经验Bayes(EB)检验函数问题在文献中已有许多研究, 对于连续型单参数指数族参数的EB检验问题, 如Johns VR^[1], Van Houwelingen^[2], Liang^[3]等对其做了不同程度的工作, 魏莉等^[4]研究了刻度指数族参数的经验Bayes检验的收敛速度, 陈玲等^[5]研究了连续单参数指数参数的经验Bayes检验的收敛速度, 黄金超等^[6]在“线性损失”下利用普通核估计研究了威布尔(Weibull)分布族刻度参数的经验Bayes检验问题, 在适当的条件下获得的收敛速度的阶可任意接近 $O(n^{-\frac{1}{2}})$, 但以上几乎所有研究EB检验问题的文献中, 都是利用密度函数的普通核估计来研究的, 与以上文献主要不同, 本文利用递归核估计构造威布尔(Weibull)分布族刻度参数的经验Bayes检验函数, 并在“加权线性损失”下利用密度函数的递归核估计和Bayes检验函数的单调性, 修改EB检验函数的构造方法, 在较弱的条件下极大改进了文献[6]的收敛速度阶的结果, 在适当的条件下收敛速度的阶可任意接近 $O(n^{-1})$, 且证明方法较简洁.

考虑如下模型见文献[6]; 设随机变量 $X$条件概率密度为

$ \begin{equation} f(x|\theta)=(mx^{m-1}/\theta)\exp(-x^{m}/\theta)I_{(x>0)}, \end{equation} $

(1.1)

其中 $m$和 $\theta$分别为形状参数和刻度参数( $m$＞0), 且本文假定 $m$为已知常数, 样本空间为 $\chi=\{x|x>0\}$, 参数空间为 $\Omega=\{\theta|\theta>0\}$.

本文考虑分布族(1.1) 式中参数 $\theta$的EB检验问题：

$ \begin{equation} H_{0}:\theta \leq \theta_{0} \longleftrightarrow H_{1}: \theta> \theta_{0}, \end{equation} $

(1.2)

其中 $\theta_{0}>0$为已知常数.

对检验函数(1.2) 式损失函数为下列的“加权线性损失”

$ \begin{equation} L_{j}(\theta, d_{j}) = (1-j)a((\theta-\theta_{0})/\theta)I_{[\theta-\theta_{0}>0]}+ ja((\theta_{0}-\theta)/\theta)I_{[\theta-\theta_{0}\leq0]}~~(j=0, 1), \end{equation} $

(1.3)

其中 $a$是正常数, $D=\{d_{0}, ~d_{1}\}$是行动空间, $d_{0}$表示接受 $H_{0}$, $d_{1}$表示否定 $H_{0}$, $I_{[A]} $表示集合 $A$的示性函数, 之所以取“加权线性损失”函数是考虑到它对刻度参数更为合理, 易于构造其EB检验函数.

设

$ \begin{equation} \delta(x)=P(H_{0}|X=x) \end{equation} $

(1.4)

为随机化判别函数, 则在先验分布 $G(\theta)$下 $\delta(x)$的风险函数为

$ \begin{eqnarray} R(\delta, G)&=&\int_{\Omega}\int_{\chi}[L_{0}(\theta, d_{0})f(x|\theta)\delta(x)+ L_{1}(\theta, d_{1})f(x|\theta)(1-\delta(x))]dxdG(\theta)\nonumber\\ &=&\int_{\Omega}\int_{\chi}[L_{0}(\theta, d_{0})-L_{1}(\theta, d_{1})]f(x|\theta)\delta(x)dxdG(\theta)+\\ &&\int_{\Omega}\int_{\chi}L_{1}(\theta, d_{1})f(x|\theta)dxdG(\theta)\nonumber\\ &=&a\int_{\chi}\alpha(x)\delta(x)dx+C_{G}, \end{eqnarray} $

(1.5)

此处

$ \begin{eqnarray}C_{G}&=&\int_{\Omega}\int_{\chi}L_{1}(\theta, d_{1})f(x|\theta)dxdG(\theta)=\int_{\Omega}L_{1}(\theta, d_{1})dG(\theta), \nonumber\\ \alpha(x)&=&\int_{\Omega}[(\theta-\theta_{0})/\theta]f(x|\theta)dG(\theta)= \int_{\Omega}[(1-\theta_{0}/\theta]f(x|\theta)dG(\theta)\nonumber\\ &=&\theta_{0}p^{(1)}(x)+f(x)=\theta_{0}f(x)(\theta^{-1}_{0}-\varphi(x)), \end{eqnarray} $

(1.6)

其中

$ \begin{equation} f(x)=\int_{\Omega}f(x|\theta)dG(\theta)= \int_{\Omega}\theta^{-1}mx^{m-1}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta)=u(x)p(x) \end{equation} $

(1.7)

为r.v.X的边缘分布, 而 $u(x)=mx^{m-1}, ~ p(x)=\int_{\Omega}\theta^{-1}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta), $

$ \begin{eqnarray} && \varphi(x)=-\frac{p^{(1)}(x)}{f(x)} =\frac{\int_{\Omega}\theta^{-2}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta)}{\int_{\Omega}\theta^{-1}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta)} =E(\theta^{-1}|x), \\ && p^{(1)}(x)=-mx^{m-1}\int_{\Omega}\theta^{-2}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta).\nonumber\end{eqnarray} $

(1.8)

由(1.6) 式和(1.7) 式 $\alpha(x)$的另一表达式

$ \begin{eqnarray} \alpha(x)&=&\theta_{0}f(x)(\theta_{0}^{-1}-\varphi(x))= (1-\theta_{0}\frac{u^{(1)}(x)}{u^{(2)}(x)})f(x)+\frac{\theta_{0}}{u(x)}f^{(1)}(x)\nonumber\\ &=&g(x)f(x)+\frac{\theta_{0}}{u(x)}f^{(1)}(x), \end{eqnarray} $

(1.9)

其中 $g(x)=1-\theta_{0}\frac{u^{(1)}(x)}{u^{(2)}(x)}$, $u(x)$由(1.7) 式给出

$ u^{(1)}(x)=m(m-1)x^{m-2}, u^{(2)}(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3}. $

由柯西—施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式和(1.8) 式可得

$ \begin{eqnarray} && \varphi^{(1)}(x)\nonumber\\&=& \frac{mx^{m-1}[-\int_{\Omega}\theta^{-3}\exp(-\frac{x^{m}}{\theta})dG(\theta) \int_{\Omega}\theta^{-1}\exp(-\frac{x^{m}}{\theta})dG(\theta)+ (\int_{\Omega}\theta^{-2}\exp(-\frac{x^{m}}{\theta})dG(\theta))^{2}]} {[\int_{\Omega}\theta^{-1}\exp(-\frac{x^{m}}{\theta})dG(\theta)]^{2}}\nonumber\\ &\leq& 0, \end{eqnarray} $

(1.10)

所以对 $0<x<+\infty$, $\varphi(x)$是单调连续减函数.

本文假设先验 $G(\theta)$是非退化的且满足

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)<\theta^{-1}_{0}<\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\varphi(x). \end{eqnarray*} $

(1.11)

在假定(1.11) 式成立下, 故 $\varphi(x)$是严格单调降的, 再由 $\varphi(x)$的连续性和连续函数的介值定理可知必存在点 $a_{G}\in(0, +\infty)$, 使得 $\varphi(a_{G})=\theta^{-1}_{0}$.又由(1.9) 式可知

$ \alpha(x)\leq 0 \Longleftrightarrow \varphi(x)\geq \theta^{-1}_{0} \Longleftrightarrow x\leq a_{G}, \alpha(x)>0 \Longleftrightarrow \varphi(x)< \theta^{-1}_{0} \Longleftrightarrow x>a_{G}. $

因此由(1.5) 式可知Bayes判决函数为

$ \begin{equation} \delta_{G}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1, &\alpha(x)\leq 0, \\ 0, &\alpha(x)> 0 \end{array} = \right. \left\{ \begin{array}{ll} 1, &\varphi(x)\geq \theta^{-1}_{0}, \\ 0, &\varphi(x)< \theta^{-1}_{0} \end{array} = \right. \left\{ \begin{array}{ll} 1, &x \leq a_{G}, \\ 0, &x > a_{G}, \end{array} \right. \end{equation} $

(1.12)

其Bayes风险为

$ \begin{eqnarray*} R(G)=\inf\limits_{\delta}R(\delta, G)= R(\delta_{G}, G)=a\int_{\chi}\alpha(x)\delta_{G}(x)dx+C_{G}. \end{eqnarray*} $

(1.13)

在(1.13) 式中, 当先验分布 $G(\theta)$已知, 且 $\delta(x)=\delta_{G}(x)$是可以达到的, 但此处 $G(\theta)$未知, 因而 $\delta_{G}(x)$无使用价值, 于是考虑引入EB方法.

本文第二节利用概率密度函数递归核估计和Bayes检验函数的单调性, 给出EB检验函数的构造法, 对文献[6]中的检验函数做了本质的修改.第三节在独立同分布条件下, 证明Bayes检验函数的收敛速度, 这一收敛速度改进文献[6]的结果.最后给出满足定理条件的先验分布是存在的.

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$和 $X$是独立同分布样本(iid), 它们具有共同的边缘密度函数如(1.7) 式所示, 通常称 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为历史样本, 称 $X$为当前样本, 令 $f(x)$为 $X_{1}$的概率密度函数, 同分布样本(iid)作如下假定:

(A) $f(x)\in C_{s, a}$.

假定 $C_{s, a}$表示 $R^{1}$中一族概率密度函数, 其 $s$阶导数存在, 连续且绝对值不超过 $\alpha$, $s>2$为正整数.

令 $K_{r}(x)(r=0, 1, 2, \cdots, s-1)$是Borel可测的有界函数, 在区间(0, 1) 之外为零, 且满足下列的条件(B):

(B $_{1})~~~ \frac{1}{t!}\int^{1}_{0}y^{t}K_{r}(y)dy= \left\{ \begin{array}{ll} 1, &t=r, \\ 0, &t\neq r, t=1, 2, \cdots, s-1. \end{array} \right.$

(B $_{2})~~~ K_{r}(x)$在 $R^{1}$上除有限点集 $E_{0}$外是可微的, 且

$ \sup\limits_{x \in {R^1} - {E_0}}|K'_{r}(x)|\mid\leq C <\infty. $

本文假定先验分布 $G(\theta)$非退化, 且属于下列先验分布类:

(C) $ \Gamma{(A_{1}, A_{2})}=\{G(\theta)|A_{1}<a_{G}<A_{2}, ~ A_{1}, A_{2}$为给定的正常数},

通常取 $A_{1}$为充分小正数, $A_{2}$为充分大正数.

记 $f^{(0)}(x)=f(x)$, $f^{(r)}(x)$表示 $f(x)$的第 $r$阶导数, $r=0, 1, \cdots, s.$类似文献[7]定义密度函数 $f^{(r)}(x)$的递归核估计为

$ \begin{eqnarray*} f^{(r)}_{n}(x)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{nh^{1+r}_{i}}K_{r}(\frac{X_{i}-x}{h_{i}}), \end{eqnarray*} $

(2.1)

其中为 $\{h_{n}\}$正数递减序列, 且 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {h_n} = 0$是满足条件(B)的核函数, 这种估计具有一种递归性质, 即

$ f^{(r)}_{n}(x)=\frac{n-1}{n}f^{(r)}_{n-1}(x)+\frac{1}{nh_{n}^{1+r}}K_{r}(\frac{X_{n}-x}{h_{n}}). $

由上式递推关系可知, 用递归核估计去估计 $f^{(r)}(x)$时, 只需通过上式进行递归计算, 即在样本点増加地情形下，不需要重新计算每一项, 仅计算新的添加项, 而用普通的核估计的话需要重新计算每一项, 所以可以大大减少计算量.另外, 递归核估计在不同区间能取不同的适当窗宽, 从而克服了核估计的过分平滑和过分锐化, 能够较全面地描述密度函数, 因此大大地提高了估计的效率.

定义 $\alpha(x)$的估计量由下式给出

$ \begin{equation} \alpha_{n}(x)=g(x)f_{n}(x)+\frac{\theta_{0}}{u(x)}f_{n}^{(1)}(x), \end{equation} $

(2.2)

由先验假设(C)给出的 $A_{1}, A_{2}$, 结合(1.12) 式, EB检验函数定义为

$ \begin{equation} \delta_{n}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1, ~&x\leq A_{1}或~(A_{1}< x<A_{2}且~\alpha_{n}(x)\leq0), \\ 0, ~&x\geq A_{2} 或~(A_{1}< x<A_{2} 且~\alpha_{n}(x)>0). \end{array} \right. \end{equation} $

(2.3)

EB检验这样的构造方法最先由文献[8]对正指数分布族提出来的.

本文中令 $E_{n}$表示对r.v. $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$的联合分布求均值, 则的全面Bayes风险为

$ \begin{equation} R_{n}=R_{n}(\delta_{n}, G)=a\int_{x}\alpha(x)E_{n}[\delta_{n}(x)]dx+C_{G}. \end{equation} $

(2.4)

若 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {R_n} = R(G), $则称 $\{\delta_{n}(x)\}$为a.o.的EB检验函数, $R_{n}-R(G)=O(n^{-q}), q>0, $则称EB检验函数 $\{\delta_{n}(x)\}$的收敛速度阶为 $O(n^{-q})$, 为导出 $\delta_{n}$的收敛速度, 我们给出下述引理.

令 $c, c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots$表示常数, 即使在同一式子中它们也可能不同的数值.

引理2.1  设 $f^{(r)}_{n}(x)$由(2.1) 式定义, $s\geq3$的正整数, 其中 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为独立同分布(iid)样本序列, 若条件(A)和(B)成立且 $f^{(r)}_{n}(x)$连续, $h_{n}\downarrow0$当取 $h_{n}=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 对 $0<\lambda\leq1$, 则有

$ E_{n}|f^{(r)}_{n}(x)-f^{(r)}(x)|^{2\lambda}\leq cn^{-\frac{\lambda(s-r-1.5)}{s-1}}, r=0, 1. $

证  由 $C_{r}$不等式可知, 对 $r=0, 1$有

$ \begin{eqnarray} E_{n}|f^{(r)}_{n}(x)-f^{(r)}(x)|^{2\lambda}&\leq& c_{1}|E_{n}f^{(r)}_{n}(x)-f^{(r)}(x)|^{2\lambda}+c_{2}[{\hbox{Var}}(f^{(r)}_{n}(x))]^{\lambda}\nonumber\\ &= &c_{1}I^{2\lambda}_{1}+c_{2}I^{\lambda}_{2}. \end{eqnarray} $

(2.5)

由递归函数的核估计和核函数的性质, 可知

$ \begin{eqnarray}{E_n}{f_n}^{(r)}(x) &=& \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{h_i}^{1 + r}}}{E_n}({K_r}(\frac{{{X_i} - x}}{{{h_i}}}} )) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{h_i}^{1 + r}}}\int_x^{x + {h_i}} {{K_r}(\frac{{y - x}}{{{h_i}}})} } f(y){\rm{d}}y\nonumber\\ &=& \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{h_i}^r}}\int_0^1 {{K_r}(t)} } f(x + t{h_i}){\rm{dt}}. \end{eqnarray} $

(2.6)

由Taylor展开得

$ \begin{eqnarray*} f(x+th_{n})=f(x)+\sum^{s-1}_{l=1}f^{(l)}(x)\frac{(th_{n})^{l}}{l!} +f^{(s)}(x^{*})\frac{(th_{n})^{s}}{s!}~~(x\leq x^{*}\leq x+th_{n}), \end{eqnarray*} $

(2.7)

将(2.7) 式代入(2.6) 式, 可得

$ \begin{eqnarray} E_{n}f^{(r)}_{n}(x)&=&\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n\frac{1}{h^{r}_{i}}[f^{(r)}(x)h^{(r)}_{i} +\int^{1}_{0}K_{r}(t)f^{(s)}(x^{*})\frac{(th_{i})^{s}}{s!}dt]\nonumber\\ &=&f^{(r)}(x)+\frac{1}{n}[\sum\limits_{i = 1}^nh^{s-r}_{i}\int^{1}_{0}K_{r}(t)f^{(s)}(x^{*})\frac{t^{s}}{s!}dt], \end{eqnarray} $

(2.8)

由 $f(x)\in C_{s, a}$, 及 $|K_{r}(t)|\leq C, $可知

$ \begin{eqnarray} I_{1}&=&|E_{n}f^{(r)}_{n}(x)-f^{(r)}(x)|\leq c \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}h^{s-r}_{i}, \\ I_{2}&=&{\hbox{Var}}[\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{h^{1+r}_{i}}K_{r}(\frac{X_{i}-x}{h_{i}})] \leq \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{n^{2}h^{2+2r}_{i}}E_{n}[K_{r}(\frac{X_{i}-x}{h_{i}})]^{2}\nonumber\\ &=&\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{n^{2}h^{2+2r}_{i}}\int^{x+h_{i}}_{x}K^{2}_{r}(\frac{y-x}{h_{i}})f(y)dy =\frac{1}{n^{2}}\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{h^{1+2r}_{i}}\int^{1}_{0}K^{2}_{r}(t)f(x+th_{i})dt, \nonumber\end{eqnarray} $

(2.9)

再由 $f(x)\in C_{s, a}$, 及 $|K_{r}(t)|\leq C$, $h_{n}$单调递减 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {h_n} = 0$可知

$ \begin{equation} I_{2}\leq c(nh^{1+2r}_{n})^{-1}. \end{equation} $

(2.10)

取 $h_{i}=i^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 可知

$ h_{i}=i^{-\frac{1}{2(s-1)}}\leq i^{-\frac{1}{2(s-r)}}~~(r=0, 1), $

由(2.9) 式, 可得

$\begin{eqnarray*} I_{1}\leq c \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}h^{s-r}_{i}\leq c \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}i^{-\frac{1}{2}}\leq c \frac{1}{n}\int^{\infty}_{0}x^{-\frac{1}{2}}dx\leq cn^{-\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*} $

故有

$ \begin{equation} I^{2\lambda}_{1}\leq cn^{-\lambda}. \end{equation} $

(2.11)

由(2.10) 式, 取 $h_{n}=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 有

$ \begin{equation} I^{\lambda}_{2}\leq c(nh^{1+2r}_{n})^{-\lambda}\leq cn^{-\frac{\lambda(s-r-1.5)}{s-1}}. \end{equation} $

(2.12)

将(2.11) 式和(2.12) 式代入(2.5) 式, 结论成立.

注2.1  当 $\lambda\longrightarrow1, s\longrightarrow\infty$时, $O(n^{-\frac{\lambda(s-r-1.5)}{s-1}})$可任意接近 $O(n^{-1})$.

定理3.1  设 $\delta_{n}(x)$由(2.3) 式定义, 其中 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为独立同分布的样本序列.且假定 $(A)-(C)$成立, 且 $f^{(r)}_{n}(x)$连续, $h_{n}\downarrow 0$, 若 $0<\lambda\leq 1, ~$取 $h_{n}=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 则有

$ R_{n}-R(G)=O(n^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}). $

此处 $s>2$为给定的一个正整数.

证  由(1.13) 式和(2.4) 式, 可知

$ \begin{eqnarray} &0&\leq(R_{n}-R(G)) =a\int^{\infty}_{0}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx\nonumber\\ &=&a\int^{A_{1}}_{0}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx +a\int^{a_{G}}_{A_{1}}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx\nonumber\\ &&+a\int^{A_{2}}_{a_{G}}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx +a\int^{\infty}_{A_{2}}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx\nonumber\\ &=&a\sum^{4}_{i=1}J_{i}, \end{eqnarray} $

(3.1)

由(1.9) 式和(2.2) 式, $C_{r}$不等式与引理2.1可知

$ \begin{eqnarray} E|\alpha_{n}(x)-\alpha(x)|^{2\lambda} &=&E|[f_{n}(x)-f(x)]g(x)+\frac{\theta_{0}}{u(x)}[f_{n}^{(1)}(x)-f^{(1)}(x)]|^{2\lambda}\nonumber\\ &\leq& c_{1}|g(x)|^{2\lambda}E|f_{n}(x)-f(x)|^{2\lambda}+ c_{2}[\frac{\theta_{0}}{u(x)}]^{2\lambda}E|f_{n}^{(1)}(x)-\\ &&f^{(1)}(x)|^{2\lambda}\nonumber\\ &\leq&[c_{1}|g(x)|^{2\lambda}+c_{2}[u(x)]^{-2\lambda}]n^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}, \end{eqnarray} $

(3.2)

其中 $g(x)$和 $u(x)$分别(1.7) 式和(1.9) 式给出.

当 $x\in(0, A_{1})$时, 由(1.12) 式和(2.3) 式可知 $\delta_{n}(x)=1, ~\delta_{G}(x)=1, ~x\in(A_{2}, \infty)$时, $\delta_{n}(x)=0, ~\delta_{G}(x)=0$.故

$ E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)=0, $

因此

$ \begin{eqnarray} J_{1}=\int^{A_{1}}_{0}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx=0, \end{eqnarray} $

(3.3)

$ \begin{eqnarray} J_{4}=\int^{\infty}_{A_{4}}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx=0. \end{eqnarray} $

(3.4)

当 $x\in(A_{1}, a_{G})$时, 由(1.12) 式和(2.3) 式可知, $\delta_{G}(x)=1, ~E_{n}\delta_{n}(x)=p(\alpha_{n}(x)<0)$, 利用Markov不等式和(3.2) 式有

$ \begin{eqnarray*}J_{2}&=&\int^{a_{G}}_{A_{1}}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx\\ &\leq&\int^{a_{G}}_{A_{1}}\alpha(x)[p(\alpha_{n}(x)<0)-1]dx\\ &\leq& \int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|p(|\alpha_{n}(x)-\alpha(x)|)\geq |\alpha(x)|dx\\ &\leq& \int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}E|\alpha_{n}(x)-\alpha(x)|^{2\lambda}dx\\ &\leq& cn^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}[c_{1}\int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}|u(x)|^{-2\lambda}dx\\ &&+c_{2}\int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}|g(x)|^{2\lambda}dx]. \end{eqnarray*} $

当 $0<\lambda\leq -\frac{1}{2}$时, $0\leq1-2\lambda <1$, 且 $|\alpha(x)|^{1-2\lambda}$, $|u(x)|^{-2\lambda}$和 $|g(x)|^{2\lambda}$关于 $x$在闭区间 $[A_{1}, a_{G}]$上连续函数, 由闭区间上连续函数的有界性知,

$ \int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}|u(x)|^{-2\lambda}dx<\infty, \int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}|g(x)|^{2\lambda}dx<\infty, $

因此

$ J_{2}\leq cn^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}. $

当 $\frac{1}{2} < \lambda\leq1$时,

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-_G}} \left| {\alpha (x)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-_G}} {\theta _0}f(x)\left| {({\theta _0}^{ - 1} - \varphi (x))} \right| = 0 $

且

$ \int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}dx=\int^{a_{G}}_{A_{1}}\frac{1}{|\alpha(x)|^{2\lambda-1}}dx $

是第2类瑕积分, 瑕点为 $x=a_{G}$, 由(1.8) 式, (1.10) 式和第2类瑕积分的比较判别法则, 可知

$ \begin{eqnarray*} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-_G}} {\textstyle{{{{( {a_G}-x)}^{2\lambda - 1}}} \over {{{\left| {\alpha (x)} \right|}^{2\lambda - 1}}}}} &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-_G}} {({\textstyle{1 \over {f(x)}}}{\textstyle{{ {a_G}-x} \over {{\theta _0}\varphi (x) - 1}}})^{2\lambda - 1}}\\ & =& {({\textstyle{1 \over {{\theta _0}f({a_G})}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a_G}} ({\textstyle{{ - 1} \over {{\varphi ^{(1)}}(x)}}}))^{2\lambda - 1}}\\ & =& {({\textstyle{1 \over {{\theta _0}f({a_G})}}}{\textstyle{1 \over {\left| {{\varphi ^{(1)}}({a_G})} \right|}}})^{2\lambda - 1}} > 0, \end{eqnarray*} $

$\displaystyle\int^{a_{G}}_{A_{1}}\frac{1}{|\alpha(x)|^{2\lambda-1}}dx$与 $\displaystyle\int^{a_{G}}_{A_{1}}\frac{1}{(a_{G}-x)^{2\lambda-1}}dx$同敛散, 因为 $\frac{1}{2} < \lambda\leq1$时, $\displaystyle\int^{a_{G}}_{A_{1}}\frac{1}{(a_{G}-x)^{2\lambda-1}}dx$是收敛的, 因此 $\displaystyle\int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}dx$收敛, $\frac{1}{u(x)}$, $\frac{u^{(1)}(x)}{u^{(2)}(x)}$均为闭区间 $[A_{1}, a_{G}]$连续函数, 故连续函数有界性知 $|u(x)|^{-2\lambda}\leq M_{1}$, $|g(x)|^{2\lambda}\leq M_{2}$, 故

$ \begin{equation} J_{2}=cn^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}[c_{1}M_{1}\int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}dx +c_{2}M_{2}\int^{a_{G}}_{A_{1}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}dx]\leq cn^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}. \end{equation} $

(3.5)

同理可证

$ \begin{eqnarray} J_{3}&=&\int^{A_{2}}_{a_{G}}\alpha(x)[E_{n}(\delta_{n}(x))-\delta_{G}(x)]dx\nonumber\\ &\leq& \int^{A_{2}}_{a_{G}}|\alpha(x)|p(|\alpha_{n}(x)-\alpha(x)|\geq |\alpha(x)|)dx\nonumber\\ &\leq&\int^{A_{2}}_{a_{G}}|\alpha(x)|^{1-2\lambda}E|\alpha_{n}(x)-\alpha(x)|^{2\lambda}dx\nonumber\\ &\leq& cn^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}. \end{eqnarray} $

(3.6)

所以将(3.3)-(3.6) 式代入(3.1) 式可得

$\begin{eqnarray*} R_{n}-R(G)=a\sum^{4}_{i=1}J_{i}=O(n^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}}).\end{eqnarray*} $

注3.1  文献[6]在iid样本下给出的经验Bayes(EB)检验函数, 收敛速度阶为 $O(n^{-\frac{\lambda s}{2s+1}})$, 其中 $0<\lambda \leq1, ~ s\geq2, ~\lambda \longrightarrow 1, s\longrightarrow \infty$, 收敛速度的阶可任意接近 $O(n^{-\frac{1}{2}})$.本文在iid样本下利用递归核估计和EB检验函数的单调性, 构造EB检验函数, 得到收敛速度的阶为 $O(n^{-\frac{\lambda(s-2.5)}{s-1}})$, 其中 $0<\lambda \leq1, ~s\geq3, ~\lambda \longrightarrow 1, ~s\longrightarrow \infty$, 收敛速度的阶可任意接近 $O(n^{-1})$.比文献[6]中的收敛速度的阶快了约1倍, 极大改进文献[6]中的结果, 但是采用核估计和构造方法不一样, 本文方法较简洁些.

下面举例说明适合文中定理条件的Weibull族和先验分布是存在的, 在模型(1.1) 式中, 令 $m$为给定已知正整数, 其中取 $\theta$的先验分布为

$ \begin{equation} g(\theta)=\frac{a^{b}}{\Gamma(b)}\theta^{-(b+1)}e^{-\frac{a}{\theta}}I_{[\theta>0]}, \end{equation} $

(4.1)

$a$和 $b$为已知常数 $a>0, b>0$, 所以有

$ \begin{eqnarray} f(x)&=&\int_{\Omega}f(x|\theta)dG(\theta)\nonumber\\ &=&-\frac{a^{b}\Gamma(b+1)mx^{m-1}}{\Gamma(b)(x^{m}+a)^{b+1}} \int^{\infty}_{0}\frac{(x^{m}+a)^{b+1}}{\Gamma(b+1)}(\frac{1}{\theta})^{b} \exp((-x^{m}+a)/\theta)d(\frac{1}{\theta})\nonumber\\ &=&\frac{mx^{m-1}ba^{b}}{(x^{m}+a)^{b+1}}. \end{eqnarray} $

(4.2)

由(4.2) 式易见 $f(x)$为 $x$任意阶可导函数, 导函数连续, 一致有界, 即 $f(x)\in C_{s, a}$, 条件(A)成立, 在假定iid样本下所加条件(B)成立, 因此只需验证条件(C)成立即可,

$ \varphi(x)=\frac{\displaystyle\int_{\Omega}\theta^{-2}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta)}{\displaystyle\int_{\Omega}\theta^{-1}\exp(-x^{m}/\theta)dG(\theta)} =\frac{\Gamma(b+2)/(x^{m}+a)^{b+2}}{\Gamma(b+1)/(x^{m}+a)^{b+1}} =\frac{b+1}{x^{m}+a}, $

$\varphi^{\prime}(x)=-\frac{b+1}{(x^{m}+a)^{2}}mx^{m-1}\leq 0$, 故 $\varphi(x)$在 $x>0$时单调递减,

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {o^ + }} \varphi (x) = {\textstyle{{b + 1} \over a}}, \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \varphi (x) = 0. $

不妨假设 $A_{1}=10^{-8}, ~A _{2}=10^{8}, ~\theta_{0}(b+1)\geq a, ~$因为

$ a_{G}=(\theta_{0}(b+1)-a)^{\frac{1}{m}}, $

所以

$ \max\{\theta_{0}(b+1)-10^{8m}, ~0\}<a\leq \theta_{0}(b+1)-10^{-8m}, $

有

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\longrightarrow 0^{+}}\varphi(x)>\theta^{-1}_{0}=\varphi(a_{G}) >\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\varphi(x).\end{eqnarray*} $

即假设条件(C)也成立, 故定理3.1结论成立.