设$(F, \|\cdot\|)$是一个Banach空间, $\mathcal{K}(F)$表示$F$中所有非空紧集的集合.若$A\in\mathcal{K}(F)$, 定义co$(A)$为$A$的闭核.由Mazur's定理^[1], 我们知道co$(A)\in {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$, 这里co$(\mathcal{K}(F))$表示$F$的非空紧凸子集的集合.空间$\mathcal{K}(F)$赋予Minkowski加法和数乘运算:对于$A_1, A_2\in \mathcal{K}(F)$, 和任意实数$\lambda$,

$ A_1+A_2=\{a_1+a_2: a\in A_1, a_2\in A_2\}, \ \ \lambda A_1=\{\lambda a_1: a_1\in A_1\}. $

在Hausdorff距离下

$ d(A_1, A_2)=\max\left\{\sup\limits_{a_1\in A_1}\inf\limits_{a_2\in A_2}\|a_1-a_2\|, \sup\limits_{a_2\in A_2}\inf\limits_{a_1\in A_1}\|a_2-a_1\|\right\}, $

$(\mathcal{K}(F), d)$是一个完备可分度量空间.在$\mathcal{K}(F)$上赋予Hausdorff拓扑下的Borel $\sigma$-域.若$A\in \mathcal{K}(F)$, 则$\|A\|=d(A, \{0\})=\sup_{a\in A}\|a\|$.

设$F^*$是$F$的拓扑对偶, $B^*$为$F^*$的单位球.由Banach-Alaoglu定理可知, $B^*$被赋予弱$^*$拓扑$\omega^*$是紧的^[2].此外, 空间$(B^*; \omega^*)$是可分的和可度量化的.令$M(B^*)$表示$B^*$上的Borel符号测度.设$(\Omega; \mathcal{F}; \mathbb{P})$是一个概率空间. $F$上的随机紧集是一个从$\Omega$到$\mathcal{K}(F)$上的可测函数, i.e., 取值为$\mathcal{K}(F)$的随机变量.若$A$是一个随机紧凸集(i.e., co$(\mathcal{K}(F))$ -值的随机变量), 则$\mathbb{E} A$被定义为

$ \mathbb{E} A=\{\mathbb{E} f|f\in L^1(\Omega; \mathcal{F}; \mathbb{P}), f(\omega)\in A \ \ {\hbox{a.s.}}\}, $

这里$f:\Omega\to F$是$A$的一个选择, $\mathbb{E} f$表示Bochner积分意义下的期望.一般来说, $\mathbb{E} A$是空的, 但是如果$\mathbb{E}\|A\|<\infty$, 则$\mathbb{E} A\in {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$.如果$A$是一个随机紧集, 则

$ \mathbb{E} A=\mathbb{E}(\overline{{\hbox{co}}}(A)) $

且$\mathbb{E} A\in {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$.这里$\overline{{\hbox{co}}}(A)$表示$A$的闭凸核.

假设$F$是$p$型($p>1$), i.e., 存在常数$c$使得对任意取值为$F$, 且期望为$0$的独立随机变量$f_1, \cdots, f_n$, 有

$ \mathbb{E}\|\sum\limits_{i=1}^n f_i\|^p\le c\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}\|f_i\|^p. $

(1.1)

每一个Hilbert空间是$2$型空间; $L^p$ ($1 < p <\infty$)空间是$\min(p, 2)$型空间.然而, $[0, 1]$上连续函数空间赋予上确界范数则是$1$型空间, 但对任意$p > 1$, 却不是$p$型空间.

令$\mathbb{N}^*$表示正整数集.

定理1.1   (1) 设$(A_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$是一列i.i.d.$F$上的随机紧凸集, 假设存在一个正常数$\delta>0$, 使得

$ \mathbb{E}\exp\left(\delta\|A_1\|\right)=\mathbb{E}\exp\left(\delta\sup\limits_{a\in A_1} \|a\|\right)<\infty. $

对任意$M(B^*)$上一个测度$\lambda$, 设

$ \label{thm-r-1} \Lambda(\lambda)= \frac{1}{2}\mathbb{E} \left(\int_{B^*}\sup\limits_{a\in A_1} x^*(a)d\lambda(x^*)\right)^2 $

(1.2)

且对任意$U\in {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$,

$ \label{thm-r-2} \Lambda^*(U)=\sup\limits_{\lambda\in M(B^*)}\left(\int_{B^*}\sup\limits_{x\in U} x^*(x)d\lambda(x^*)-\Lambda(\lambda)\right). $

(1.3)

对$\mathcal{K}(F)$上的一个非凸集$U$, 设$\Lambda^*(U)=+\infty$.此外, 设$(b_n)$是一列正数满足$1\ll b_n\ll n$, i.e., 当$n\to \infty$,

$ b_n\to \infty;\ \ \ \frac{b_n}{\sqrt{n}}\to 0, $

和

$ {S_n}: = \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {({A_i} - \mathbb{E}{A_i})} }}{{{b_n}\sqrt n }}\mathop \to \limits^\mathbb{P} 0, $

(2) 设$(A_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$是一列$F$上i.i.d.随机紧集, 假设存在正数$\delta>0$和$\delta_0>0$, 使得

$ \mathbb{E}\exp\left(\delta\sup\limits_{a\in A_1} \|a\|^{1+\delta_0}\right)<\infty. $

假设当$n\to \infty$, $(b_n)$满足

$ \label{b} b_n\to \infty;\ \ \ \frac{b_n}{\sqrt{n}}\to 0, \ \ \ \frac{\log n}{b_n^2}\to 0, \ \ \ \frac{b_n^{2+(1-\frac{2}{1+\delta_0})p}}{n^{1-p/2}}\to \infty. $

(1.4)

若(1) 或(2) 成立, 则对任意$\mathcal{U}\in\mathcal{K}(F)$,

$ -\inf\limits_{U\in \mathcal{U}^o}\Lambda^{*}(U)\le \liminf\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\le\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\le -\inf\limits_{U\in \overline{\mathcal{U}}} \Lambda^{*}(U), $

这里$\mathcal{U}^o$和$\overline{\mathcal{U}}$分别表示关于Hausdorff拓扑的内部和闭包.

不妨设$S_n=A_1+\cdots+A_n$且$\mathbb{E} A_1=0$.我们首先给出几个已有的结果.

嵌入定理(见文献[3])  对$F$中的紧凸子集$A$, 其支撑函数$s_A: B^*\to \mathbb{R}$被定义为

$ \forall \ x^* \in B^*, \ \ \ s_A(x^*)=\sup\{x^*(x): x\in A\}. $

令$C(B^*, \omega^*)$表示在弱$^*$拓扑下连续函数全体.在一致范数下$\|\cdot\|_\infty$, $C(B^*, \omega^*)$是一个可分的Banach空间.当$A$是紧的, 则$s_A\in C(B^*, \omega^*)$.映射$s: {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))\to C(B^*, \omega^*)$有下面性质.对任意$A_1, A_2\in {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$和$t\in \mathbb{R}^+$,

$ s_{A_1}=s_{A_2}\Leftrightarrow A_1=A_2, \ \ A_1\subset A_2 \Leftrightarrow s_{A_1}\le s_{A_2}, \\s_{A_1+A_2}=s_{A_1}+s_{A_2}, \ \ s_{tA_1}=ts_{A_1} $

和$d(A_2, A_2) =\|s_{A_1}-s_{A_2}\|_{\infty}$.所以co$(\mathcal{K}(F))$是一个代数和拓扑同构的.

Banach空间上的中偏差原理   (见文献[4, 5])设$E$是一个Banach空间, $E_1$是$E$的一个闭凸子集, $E^*$表示$E$的拓扑对偶.给定$E_1$值随机变量$X$, 若$X\in WM^2_0$表示满足$\mathbb{E} \lambda(X)=0$和$\mathbb{E}\lambda^2(X)<\infty$对任意$\lambda\in E^*$.设$(X_n)_{n\in N^*}$是一列定义在$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$上取值为$E_1$的i.i.d.随机变量$X_1\in WM^2_0$, 设$S_n = (X_1+\cdots+X_n)/(b_n\sqrt n)$.假设存在$\delta>0$, 使得

$ \mathbb{E}\exp\left(\delta\|X_1\|\right)<\infty $

和

$ S_n\xrightarrow{\mathbb{P}} 0. $

则对任意$U\subset E$,

$ -\inf\limits_{x\in U^o}\Lambda^{*}_E(x)\le \liminf\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in U)\le\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in U)\le -\inf\limits_{x\in \overline U} \Lambda^{*}_E(x), $

这里

$ \Lambda^{*}_E(x)=\sup\limits_{\lambda\in E^*}\{\lambda(x)-\Lambda_E(\lambda)\} $

和

$ \Lambda_E(\lambda)=\frac 12\mathbb{E} \lambda^2(X_1). $

凸核的距离  (见文献[3,6])设$A\in\mathcal{K}(F)$, 其内半径为

$ r(A)=\sup\limits_{a\in co(A)}\inf\{R: \exists a_1, \cdots, a_s\in A, a\in {\hbox{co}}(a_1, \cdots, a_s), \|a-a_i\|\le R, 1\le i\le s\}. $

显然, $r(A)=0$当且仅当$A$是凸的.对任意$A$, $r(A)\le 2\|A\|=2\sup_{a\in A}\|a\|$.对任意$A_1, \cdots, A_n\in\mathcal{K}(F)$,

$ \label{Ie} d(A_1+\cdots+A_n, {\hbox{co}}(A_1)+\cdots+{\hbox{co}}(A_n))\le c^{1/p}(r(A_1)^p+\cdots+r(A_n)^p)^{1/p}. $

(2.1)

这里$p$与$p$型空间$F$有关, 常数$c$定义在(1.1) 式.

定理1.1的证明  证明分为三步.

第一步  设$(A_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$是凸的.设$E=C(B^*, \omega^*)$, $E_1=s({\hbox{co}}(\mathcal{K}(F)))$和随机函数$(s_{A_n})_{n\in \mathbb{N}^*}$.由Riesz表示定理^[7], $E$的拓扑对偶是$(B^*, \omega^*)$上的符号测度集.有定理1.1的条件, 存在$\delta>0$, 使得

$ \mathbb{E}\exp\left(\delta\|s_{A_1}\|_{\infty}\right)=E\exp\left(\delta \sup\limits_{a\in A_1}\|a\|\right)<\infty. $

由于$s$的同构性, 对任意$U\in {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$, $\Lambda^*(U)=\Lambda^*_E(s_U)$, 有

$ -\inf\limits_{U\in \mathcal{U}^o_{{\hbox{co}}}}\Lambda^{*}(U)\le \liminf\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\le\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\le -\inf\limits_{U\in \overline{\mathcal{U}}_{{\hbox{co}}}} \Lambda^{*}(U). $

第二步  设$(A_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$不必凸, 令$S_n=(A_1+\cdots+A_n)/(b_n\sqrt n)$和$S^{{\hbox{co}}}=({\hbox{co}}(A_1)+\cdots+{\hbox{co}}(A_n))/(b_n\sqrt n)$.下面证明

对任意$r>0$,

$ \label{*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P} (d(S_n, S_n^{{\hbox{co}}})\ge r)=-\infty. $

(2.2)

应用不等式(1.4),

$ \mathbb{P}(d(S_n, S_n^{co}\ge r))\le \mathbb{P}(c^{1/p}(r(A_1)^p+\cdots+r(A_n)^p)^{1/p}\ge rb_n\sqrt n ), $

由条件(1.4), 存在递增正序列$a_n$和一个正常数$\beta$, 使得

$ p-\beta=1+\delta_0, \ \ \ b_n^{\frac{2p}{1+\delta_0}-2}\ll a_n\ll b_n^2n^{p/2-1}, $

即

$ \label{205} b_n^{2\beta/(p-\beta)}\ll a_n\ll b_n^2n^{p/2-1}, $

(2.3)

所以有

$ \begin{array}{l} & \ \mathbb{P}(c^{1/p}(r(A_1)^p+\cdots+r(A_n)^p)^{1/p}\ge rb_n\sqrt n)\\ =&\ \mathbb{P}\left(r(A_1)^p+\cdots+r(A_n)^p\ge (rb_n\sqrt n)^p/c\right )\\ \le &\ \mathbb{P}\left(\max\limits_{1\le i \le n}r(A_i)^{\beta} \big[r(A_1)^{p-\beta}+\cdots+r(A_n)^{p-\beta}\big] \ge (rb_n\sqrt n)^{p}a_n /(ca_n)\right )\\ \le &\ \mathbb{P}\left(\max\limits_{1\le i\le n}r(A_i)^\beta\ge a_n\alpha\right)+\mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}+\cdots+r(A_n)^{p-\beta}\ge \frac{(rb_n\sqrt n)^{p}}{(\alpha ca_n)}\right )\\ \le &\ n\mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}\ge (a_n\alpha)^{(p-\beta)/\beta}\right)+\mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}+\cdots+r(A_n)^{p-\beta}\ge \frac{(rb_n\sqrt n)^{p}}{(\alpha ca_n)}\right ). \end{array} $

由于$r(A_1)\le 2\|A_1\|=2\sup_{a\in A_1}\|a\|$, 由Markov's不等式得

$ \begin{array}{l} &\frac{1}{b_n^2}\log\mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}\ge (a_n\alpha)^{(p-\beta)/\beta}\right)\\ \le & \frac{1}{b_n^2}\log\left( \exp\Big(-\lambda(a_n\alpha)^{(p-\beta)/\beta}\Big)\mathbb{E}\exp\Big(2\lambda\sup\limits_{a\in A_1}\|a\|\Big)\right)\\ \le & \frac{-\lambda(a_n\alpha)^{(p-\beta)/\beta}}{b_n^2}+\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{E}\exp\Big(2\lambda\sup\limits_{a\in A_1}\|a\|\Big), \end{array} $

这里$\lambda>0$, $2\lambda\le \delta$.因此, 从(2.3) 式, 我们有

$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log n\mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}\ge (a_n\alpha)^{(p-\beta)/\beta}\right)=-\infty. $

由$A_i, i=1, \cdots, n$的独立性和Markov's不等式得

$ \begin{array}{l} &\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}+\cdots+r(A_n)^{p-\beta}\ge (rb_n\sqrt n)^{p} /(\alpha ca_n)\right)\\ \le&\frac{n}{b_n^2}\log \mathbb{E}\exp\Big(2\lambda\sup\limits_{a\in A_1}\|a\|^{p-\beta}\Big)- \frac{\lambda(rb_n\sqrt n)^{p}}{b_n^2a_n c\alpha}. \end{array} $

(2.4)

根据(2.3) 式, 有

$ \label{207} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}\left(r(A_1)^{p-\beta}+\cdots+r(A_n)^{p-\beta}\ge (rb_n\sqrt n)^{p} /(\alpha ca_n)\right)=-\infty. $

(2.5)

由(2.4) 和(2.5) 式, 获得(2.2) 式.

第三步  设$\mathcal{U}$是$\mathcal{K}(F)$的一个子集.设$U\in\mathcal{U}^{o}$.则存在$\gamma>0$使得

$ \{V\in\mathcal{K}(F): d(U, V)<\gamma \}\subset \mathcal{U}. $

所以有

$ \begin{array}{l} \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\ge \mathbb{P}(d(S_n, U)<\gamma)\ge \mathbb{P}(d(S_n^{co}, U)<\gamma/2, d(S_n, S_n^{co})<\gamma/2)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ge\mathbb{P}(d(S_n^{co}, U)<\gamma/2)-\mathbb{P}(d(S_n, S_n^{co})\ge\gamma/2). \end{array} $

利用(2.2) 式和中偏差原理得

$ \liminf\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\ge -\Lambda^*(U). $

设$\mathcal{U}\subset\mathcal{K}(F)$.对任意$\gamma>0$, 设$\mathcal{U}^\gamma=\{A\in \mathcal{K}(F): d(A, \mathcal{U})\le \gamma\}$.所以

$ \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\le \mathbb{P}(S_n^{{\hbox{co}}}\in\mathcal{U}^\gamma)+\mathbb{P}(d(S_n, S_n^{co})>\gamma). $

利用(2.2) 式和中偏差原理得

$ \liminf\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n^2}\log \mathbb{P}(S_n\in\mathcal{U})\le -\inf\{\Lambda^*(U):U\in \overline{\mathcal{U}^\gamma}_{{\hbox{co}}}\}. $

由于$\overline{\mathcal{U}^\gamma}_{{\hbox{co}}}=\mathcal{U}^\gamma\bigcap {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$, $\bigcap_{\gamma>0} \overline{\mathcal{U}^\gamma}_{{\hbox{co}}}=\overline{\mathcal{U}}\bigcap {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$, 有

$ \lim\limits_{\gamma\to 0}\inf\{\Lambda^*(U):U\in \overline{\mathcal{U}^\gamma}_{{\hbox{co}}}\}=\inf\{\Lambda^*(U):U\in \overline{\mathcal{U}}\cap {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))\}. $

右边显然大于左边.设$(U_n)_{n\in N^*}$是一列满足对任意$n$, $U_n\in \overline{\mathcal{U}^{1/n}}_{{\hbox{co}}}$成立的序列, $\Lambda^*(U_n)$收敛到左边. $\Lambda^*$的水平集是紧的, 从$(U_n)_{n\in N^*}$可以提取子列收敛于$U$且$U\in\overline{\mathcal{U}}\cap {\hbox{co}}(\mathcal{K}(F))$.由$\Lambda^*$的下半连续型, $\Lambda^*(U)$小于左边.令$\gamma\to0$, 则可得到上界.从上面的讨论, 定理可得.