近些年, 集值优化已成为向量优化关注的热点问题.作为刻画优化问题最优性条件的重要工具-(次梯度)次微分的概念已被成功推广并应用于稳定性理论的研究^[1-5].胡毓达等^[2]定义了集值映射分别在有效、弱有效意义下的次微分, 并讨论集值映射的有效点集、弱有效点集在次微分意义下的稳定性.另一方面, 向量优化的研究与集合锥有效性研究相同步.由于集值优化理论的逼近有效解与Ekeland变分原理之间存在紧密的联系, 由此各种逼近有效性的概念被相继引入, $\varepsilon$ -严有效性是其中具有代表性的逼近有效性之一. Li^[6]讨论了 $\varepsilon$ -严有效解的标量化定理， $\varepsilon$ -Lagrange乘子定理和 $\varepsilon$ -鞍点定理.本文将引入集值映射在 $\varepsilon$ -严有效意义下的次微分概念, 并得到了该次微分的存在性定理及其稳定性.与文献[2]相比, 定理的条件有所减弱.

设 $X$是局部凸拓扑向量空间, $Y$和 $Z$是局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $Y^{*}$和 $Z^{*}$分别为 $Y$和 $Z$的拓扑对偶空间.设 $\emptyset \neq M\subset Y$, 我们以cl $M$、int $M$和cone $M$分别表示 $M$的闭包、内部和生成锥, 其中cone $M=\{\lambda m:\lambda \geq 0, m\in M\}$.设 $C\subset Y$为内部非空的闭凸点锥.一个凸子集 $B\subset C$称为锥 $C$的基, 如果 $0\notin$ cl $B$且 $C$=cone $B$. $C$的对偶锥 $C^{*}$定义为 $C^{*}=\{c^{*}\in Y^{*}:c^{*}(c) \geq 0, c\in C\}, $ $B^{st}=\{\varphi \in Y^{*}$:存在 $t>0$使得 $\varphi(b)\geq t, b \in B\}$.

定义2.1^[6]  设 $\emptyset \neq M\subset Y, B$是 $C$的基, $\varepsilon \in C$.点 $y\in M$称为 $M$关于基 $B$的 $\varepsilon$-严有效点, 记作 $y\in \varepsilon-FE(M, B)$, 如果存在零点邻域 $U$使得

$ {\rm cl~cone}(M+\varepsilon-y)\cap (U-B)=\emptyset. $

(2.1)

注2.1^[6]  (2.1) 式等价为

$ {\rm cone}(M+\varepsilon-y)\cap (U-B)=\emptyset. $

引理2.1^[6]  设 $B$为 $C$的基， $\varepsilon \in C, ~ \emptyset \neq M\subset Y$, 则 $\varepsilon-FE(M, B)=\varepsilon-FE(M+C, B).$

设 $F:X\rightarrow 2^{Y}$为一集值映射, 则 $F$的定义域, 图, 上图分别定义为

$ \begin{eqnarray*}&& {\rm dom}~F=\{x\in X:F(x)\neq \emptyset\}, \\ && {\rm graph}~F=\{(x, y)\in X\times Y:x\in {\rm dom}~F, y\in F(x)\}, \\ && {\rm epi}~F=\{(x, y)\in X\times Y:x\in {\rm dom}~F, y\in F(x)+C\}. \end{eqnarray*} $

定义2.2^[7]  令 $F:X\rightarrow 2^{Y}$为一集值映射, $(x_{0}, y_{0})\in {\rm graph}~F$. $F$称为在点 $(x_{0}, y_{0})$处是下半连续的, 如果对 $y_{0}$的任意邻域 $N(y_{0})$, 存在 $x_{0}$的邻域 $N(x_{0})$使得对所有的 $x\in N(x_{0})$有 $F(x)\cap N(y_{0})\neq \emptyset.$

定义2.3^[7]  设集值映射 $F:X\rightarrow 2^{Y}$, 如果对任意的 $x_{1}, x_{2}\in X, 0\leq \lambda \leq 1$, 有

$ \lambda F(x_{1})+(1-\lambda)F(x_{2})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C, $

则称 $F$在 $X$上是 $C$ -凸的.

定义2.4  设 $F:X\rightarrow 2^{Y}$是集值映射, 点 $\bar{x}\in X, \bar{y}\in F(\bar{x})$, 并且 $\varphi^{*}\in X^{*}$, 给定向量 $p\in {\rm int}~C$, 若

$ \bar{y}-\varphi^{*}(\bar{x})p\in \varepsilon-FE[\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x)p), B], $

则称 $\varphi^{*}\in X^{*}$是集值映射 $F$在点 $(\bar{x}, \bar{y})$关于向量 $p$的 $\varepsilon$ -严有效次梯度. $F$在点 $(\bar{x}, \bar{y})$关于向量 $p$的 $\varepsilon$ -严有效次梯度的集合称为 $F$在点 $(\bar{x}, \bar{y})$处关于向量 $p$的 $\varepsilon$ -严有效次微分, 记作 $\partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}$.若 $\partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}\neq \emptyset$, 则称 $F$在点 $(\bar{x}, \bar{y})$关于向量 $p$是 $\varepsilon$ -严有效次可微的.

引理3.1^[5]  设 $F:X\rightarrow 2^{Y}$是一集值映射, 且 $x_{0}\in {\rm dom}~F$, 则下面三个条件只要满足其中之一, 就有int(epi $F)\neq \emptyset$.

(Ⅰ)存在 $\hat{y}\in F(x_{0})$使得 $F$在 $(x_{0}, \hat{y})$处是下半连续的.

(Ⅱ)存在 $a\in Y$使得 $F(X)\subset a-C.$

(Ⅲ)存在映射 $f:X\rightarrow Y$使得 $f(x)\in F(x)(\forall x\in X$), 并且 $f$在 $x_{0}$的一邻域 $U(x_{0})$内连续.

定理3.1  设 $B$为 $C$的基, $F:X\rightarrow 2^{Y}$是 $C$ -凸的集值映射, $(x_{0}, y_{0})\in {\rm graph}~F, p\in {\rm int}~C$, $y_{0}\in \varepsilon-FE(F(x_{0}), B)$.则只要引理3.1中的条件满足其中之一, 就有 $\partial_{\varepsilon-F}F(x_{0}, y_{0})_{p}\neq \emptyset.$

证  因为 $y_{0}\in \varepsilon-FE(F(x_{0}), B)$, 则存在零点的邻域 $U$使得

$ {\rm cone}(F(x_{0})+\varepsilon-y_{0})\cap (U-B)=\emptyset. $

(3.1)

定义

$ A=\{(x, y)\in X\times Y:y\in F(x)+{\rm cone}(B-U)\}. $

由 $F$是 $C$ -凸的, $C\subset {\rm cone}(B-U)$知 $F$是 ${\rm cone}(B-U)$ -凸的, 于是 $A$是凸集.由引理3.1及 ${\rm eip}~F\subset A$得 ${\rm int}~A\neq \emptyset.$

下面证明 $(x_{0}, y_{0}-\varepsilon)\notin {\rm int}~A$.若不然, 则存在 $U_{1}\in N(0_{Y})$, 使得 $(x_{0}, y_{0}-\varepsilon+U_{1})\subset A$.因为 ${\rm cone}(B-U)$是锥, 则存在 $-d\in {\rm cone}(B-U)\backslash \{0\}$, 使得 $d\in U_{1}$, 于是

$ y_{0}-\varepsilon+d\in F(x_{0})+{\rm cone}(B-U). $

因而存在 $y_{1}\in F(x_{0}), d_{1}\in {\rm cone}(B-U)$使得

$ y_{0}-\varepsilon+d=y_{1}+d_{1}. $

于是 $y_{1}-y_{0}+\varepsilon=d-d_{1}\in -{\rm cone}(B-U)\backslash \{0\}\subset {\rm cone}(U-B)\backslash \{0\}$, 此与(3.1) 式矛盾, 因此 $(x_{0}, y_{0}-\varepsilon)\notin {\rm int} A$.由凸集分离定理知存在 $(\varphi^{*}, \psi^{*})\in X^{*}\times Y^{*}, (\varphi^{*}, \psi^{*})\neq (0_{X^{*}}, 0_{Y^{*}})$, 使得

$ \varphi^{*}(x)+\psi^{*}(y)\geq \varphi^{*}(x_{0})+\psi^{*}(y_{0}-\varepsilon), ~~\forall x\in X, y\in F(x)+{\rm cone}(B-U). $

(3.2)

即

$ \varphi^{*}(x)+\psi^{*}(y+\varepsilon)\geq \varphi^{*}(x_{0})+\psi^{*}(y_{0}), ~~\forall x\in X, y\in F(x)+{\rm cone}(B-U). $

(3.3)

由于 $y+\varepsilon\in F(x)+{\rm cone}(B-U)+\varepsilon \subset F(x)$+ ${\rm cone}(B-U)+ {\rm cone}(B-U)\subset F(x)+{\rm cone}(B-U)$, 令 $\hat{y}=y+\varepsilon$, 则(3.3) 式等价为

$ \varphi^{*}(x)+\psi^{*}(\hat{y})\geq \varphi^{*}(x_{0})+\psi^{*}(y_{0}), ~~\forall x\in X, \hat{y}\in F(x)+{\rm cone}(B-U). $

(3.4)

下证 $\psi^{*}\neq 0_{Y^{*}}$.若不然, 则有 $\varphi^{*}(x-x_{0})\geq 0, \forall x\in X$.对正实数 $\lambda>0$, 任取 $v\in X$, 取 $x=\pm \lambda v+x_{0}$可得 $\varphi^{*}(\pm \lambda v)\geq 0$.由此得到 $\varphi^{*}=0_{X^{*}}$, 此与 $(\varphi^{*}, \psi^{*})\neq (0_{X^{*}}, 0_{Y^{*}})$矛盾.另一方面, 在(3.4) 式中取 $x=x_{0}, \hat{y}=y_{0}+q, \forall q\in {\rm cone}(B-U)$, 有

$ \psi^{*}(q)\geq 0, ~~ \forall q\in {\rm cone}(B-U). $

(3.5)

因为 $\psi^{*}\neq 0_{Y^{*}}$, 则存在 $u\in U$使得 $\psi^{*}(u)=t>0$, 由(3.5) 式有

$ \psi^{*}(b)\geq \psi^{*}(u)=t, ~~\forall b\in B, $

即 $\psi^{*}\in B^{st}$.

下面证明 $-\frac{\varphi^{*}}{\psi^{*}(p)}\in \partial_{\varepsilon-F}F(x_{0}, y_{0})_{p}$.若不成立, 则由定义2.4及引理2.1知对于任意的零点邻域 $U$有

$ {\rm cone}(\cup_{x\in X}(F(x)+\frac{\varphi^{*}(x-x_{0})}{\psi^{*}(p)}p+\varepsilon-y_{0}+C)))\cap(U-B) \neq \emptyset. $

(3.6)

设 $\bar{U}=\{y\in Y:\psi^{*}(y)<\frac{t}{2}\}$, 则 $\bar{U}$是零点邻域且

$ \psi^{*}(\bar{u}-b)<\frac{t}{2}-t<0, ~~\forall \bar{u}\in \bar{U}, b\in B. $

(3.7)

由(3.6) 式知存在 $\lambda>0, \tilde{x}\in X, \tilde{y}\in F(\tilde{x}), \tilde{c}\in C$, 使得

$ \lambda (\tilde{y}+\frac{\varphi^{*}(\tilde{x}-x_{0})}{\psi^{*}(p)}p+\varepsilon-y_{0}+\tilde{c})\in \bar{U}-B. $

(3.8)

结合(3.7), (3.8) 式有

$ \psi^{*}(\lambda (\tilde{y}+\frac{\varphi^{*}(\tilde{x}-x_{0})}{\psi^{*}(p)}p+\varepsilon-y_{0}+\tilde{c}))<0. $

(3.9)

由 $\psi^{*}\in B^{st}, \varepsilon \in C$知 $\lambda \psi^{*}(\varepsilon)\geq 0$, 于是由(3.9) 式得

$ \lambda (\psi^{*}(\tilde{y})+\varphi^{*}(\tilde{x}-x_{0})-\psi^{*}(y_{0})+\psi^{*}(\tilde{c}))<0. $

(3.10)

由 $\lambda>0$及(3.10) 式得

$ \varphi^{*}(\tilde{x})+\psi^{*}(\tilde{y}+\tilde{c})<\varphi^{*}(x_{0})+\psi^{*}(y_{0}), $

其中 $(\tilde{x}, \tilde{y}+\tilde{c})\in {\rm epi}~F\subset A$, 上式与(3.4) 式矛盾.

定理3.2  设 $B$为 $C$的基, $(\bar{x}, \bar{y})\in {\rm graph}~F$, 给定 $p\in {\rm int}~C$.则 $\bar{y}\in \varepsilon-FE(F(X), B)$当且仅当 $0_{X^{*}}\in \partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}$.

证  因为 $\bar{y}\in \varepsilon-FE(F(X), B)$, 所以存在零点的邻域 $U$使得

$ {\rm cl~cone}(F(X)+\varepsilon-\bar{y})\cap (U-B)=\emptyset. $

这等价于

$ {\rm cl~cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-0(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y})\cap (U-B)=\emptyset. $

因此 $0_{X^{*}}\in \partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}$.

定理3.3  设 $B$为 $C$的基, $(\bar{x}, \bar{y})\in {\rm graph}~F$, $\varphi^{*}\in X^{*}$, 给定 $p\in {\rm int}~C$, 如果 $F$在 $X$上是 $C$ -凸的, 则 $\varphi^{*} \in \partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}$当且仅当存在 $\psi^{*}\in B^{st}$使

$ \psi^{*}(y-\bar{y}+\varepsilon)\geq \varphi^{*}(x-\bar{x})\psi^{*}(p), ~~\forall x\in X, y\in F(x). $

(3.11)

证  必要性由 $\varphi^{*}\in \partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}$及引理2.1知存在零点邻域 $U$使得

$ {\rm cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C))\cap (U-B)=\emptyset. $

由 $U-B$是开凸集得

$ {\rm cl~ cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C))\cap (U-B)=\emptyset. $

由 $F$在 $X$上是 $C$ -凸的, 故

$ \cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C) $

为凸集, 于是 ${\rm cl~cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C))$是凸集, 由凸集分离定理知存在 $\psi^{*}\in Y^{*}\backslash \{0_{Y^{*}}\}$使得

$ \psi^{*}(y)\geq \psi^{*}(y^{'}), ~~\forall y\in {\rm cl~cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\\ \varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C)), ~y^{'}\in U-B. $

(3.12)

由 ${\rm cl~cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C))$是锥及 $\psi^{*}$在其上有下界得

$ \psi^{*}(y)\geq 0, ~~\forall y\in {\rm cl~ cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p +\varepsilon-\bar{y}+C)). $

(3.13)

由 $0 \in {\rm cl~cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}+C))$及(3.12) 式得

$ \psi^{*}(B)\geq \psi^{*}(U). $

(3.14)

因为 $\psi^{*}\neq 0$, 则存在 $u_{0}\in U$使得 $\psi^{*}(u_{0})=t>0$, 在(3.14) 式中取 $u_{0}\in U$得

$ \psi^{*}(B)\geq \psi^{*}(u_{0})=t, $

即 $\psi^{*}\in B^{st}.$

由 $0\in C$及(3.13) 式有

$ \psi^{*}(y-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y})\geq 0, ~~\forall x\in X, y\in F(x), $

即

$ \psi^{*}(y-\bar{y}+\varepsilon)\geq \varphi^{*}(x-\bar{x})\psi^{*}(p), ~\forall x\in X, y\in F(x). $

充分性设存在 $\psi^{*}\in B^{st}$, 使(3.11) 式成立.若 $\varphi^{*}\notin \partial_{\varepsilon-F}F(\bar{x}, \bar{y})_{p}$, 则对于任意的零点邻域 $U$有

$ {\rm cone}(\cup_{x\in X}(F(x)-\varphi^{*}(x-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}))\cap(U-B)\neq \emptyset. $

(3.15)

设 $\hat{U}=\{y\in Y:\psi^{*}(y)<\frac{t}{2}\}$, 则 $\hat{U}$是零点邻域且

$ \psi^{*}(\hat{u}-b)<\frac{t}{2}-t<0, ~~\forall \hat{u}\in \hat{U}, ~b\in B. $

(3.16)

由(3.15) 式知存在 $\hat{\lambda}>0, \hat{x}\in X, \hat{y}\in F(\hat{x})$使得

$ \hat{\lambda}(\hat{y}-\varphi^{*}(\hat{x}-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y})\in \hat{U}-B. $

(3.17)

结合(3.16), (3.17) 式有

$ \psi^{*}(\hat{\lambda}(\hat{y}-\varphi^{*}(\hat{x}-\bar{x})p+\varepsilon-\bar{y}))<0, $

即

$ \psi^{*}(\hat{y}-\bar{y}+\varepsilon)<\varphi^{*}(\hat{x}-\bar{x})\psi^{*}(p). $

此与(3.11) 式矛盾.

设 $Z$是拓扑线性空间, $\Omega \subset Z$是 $Z$中半径为 $r>0$的球, $S:\Omega\rightarrow 2^{X}$和 $F:X\times \Omega \rightarrow 2^{Y}$为集值映射, 考虑下面的参数扰动优化问题

$ \begin{eqnarray*} &&(S0P)_{q}~~~~ {\rm min}~ F(x, q), \\ &&s.t.~ x\in S(q), ~\forall q\in \Omega. \end{eqnarray*} $

由参数优化问题的 $\varepsilon$ -严有效点集定义的集值映射如下

$ \varepsilon-FE(q)=\varepsilon-FE(F(S(q), q), B), ~q\in \Omega. $

在本节假设 $\varepsilon-FE(q)=\varepsilon-FE(F(S(q), q), B))\neq \emptyset.~~\forall q\in \Omega.$

定理4.1  设 $F:X\times \Omega\rightarrow 2^{Y}$是 $C$ -凸的集值映射, $S(q)$是凸的集值映射.如果对任意的 $q\in \Omega, F(S(q), q)\subset \varepsilon-FE(q)+C$.给定 $p\in {\rm int}~C$, 只要 $\varepsilon-FE(q)$满足引理3.1中的一个条件, 则对任意的 $q\in \Omega$, 集值映射 $\varepsilon-FE(q)$关于向量 $p$是 $\varepsilon$ -严有效次可微的.

证  任取 $q_{1}, q_{2}\in \Omega, y_{1}\in F(S(q_{1}), q_{1}), y_{2}\in F(S(q_{2}), q_{2}), 0<\lambda<1$, 则存在

$ x_{1}\in S(q_{1}), x_{2}\in S(q_{2}) $

使 $y_{1}\in F(x_{1}, q_{1}), y_{2}\in F(x_{2}, q_{2})$.因为 $F$是 $C$ -凸的, 于是

$ \lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2}\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}, \lambda q_{1}+(1-\lambda)q_{2})+C. $

又因 $S(q)$是凸的, 所以

$ \lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2}\in F(S(\lambda q_{1}+(1-\lambda)q_{2}), \lambda q_{1}+(1-\lambda)q_{2})+C. $

(4.1)

因此 $F(S(q), q)$在 $\Omega$上是 $C$ -凸的.

下证 $\varepsilon-FE(q)$在 $\Omega$上是 $C$ -凸的.任取

$ q_{1}^{'}, q_{2}^{'}\in \Omega, z_{1}\in\varepsilon-FE(q_{1}^{'})\subset F(S(q_{1}^{'}), q_{1}^{'}), z_{2}\in \varepsilon-FE(q_{2}^{'})\subset F(S(q_{2}^{'}), q_{2}^{'}), 0<\lambda^{'}<1. $

由(4.1) 式知

$ \lambda^{'}z_{1}+(1-\lambda^{'})z_{2}\in F(S(\lambda^{'}q_{1}^{'}+(1-\lambda^{'})q_{2}^{'}), \lambda^{'}q_{1}^{'}+(1-\lambda^{'})q_{2}^{'})+C. $

(4.2)

再注意到 $F(S(q), q)\subset \varepsilon-FE(q)+C$, 所以就有

$ \lambda^{'}z_{1}+(1-\lambda^{'})z_{2}\in \varepsilon-FE(\lambda^{'}q_{1}^{'}+(1-\lambda^{'})q_{2}^{'})+C+C\subset\\ \varepsilon-FE(\lambda^{'}q_{1}^{'}+(1-\lambda^{'})q_{2}^{'})+C. $

(4.3)

因此 $\varepsilon-FE(q)$在 $\Omega$上是 $C$ -凸的.

另一方面, 由引理2.1知

$ \varepsilon-FE(\varepsilon-FE(q), B)= \varepsilon-FE(\varepsilon-FE(q)+C, B). $

再利用 $F(S(q), q)\subset \varepsilon-FE(q)+C$, 并且由假设 $\varepsilon-FE(F(S(q), q), B)\neq \emptyset$可知

$ \varepsilon-FE(\varepsilon-FE(q), B)= \varepsilon-FE(\varepsilon-FE(q)+C, B)\supset \varepsilon-FE(F(S(q), q), B)\neq \emptyset. $

所以集值映射 $\varepsilon-FE(q)$满足定理3.1的条件, 由此知结论成立.