Klein-Gordon方程是由瑞典物理学家奥斯卡$\bf \cdot$克莱因和德国人沃尔特$\cdot$高登于二三十年代分别独立推导得出的. Klein-Gordon方程是相对论量子力学和量子场论中用于描述自旋为零的粒子的最基本方程式, 它是薛定谔方程的相对论形式, 具有深刻的实际背景和物理意义, 如在强耦合条件下, 考虑相对论时效时, 处于势场中运动的离子需要用Klein-Gordon方程或Dirac方程描述.因此它受到了一些物理学家和数学家的高度关注.通常求解低维Klein-Gordon方程的方法是利用它的Backlund变换(BT)和Darboux变换(DT), 然而求BT和DT是很不容易的工作, 目前已有的一些文章如文献[1-5]对其进行了研究, 但效果并不十分理想.此外, 文献[6]研究了在二维空间中研究了一类耦合非线性Klein-Gordon方程租的初值问题, 证明了具有基态的驻波的存在性和不稳定性.文献[7]利用直接截断法讨论了形如$ u_{tt} - u_{xx} + \alpha u - \beta u^3 = 0 $的Klein-Gordon方程的精确解.文献[8]利用四阶龙格库塔方法数值模拟了一维Klein-Gordon晶格中非线性局域模的传播和碰撞.文献[9]从量子力学的矩阵元计算出带电粒子在磁场中Klein-Gordon方程的精确波函数.然而对于Klein-Gordon方程数值解的求解, 目前研究较少, 且其求解精度大都不太理想.本文主要利用Fourier谱方法对形如(1.1) 式

$ \begin{equation} \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial t^2 }} - \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} + \left| {\rm{u}} \right|^\beta u = f \end{equation} $

(1.1)

的Klein-Gordon方程在周期边界条件的数值求解进行了研究, 给出求解的离散过程并与文献[10]进行了比较.

对于周期问题, 这里选择用Fourier谱方法, 为了获得差分矩阵, 首先利用谱配置法, 它是一种基于权函数的插值, 形式如(2.1) 式:

$ \begin{equation} f(x) \approx {p_{N - 1}}(x) = \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\alpha (x)}}{{\alpha ({x_j})}}} {\phi _j}(x){f_j}, \end{equation} $

(2.1)

其中$\left\{ {{x_j}} \right\}_{j = 1}^N$是插值节点的集合, $\alpha (x)$为权函数, ${f_j} = f({x_j})$, 插值函数$\left\{ {{\phi _j}(x)} \right\}_{j = 1}^N$满足${\phi _j}({x_k}) = {\delta _{jk}}$.这也就是说${p_{N - 1}}(x)$作为$f(x)$的一种插值, 有(2.2) 式成立.

$ \begin{equation} f({x_k}) = {p_{N - 1}}({x_k}), k = 1, 2, \cdots, N, \end{equation} $

(2.2)

对(2.2) 式, 在各节点${x_k}$处求$n$阶导数可得(2.3) 式,

$ \begin{equation} {f^{(n)}}(x) \approx {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left[{\frac{{\alpha (x)}}{{\alpha ({x_j})}}{\phi _j}(x)} \right]} _{x = {x_k}}}{f_j}, \quad \quad k = 1, \cdots, N.\end{equation} $

(2.3)

导数的求解用一个矩阵${D^{(n)}}$表示, 则可推导出(2.4) 式,

$ \begin{equation} D_{k, j}^{(n)} = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{\left[{\frac{{\alpha (x)}}{{\alpha ({x_j})}}{\phi _j}(x)} \right]_{x = {x_k}}}. \end{equation} $

(2.4)

因此有如下数值差分过程:

$ \begin{equation} {f^{(n)}} = {D^{(n)}}f, \end{equation} $

(2.5)

这里$f$为函数在各节点${x_k}$处的函数值, ${f^{(n)}}$为函数在各节点${x_k}$处近似得到的导数值.求解微分方程时, 导数通过(2.5) 的离散近似.对于Fourier谱方法, 取${x_k} = (k - 1)h$, 这里$h = \frac{{2\pi }}{N}$, $k=1, 2, 3, \cdots, N$,

$ \begin{equation} {p_N}(x) = \sum\limits_{j = 1}^N {{\phi _j}(x)} {f_j}. \end{equation} $

(2.6)

权函数$\alpha (x) = 1$, 这里

$ \begin{equation*} \label{eq:1} \left\{ \begin{aligned} {\phi _j}(x) &= \frac{1}{N}\sin \frac{N}{2}(x - {x_j})\cot \frac{1}{2}(x - {x_j}), n {\hbox{为偶数}}, \\ {\phi _j}(x)& = \frac{1}{N}\sin \frac{N}{2}(x - {x_j})\csc \frac{1}{2}(x - {x_j}), n {\hbox{为奇数}}. \end{aligned} \right. \end{equation*} $

则对应的插值函数, 当$N$为偶数时为

$ {p_N}(x) = \frac{{\sum\limits_{j = 1}^N {{{( - 1)}^j}{f_j}} \cot \frac{1}{2}(x - {x_j})}}{{\sum\limits_{j = 1}^N {{{( - 1)}^j}} \cot \frac{1}{2}(x - {x_j})}}; $

当$N$为奇数时为

$ \begin{equation} {p_N}(x) = \frac{{\sum\limits_{j = 1}^N {{{( - 1)}^j}{f_j}} \csc \frac{1}{2}(x - {x_j})}}{{\sum\limits_{j = 1}^N {{{( - 1)}^j}} \csc \frac{1}{2}(x - {x_j})}}.\end{equation} $

(2.7)

故当$N$是偶数时,

$ \begin{eqnarray} D_{kj}^{(1)} &=& \left\{ \begin{array}{l} 0, \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad \quad k = j, \\ \frac{1}{2}{( - 1)^{k - j}}\cot \frac{{(k - j)h}}{2}, \quad\quad k \ne j, \end{array} \right.\nonumber\\ D_{kj}^{(2)} &=& \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{{\pi ^2}}}{{3{h^2}}} - \frac{1}{6}, \quad\quad\quad\quad \quad\quad \quad \quad \quad k = j, \\ - {( - 1)^{k - j}}\frac{1}{2}{\csc ^2}\frac{{(k - j)h}}{2}, \quad \quad \quad\quad k \ne j ; \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(2.8)

当$N$是奇数时,

$ \begin{eqnarray*} D_{kj}^{(1)} &=& \left\{ \begin{array}{l} 0, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad \quad k = j, \\ \frac{1}{2}{( - 1)^{k - j}}\csc \frac{{(k - j)h}}{2}, \quad\quad k \ne j, \\ \end{array} \right.\\ D_{kj}^{(2)} &=& \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{{\pi ^2}}}{{3{h^2}}} - \frac{1}{{12}}, \quad\quad\quad\quad\quad\ \quad\quad\quad\quad\quad k = j, \\ - {( - 1)^{k - j}}\frac{1}{2}\csc \frac{{(k - j)h}}{2} \cot \frac{{(k - j)h}}{2}, \quad k \ne j. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

此外, 当$N$是奇数时有

$ {D^{(\ell )}} = {({D^{(1)}})^\ell }; $

当$N$是偶数时, 这个公式仅适用于$\ell $是奇数的情形.可得$N$为偶数时, $ k = 1, \cdots, N$, 有

$ {p_N}({x_k}) = \sum\limits_{j = - N/2}^{N/2 - 1} {{\alpha _j}} {e^{ij{x_k}}} \Rightarrow p_{_N}^{(\ell )}({x_k}) = \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{j = - N/2}^{N/2 - 1} {{{(ij)}^\ell }{\alpha _j}} {e^{ij{x_k}}}, \quad\quad \ell {\hbox{偶数}}, \\ \sum\limits_{j = - N/2 + 1}^{N/2 - 1} {{{(ij)}^\ell }{\alpha _j}{e^{ij{x_k}}}, \quad \ell {\hbox{奇数}}} ; \end{array} \right. $

当$N$是奇数时, $ k = 1, \cdots, N$, 有

$ {p_N}({x_k}) = \sum\limits_{j = - (N - 1)/2}^{(N - 1)/2} {{\alpha _j}} {e^{ij{x_k}}} \Rightarrow p_{_N}^{(\ell )}({x_k}) = \sum\limits_{j = - (N - 1)/2}^{(N - 1)/2} {{{(ij)}^\ell }{\alpha _j}} {e^{ij{x_k}}}. $

考虑如下非线性Klein-Gordon方程

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} - \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + {\left| {\rm{u}} \right|^\beta }u = f,\\ u(x,0) = {g_0}(x),\\ \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left| {_{t = 0}} \right. = {g_1}(x),\\ {\rm{u(a,t) = u(b,t)}} \end{array} \right.x \in [a,b],0 < t, $

(3.1)

其中$\beta$是参数, $g_0 (x)$, $g_1 (x)$为初始条件.

由于变量$x$定义的区间为$[a, b]$, 先需要通过一个线性变换$x \leftrightarrow a + \frac{1}{{2\pi }}(b - a)x$, 将$x$变换到$[0, 2\pi]$上然后求解.对(3.1) 式其变形.令$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = v$, 则该方程变为如下方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = v, \\ \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} - \left| u \right|^\beta u + f, \\ u(x, 0) = g_0 (x), \\ v(x, 0) = g_1 (x), \\ u(a, t) = u(b, t), \end{array} \right. x \in [a, b], 0 < t. $

对空间变量$x$进行离散得二阶导数

$ \left[{\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}(x_1 , t), \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}(x_2, t), \cdots , \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}(x_{n-1} , t), \frac{{\partial ^m u}}{{\partial x^m }}(x_n, t)} \right]^T \approx D^{(2)} \left[\begin{array}{l} u(x_1, t) \\ u(x_2, t) \\ \vdots \\ u(x_{n-1}, t) \\ u(x_n, t) \end{array} \right], $

其中$D^{(2)}$为二阶Fourier谱差分矩阵导数, 于是得如下式

$ \begin{array}{l} \;\;\;{\left[ {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}({x_1},t),\frac{{\partial u}}{{\partial t}}({x_2},t), \cdots ,\frac{{\partial u}}{{\partial t}}({x_{n - 1}},t),\frac{{\partial u}}{{\partial t}}({x_n},t)} \right]^T}\\ = {\left[ {v({x_1},t),v({x_2},t), \cdots ,v({x_{n - 1}},t),v({x_n},t)} \right]^T}, \end{array} $

(3.2)

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}({x_1},t)}\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}({x_2},t)}\\ {\;\;\;\; \vdots }\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}({x_{n - 1}},t)}\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}({x_n},t)} \end{array}} \right] \approx {D^{(2)}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u({x_1},t)}\\ {u({x_2},t)}\\ {\;\;\;\; \vdots }\\ {u({x_{n - 1}},t)}\\ {u({x_n},t)} \end{array}} \right]}\\ {\;\;\; - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| {u{{\left( {{x_1},t} \right)}^\beta }} \right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0}\\ {\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {u{{\left( {{x_2},t} \right)}^\beta }} \right|\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0}\\ {\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots }\\ {\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\left| {u{{\left( {{x_3},t} \right)}^\beta }} \right|\;\;\;} \end{array}} \right]\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u({x_1},t)}\\ {u({x_2},t)}\\ {\;\;\;\; \vdots }\\ {u({x_{n - 1}},t)}\\ {u({x_n},t)} \end{array}} \right]{\rm{ + }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {f({x_1},t)}\\ {f({x_2},t)}\\ {\;\;\;\; \vdots }\\ {f({x_{n - 1}},t)}\\ {f({x_n},t)} \end{array}} \right].} \end{array} $

(3.3)

这样方程(3.1) 变成了(3.2) 和(3.3) 式组成的常微分方程组

$ \begin{equation} \frac{{dY}}{{dt}} = \left[\begin{array}{l} \frac{{dU}}{{dt}} \\ \frac{{dV}}{{dt}} \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{l} V \\ D^{(2)} U-KU + F) \end{array} \right], \end{equation} $

(3.4)

其中

$ \begin{array}{l} & Y = \left[\begin{array}{l} U \\ V \\ \end{array} \right], V = [v(x_1, t), v(x_2, t), \cdots, v(x_{n-1}, t), v(x_n , t)]^T, \\ & K = \left[\begin{array}{cccccc} \left| {u(x_1, t)} \right|^\beta&0& \cdots&0 \\ 0&\left| {u(x_2, t)} \right|^\beta&\cdots&0 \\ \vdots& \vdots&\vdots&\vdots \\ 0&0&\cdots& \left| {u(x_n, t)} \right|^\beta \end{array} \right], \\ & U = [u(x_1, t), u(x_2, t), \cdots, u(x_{n-1}, t), u(x_n, t)]^T, F = [f(x_1, t), f(x_2, t), \cdots, f(x_n, t)]^T. \end{array} $

对这个常微分方程可用经典Runge-Kutta算法进行求解.为方便起见, 令右端项

$ \left[\begin{array}{l} V \\ D^{(2)} U-KU + F) \end{array} \right] = g(t, Y). $

那么对于方程(3.4) 有

$ \begin{array}{l}& Y_{k + 1} = Y_k + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 ), k_1 = g(t_k, Y_k ), \\ & k_2 = g(t_k + \frac{h}{2}, Y_k + \frac{h}{2}k_1 ), ~k_3 = g(t_k + \frac{h}{2}, Y_k + \frac{h}{2}k_2 ), ~ k_4 = g(t_k + h, Y_k + hk_3 ), \end{array} $

(3.5)

其中$h$为时间步长, $k$为时间节点, $Y_k = [Y(x_1, t_k ), Y(x_2, t_k ), \cdots, Y(x_n , t_k )]^T$.这样我们便可以求出方程(3.4) 的数值解.

由于谱配置法对光滑性有很高的要求, 所以考虑如下非线性Klein-Gordon方程

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial t^2 }} - \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} + \left| u \right|^\beta u = f, \\ u(x, 0) = 0, \\ \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left| {_{t = 0} } \right. = \sin (\pi x), u( - 1, t) = u(1, t) = 0, \end{array} \right. x \in [-1, 1], t \in \left[{0, 1} \right], $

(4.1)

其中

$ f = - 2\sin(\pi x) + \left| {(t - t^2 )\sin(\pi x)} \right|^\beta (t - t^2 )\sin(\pi x) + \pi ^2 \sin(\pi x)(t - t^2 ) $

真解为$u(x, t) = (t - t^2 )\sin (\pi x)$.

采用Fourier谱方法, 由于方程对时间离散采用的是显式龙格库塔方法求解, 且离散过程中有一个是抛物型方程, 所以时间步长必须选取较小才能保证数值稳定性, 这里选取时间步长$h = 0.001$, 空间变量$x$节点数$N = 20$, $\beta$取不同值时所得真解与近似解的误差, 所得结果如表 1所示(其中绝对误差为: $\left\| {uz - u} \right\|_2$, 相对误差: $\frac{{\left\| {uz - u} \right\|_2 }}{{\left\| {uz} \right\|_2 }}$, $uz$为$t$个时间节点时$u$在20个空间节点处的真解构成的矩阵, $u$为$t$个时间节点时$u$在20个空间节点处的近似解构成的矩阵).

采用Fourier谱方法, 取时间步长$h = 0.001$, 空间变量$x$节点数$N = 12$, 所得结果如图 1, 图 2及图 3所示, 其中图 1为方程的近似解, 图 2为方程的真解, 图 3表示时间$ t = 0.01$时各节点$u$在$x$各节点处解与真解的绝对误差.

取$\beta = 3$, 采用Fourier谱方法, 时间步长$h = 0.001$, 空间变量$x$节点数$N = 8, 12$, 所得$u(1/2, 0.01)$的结果与文献[10]相比较, 结果如表 2所示.

通过比较我们可以发现本文方法比文献[10]中方法具有更高的的精度.

(1) 本文针对一类非线性Klein-Gordon方程, 给出了利用Fourier谱配置法求其数值解的推导过程并进行了数值模拟.结果表明这种方法对于求解此类非线性Klein-Gordon方程具有较好的效果.

(2) 谱方法对解的光滑性一般要求很高, 本文仅对Klein-Gordon方程的光滑解进行了数值模拟, 另外, 此方法对时间步长的要求也较为严格, 本文分别取$h=0.01, 0.001$时效果较好, 但对于大时间步长的情况还待进一步探讨和研究.