nH^2$, 即$M$是全脐超曲面.