设$X^{\kappa}$为Gauss曲率$\kappa$为常数的常曲率平面, 即$\kappa=0$时为欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$; $\kappa >0$时为射影平面$\mathbb{RP}^{2}$及$\kappa<0$时为双曲平面$\mathbb{H}^{2}$.对于$X^{\kappa}$中面积与周长分别为$F_i$与$L_i$的有非空内点的连通区域$D_i\ (i=0, 1)$, 其等周亏格定义为

$ \begin{equation}\label{isoperimetric-deficit} \Delta(D_i)= L_i^{2}-4 \pi F_i+\kappa\ F_i^{2}. \end{equation} $

(1.1)

$\Delta(D_i)$是刻划域$D_i$与测地圆盘差别程度的几何不变量.一个能刻划两域$D_0$与$D_1$差别程度的几何不变量, 即对称等周亏格, 被周家足等定义为

$ \begin{equation}\label{symmetric-isoperimetric-deficit} \sigma(D_{0}, D_{1})=\Delta(D_{0})+ \Delta(D_{1})-\kappa(F_{0}-F_{1})^{2}. \end{equation} $

(1.2)

等周亏格与等周不等式联系紧密.经典的等周不等式是最古老的几何不等式, 即欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$上固定周长的简单闭曲线中圆所围成的面积最大.它的数学表述为$\mathbb{R}^{2}$中域$D$的面积$F$和周长$L$满足

$ \begin{equation}\label{classical-isoperimetric-inequality} L^{2}-4\pi F\geq 0, \end{equation} $

(1.3)

等号成立的充分必要条件是$D$为圆盘.

经典的等周不等式有很多优美的证明及推广形式(参见文献[1-6]), 在常曲率平面的推广为(参见文献[4, 7-11]):设$D$为$X^{\kappa}$中面积为$F$周长为$L$的域, 则有

$ \begin{equation}\label{2} L^{2}-4\pi F+\kappa\ F^{2}\geq 0, \end{equation} $

(1.4)

等号成立的充分必要条件是$D$为测地圆盘.

等周不等式(1.4) 蕴涵了等周亏格(1.1) 非负, 即$\Delta(D)\geq 0$.

积分几何中与等周亏格密切相关的一个著名问题是包含问题:设$g$是$X^{\kappa}$中的等距运动, 对两给定的域$D_i\ (i=0, 1)$, 使得$D_0\subset gD_1$或$D_0\supset gD_1$的条件是什么?人们希望用$D_i\ (i=0, 1)$的周长$L_i$与面积$F_i$刻划包含条件. 1942年, Hadwiger首次给出$X^{\kappa}$上的两域$D_i$包含条件(参见文献[4, 12]), 任德麟利用$\Delta(D_i)$得到了$\mathbb{R}^{2}$上等价于Hadwiger条件的包含条件(参见文献[3]).而高维空间$\mathbb{R}^{n}\ (n\geq3)$中的包含条件直到上世纪八九十年代才被张高勇、周家足陆续解决(参见文献[13-15]).

本文中, 我们研究$X^{\kappa}$中两域的包含问题.利用$\sigma(D_{0}, D_{1})$等不变量, 我们建立了常曲率平面上一域包含另一域的充分条件.等周不等式(1.4) 与$\mathbb{R}^{2}$中的任德麟包含条件为其推论.

设$G$为$X^{\kappa}$中的等距群, $dg$为$G$上的Haar测度.积分几何中称$dg$为$G$的不变运动密度.令$\chi(D)$为域$D$的Euler-Poincaré示性数.设$D_i\ (i=0, 1)$是$X^{\kappa}$中面积为$F_i$周长为$L_i$且有非空内点的连通区域, 并令$D_0$为$X^{\kappa}$中的定区域, 而$g D_1$为$D_1$经运动$g(\in G)$而来的动区域. $X^{\kappa}$中著名的Blaschke基本运动公式为(参见文献[3, 6])

$ \begin{equation}\label{5} \int_{\{g|D_{0}\cap gD_{1}\neq\emptyset\}}\chi(D_{0}\cap gD_{1})dg= -\kappa\ F_{0}F_{1}+2\pi(F_{0}+F_{1})+L_{0}L_{1}. \end{equation} $

(2.1)

当$D_i$退化为$\partial D_i$时, 上式(2.1) 为经典的Poincaré基本运动公式为(参见文献[3, 6])

$ \begin{equation}\label{6} \int_{\{g|\partial D_{0}\cap \partial (gD_{1})\neq\emptyset\}} \sharp(\partial D_{0}\cap \partial (gD_{1}))dg=4L_{0}L_{1}, \end{equation} $

(2.2)

其中$\sharp(\partial D_{0}\cap \partial (gD_{1}))$为$\partial D_{0}\cap \partial(g D_{1})$的交点个数.因$D_i\ (i=0, 1)$为连通区域, 故$\chi(D_{0}\cap gD_{1})= e(g)$为$D_{0}\cap gD_{1}$相交的块数.故Blaschke基本运动公式(2.1) 可改写为

$ \begin{equation}\label{7} \int_{\{g|D_{0}\cap gD_{1}\neq\emptyset\}} e(g)dg= -\kappa F_{0}F_{1}+2\pi(F_{0}+F_{1})+L_{0}L_{1}. \end{equation} $

(2.3)

记$\mu$所有$D_0\subset gD_1$与$D_0\supset gD_1$的$g$的集合, 则上式(2.3) 可进一步改写为

$ \begin{equation}\label{8} \int_{\mu}dg+\int_{\{g|\partial D_{0}\cap \partial (gD_{1})\neq\emptyset\}}e(g)dg= -\kappa F_{0}F_{1}+2\pi(F_{0}+F_{1})+L_{0}L_{1}. \end{equation} $

(2.4)

当$\partial D_{0}\cap \partial (gD_{1})\neq\emptyset$时, $D_0\cap gD_1$至少由$\partial D_{0}$与$\partial (gD_{1})$的各一段弧组成, 因而有$e(g)\leq\frac{\sharp(\partial D_{0}\cap \partial(gD_{1}))}{2}$.由(2.2) 及(2.4) 式可得

$ \begin{equation}\label{9} \int_{\mu}dg\geq 2\pi(F_{0}+F_{1})-L_{0}L_{1}-\kappa F_{0}F_{1}. \end{equation} $

(2.5)

如果取$D_0\equiv D_1\equiv D$, 则$D$不能包含本身$D$, 故$\int_{\mu}dg=0$, 进而由(2.5) 式可得等周不等式(1.4).此外, 由公式(2.5) 立即可得以下包含条件.

定理1  $X^{\kappa}$中的域$D_i\ (i=0, 1)$满足$D_0\subset gD_1$或$D_0\supset gD_1$的一个充分条件是

$ \begin{equation}\label{10} 2\pi(F_{0}+F_{1})-L_{0}L_{1}-\kappa F_{0}F_{1 }>0. \end{equation} $

(2.6)

若$F_{0}\geq(\leq) F_{1}$, 则$D_0\supset (\subset)gD_1$.

利用$\sigma(D_{0}, D_{1})$及定理1, 我们还得到另一包含条件.

定理2  $X^{\kappa}$中的域$D_i\ (i=0, 1)$满足$D_0\supset gD_1$与$D_0\subset gD_1$的充分条件分别为

$ \begin{equation}\label{sufficient-condition} L_{0}-L_{1}>\sqrt{\sigma(D_{0}, D_{1})} \end{equation} $

(2.7)

与

$ \begin{equation}\label{sufficient-condition2} L_{1}-L_{0}>\sqrt{\sigma(D_{0}, D_{1})}. \end{equation} $

(2.8)

证  由(2.7) 式易知$L_{0}-L_{1}>0$.两边同时平方(2.7) 式可得(2.6) 式.而(2.6) 式等价于

$ \begin{equation}\label{12} 2\pi(F_{0}-F_{1})>L_{0}L_{1}-4\pi F_{1}+\kappa F_{0}F_{1}. \end{equation} $

(2.9)

再由$L_{0}-L_{1}>0$可得

$ \begin{equation}\label{13} L_{0}L_{1}-4\pi F_{1}+\kappa F_{0}F_{1}\geq L_{1}^{2}- 4\pi F_{1}+\kappa F_{0}F_{1}=\Delta(D_1)-\kappa F_{1}^{2}+\kappa F_{0}F_{1}. \end{equation} $

(2.10)

等周不等式(1.4) 蕴涵着(2.10) 式右边的最小值为$-\kappa F_{1}^{2}+\kappa F_{0}F_{1}$.继而结合(2.9) 与(2.10) 式可得

$ 2\pi(F_{0}-F_{1})>\kappa F_{1}(F_{0}-F_{1}). $

假设$F_{0}<F_{1}$, 则上式为$2\pi<\kappa F_{1}$, 这蕴涵了$\kappa>0$及$F_{1}>\frac{2\pi}{\kappa}$.这与射影平面的面积为$\frac{2\pi}{\kappa}$矛盾.因此$F_{0}\geq F_{1}$.则由定理1立即可得(2.7) 式.类似可证(2.8) 式.证毕.

当$\kappa=0$时, 即在欧氏平面上, 由定理2立即可得任德麟包含条件(参见文献[3]).

推论1  记$\mathbb{R}^2$中域$D_i\ (i=0, 1)$的等周亏格为$\Delta(D_i)=L_i^{2}-4\pi F_i$.则使得$D_{0}\supset gD_{1}$及$D_{0}\subset gD_{1}$的充分条件分别为

$ \begin{equation*} L_{0}-L_{1}> \sqrt{\Delta(D_0)+\Delta(D_1)} \quad\text{与}\quad L_{1}-L_{0}> \sqrt{\Delta(D_0)+\Delta(D_1)}. \end{equation*} $

定理1与定理2中的包含条件不是必要的.高维欧氏空间$\mathbb{R}^{n} \ (n\geq 3)$中包含的充分条件由周家足(参见文献[13, 14])与张高勇(参见文献[15])利用积分几何的方法得到, 它们涉及域的体积、表面积、曲率积分等许多几何量.然而, 高维射影空间与双曲空间中的包含问题还未解决.更多资料参考文献[5, 7, 10, 11, 16-19].