在许多物理问题中, 因变量的急剧变化往往发生在区域的内部.这些狭窄区域在流体和固体力学中通常称为激波层, 相应问题的解也称为激波解. 1968年, Cole^[1]研究如下拟线性边值问题

$ \varepsilon {}x''+xx'-x=0, 0<t<1, x(0, \varepsilon)=A, x(1, \varepsilon)=B, $

其中 $0<\varepsilon\ll 1, A, B$为给定常数.随着边界值A和B的变化, 该问题除了在端点 $t=0$或 $t=1$处出现边界层之外, 当A和B满足 $-1<A+B<1, ~B>1+A.$时, 在内点 $t_{0}=\frac{1}{2}(1-A-B)\in (0, 1)$处会出现激波层性态.这个有趣的问题引起人们广泛关注^[2-4], 莫嘉琪等^[5]考虑如下Robin问题

$ \varepsilon{} x''+xx'=g(t)f(x), 0<t<1, x(0)-\varepsilon ax'(0)=A, x(1)+\varepsilon bx'(1)=B. $

详细讨论了该问题可能产生的激波所处的位置并给出激波解的渐近表达式.刘树德等^[6]考虑如下一般拟线性边值问题

$ \varepsilon{} x''+f(t, x)x'+g(t, x)=0, a<t<b, x(a, \varepsilon)=A, x(b, \varepsilon)=B. $

构造出该问题在 $t=0$处呈现激波层性态的解的形式近似式, 且应用不动点定理证明了激波解的存在性及其渐近性质.

本文考虑如下形式的二次问题

$ \varepsilon^{2}x''=f(t)x'^{2}+g(t, x);a<t<b, $

(1)

$ x(a, \varepsilon)=A(\varepsilon), ~~~x(b, \varepsilon)=B(\varepsilon), $

(2)

其中 $0<\varepsilon\ll 1, a, b (a<0<b)$和 $A, B$皆为常数.我们在 $t=0$是 $f(t)$的高阶转向点的情形下讨论问题(1), (2), 分析在 $t=0$处存在激波解的条件, 用合成展开法构造该问题的形式渐近解, 并应用微分不等式理论证明激波解的存在性以及当 $\varepsilon\rightarrow0$时解的渐近性质.

与问题(1), (2) 相应的退化问题分别是

$ f(t)u'^{2}+g(t, u)=0, u(a)=A $

(3)

和

$ f(t)u'^{2}+g(t, u)=0, u(b)=B . $

(4)

假设

[ ${\bf{H}}_{1}$]存在函数 $u_{L}(t), u_{R}(t)\in C^{2}[a, b]$分别满足退化问题(3) 和(4), 使得 $u_{L}(0)\neq u_{R}(0)$;

[ ${\bf{H}}_{2}$] $f(t)\in C^{n}[a, b](n\geq3)$, 使 $f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$, 且 $f^{(n)}(0)\neq 0$, 即 $t=0$为 $f(t)$的 $n$阶转向点;

[ ${\bf{H}}_{3}$] $g(t, x)\in C^{1}([a, b]\times \mathbf{R})$, 且存在常数 $l>0$, 使 $g_{x}(0, x)\geq l$.

我们用合成展开法^[7]来构造问题(1), (2) 的零次形式近似.先将外部解 $U(t, \varepsilon)=\sum^{\infty}\limits_{j=0}u_{j}(t)\varepsilon^{j}$代入(1) 式和 $u(a, \varepsilon)=A$或( $u(b, \varepsilon)=B$), 可确定外部解的零次近似 $u_{0}=u_{L}(t)$和 $u_{0}=u_{R}(t)$, 它们分别是退化问题(3) 和(4) 在 $[a, b]$上的解.

因为 $u_{L}(0)\neq u_{R}(0)$, 我们需要在 $t=0$附近构造激波层校正项

$\begin{eqnarray*} V(\xi, \varepsilon)=\sum^{\infty}_{j=0}v_{j}(\xi)\varepsilon^{j}, \end{eqnarray*} $

其中 $\xi=\frac{t}{\varepsilon}$为伸展变量.将 $U(t, \varepsilon)+V(\xi, \varepsilon)$代入(1) 式得到

$ \ddot{V}=\frac{2}{\varepsilon}f(\xi \varepsilon)U'\dot{V}+\frac{1}{\varepsilon^{2}}f(\xi \varepsilon) \dot{V}^{2}+[g(\xi\varepsilon, U+V)-g(\xi\varepsilon, U)], $

(5)

上式中 $\dot{V}=\frac{dV}{d\xi}, \ddot{V}=\frac{d^{2}V}{d\xi^{2}}.$ $f(\xi\varepsilon)$可写为 $f(\xi\varepsilon)=\frac{f^{(n)}(\theta\xi\varepsilon)}{n!}(\xi\varepsilon)^{n}(n\geq3, 0<\theta<1), $ $g(\xi\varepsilon, U)$和 $g(\xi\varepsilon, U+V)$分别写为

$ \begin{eqnarray*} g(\xi\varepsilon, U)&=&g(0, u_{0}(0))+g_{t}(\theta_{1}\xi\varepsilon, u_{0}(0))\xi\varepsilon+g_{x}(0, \eta)(\sum^{\infty}_{j=0}u_{j}\varepsilon^{j}-u_{0}(0)), \\ g(\xi\varepsilon, U+V)&=&g(0, u_{0}(0)+v_{0})+g_{t}(\theta_{2}\xi\varepsilon, u_{0}(0)+v_{0})\xi\varepsilon\\ && +g_{x}(0, \zeta)(\sum^{\infty}_{j=0}u_{j}\varepsilon^{j}-u_{0}(0)+\sum^{\infty}_{j=1}v_{j}\varepsilon^{j}), \end{eqnarray*} $

其中 $0<\theta_{i}<1(i=1, 2)$, $\eta$介于 $u_{0}(0)$与 $U$之间, $\zeta$介于 $u_{0}(0)+v_{0}$与 $U+V$之间, $u_{0}(0)=u_{L}(0)$或 $u_{R}(0)$.在(5) 式中令 $\varepsilon^{0}$的系数相等可得

$ \ddot{V_{0}}=g(0, u_{0}(0)+v_{0})-g(0, u_{0}(0)). $

(6)

当取 $u_{0}(0)=u_{L}(0)$时, 相应的 $v_{0}(\xi)$记作 $v_{L}(\xi)$.考虑到 $v_{L}(\xi)$作为激波层在 $(-\infty, 0]$上的主要校正项, 应满足

$ v_{L}(-\infty)=0, ~~~\dot{v}_{L}(-\infty)=0, $

故从(6) 式推出

$ \dot{v}_{L}^{2}=2F(v_{L}). $

(7)

类似地, 当取 $u_{0}(0)=u_{R}(0)$时, $v_{R}(\xi)(\xi\in[0, +\infty))$应满足 $v_{R}(+\infty)=0, \dot{v}_{R}(+\infty)=0, $从而有

$ \dot{v}_{R}^{2}=2G(v_{R}), $

(8)

其中

$ \begin{eqnarray*}&& F(v_{L})=\int^{v_{L}}_{0}[g(0, u_{L}(0)+z)-g(0, u_{L}(0))]dz, \\ && G(v_{R})=\int^{v_{R}}_{0}[g(0, u_{R}(0)+z)-g(0, u_{R}(0))]dz.\end{eqnarray*} $

下面我们讨论 $u_{R}(0)>u_{L}(0)$的情形(类似地讨论的 $u_{R}(0)<u_{L}(0)$情形).仍由激波层校正项的性质可知此时 $ \dot{v}_{0}(\xi)>0$( $v_{0}=v_{L}$或 $v_{R}$), 故从(7) 和(8) 式推出

$ F(v_{L})>0~~~G(v_{R})>0, $

(9)

且 $v_{L}(\xi)$和 $v_{R}(\xi)$可分别隐式地表示为

$ \xi=\int^{v_{L}}_{v_{L}(0)}\frac{dw}{\sqrt{2F(w)}} $

(10)

和

$ \xi=\int^{v_{R}}_{v_{R}(0)}\frac{dw}{\sqrt{2G(w)}}. $

(11)

用衔接法, 若令

$ \begin{eqnarray*}&& v_{L}(0)=\frac{1}{2}[u_{R}(0)-u_{L}(0)]=-v_{R}(0), \\ && \dot{v}_{L}(0^{-})=\dot{v}_{R}(0^{+})+\varepsilon[u'_{R}(0)-u'_{L}(0)], \end{eqnarray*} $

就有

$ \begin{aligned}\int^{u_{R}(0)}_{u_{L}(0)}g(0, z)dz=&\frac{1}{2}[u_{R}(0)-u_{L}(0)][g(0, u_{R}(0))+g(0, u_{L}(0))]\\ & +\frac{\varepsilon}{2}[u'_{R}(0)-u'_{L}(0)][\dot{v}_{R}(0)]+\dot{v}_{L}(0)], \end{aligned} $

(12)

而(9) 式可改写为

$ \int^{w_{L}}_{u_{L}(0)}[g(0, z)-g(0, u_{L}(0))]dz>0 $

(13)

及

$ \int^{w_{R}}_{u_{R}(0)}[g(0, z)-g(0, u_{R}(0))]dz>0, $

(14)

其中 $u_{L}(0)<w_{L}<s$, $s<w_{R}<u_{R}(0)$, $s=\frac{1}{2}[u_{R}(0)+u_{L}(0)].$

于是我们得到问题(1), (2) 的零次形式近似

$ x_{0}(t, \varepsilon)=\left\{\begin{array}{cc} u_{L}(t)+v_{L}(\frac{t}{\varepsilon}), \quad a\leq t\leq 0, \\ u_{R}(t)+v_{R}(\frac{t}{\varepsilon}), \quad 0< t\leq b. \end{array}\right. $

应用微分不等式理论, 我们来证明激波解的存在性以及当 $\varepsilon\rightarrow0$时解的渐近性质.

定理  在[H $_{1}]$-[H $_{3}]$的假设下, 并假设

[ ${\bf{H}}_{3}$] $u_{R}(0)>u_{L}(0)$, 且条件(12) 和不等式(13), (14) 成立, 则存在充分小的正数 $\varepsilon_{0}$, 使对每个 $0<\varepsilon\leq\varepsilon_{0}$, 问题(1), (2) 在区间 $[a, b]$上有一个解 $x(t, \varepsilon)$于 $t=0$处呈激波层性态, 且在 $[a, b]$上一致地有 $x(t, \varepsilon)=x_{0}(t, \varepsilon)+O(\varepsilon).$

证  先说明由(10) 式所确定的 $v_{L}(\xi)$当 $\xi\rightarrow-\infty$时为指数型小项(记为EST), 事实上, 由假设[H $_{3}]$知对任意 $z\in(0, v_{L}(0))$, $g(0, u_{L}(0)+z)-g(0, u_{L}(0))\geq lz, $随之有 $\sqrt{2F(z)}\geq kz, $这里 $k=\sqrt{l}$.于是对任意 $v_{L}\in(0, v_{L}(0))$, 有

$ \xi=-\int^{v_{L}(0)}_{v_{L})}\frac{dz}{\sqrt{2F(z)}}\geq -\frac{1}{k}\ln\frac{v_{L}(0)}{v_{L}}=\frac{1}{k}\ln\frac{v_{L}}{v_{L}(0)}. $

因此 $v_{L}\leq v_{L}(0)\exp(k\xi).$所以

$ v_{L}=O(\exp(k\xi))(\xi\rightarrow-\infty). $

(15)

当 $\xi>0$时, $v_{R}(\xi)\in(v_{R}(0), 0)$, 类似讨论得到

$ v_{R}=O(\exp(-k\xi))(\xi\rightarrow+\infty). $

(16)

在区间 $[a, b]$上定义

$ \begin{eqnarray*}&& \alpha(t, \varepsilon)=u_{0}(t)+v_{0}(\frac{t}{\varepsilon})-r\varepsilon, \\ && \beta(t, \varepsilon)=u_{0}(t)+v_{0}(\frac{t}{\varepsilon})+r\varepsilon, \end{eqnarray*} $

其中在 $[a, 0]$上 $u_{0}(t)=u_{L}(t), v_{0}(\frac{t}{\varepsilon})=v_{L}(\frac{t}{\varepsilon});$在 $[0, b]$上 $u_{0}(t)=u_{R}(t), v_{0}(\frac{t}{\varepsilon})=v_{R}(\frac{t}{\varepsilon}), r>0$为待定常数, 从上面的构造可知 $\alpha, \beta\in C^{2}([a, 0)\cup(0, b]), \alpha'(0^{-}, \varepsilon)=\alpha'(0^{+}, \varepsilon), \beta'(0^{-}, \varepsilon)=\beta'(0^{+}, \varepsilon), $并且

$ \begin{eqnarray*}&& \varepsilon^{2}\alpha''-f(t)\alpha'^{2}-g(t, \alpha)\\ &=&\varepsilon^{2}u''_{0}+\ddot{v_{0}}-f(t)(u'_{0}+\frac{1}{\varepsilon}\dot{v_{0}})^{2}-g(t, u_{0}+v_{0}-r\varepsilon)\\ &=& \varepsilon^{2}u''_{0}+\ddot{v_{0}}-\frac{2}{\varepsilon}f(t)u'_{0}\dot{v_{0}}-\frac{1}{\varepsilon^{2}}f(t)\dot{v_{0}}^{2} -[g(t, u_{0}+v_{0}-r\varepsilon)-g(t, u_{0})]\\ &=& g_{x}(0, \tau)r\varepsilon+O(\varepsilon), \end{eqnarray*} $

其中 $\tau$介于 $u_{0}(0)+v_{0}$与 $u_{0}+v_{0}-r\varepsilon$之间, 于是可取 $r\geq\frac{K}{l}$, 这里 $K>0$使 $|O(\varepsilon)|\leq K\varepsilon$.由假设[H $_{3}]$推出

$ \varepsilon^{2}\alpha''-f(t)\alpha'^{2}-g(t, \alpha)\geq(lr-K)\varepsilon\geq0. $

类似可得

$ \varepsilon^{2}\beta''-f(t)\beta'^{2}-g(t, \beta)\leq(K-lr)\varepsilon\leq0. $

又显然在 $[a, b]$上 $\alpha(t, \varepsilon)\leq\beta(t, \varepsilon)$, 且由(15), (16) 式可知, 只要 $\varepsilon>0$充分小, 就有 $\alpha(a, \varepsilon)\leq A \leq \beta(a, \varepsilon), \alpha(b, \varepsilon)\leq B\leq \beta(b, \varepsilon)$成立.

应用微分不等式理论^[8], 我们推出问题(1), (2) 在 $[a, b]$上存在一个解 $x(t, \varepsilon)$, 且满足

$ \alpha(t, \varepsilon)\leq x(t, \varepsilon)\leq \beta(t, \varepsilon), a\leq t \leq b. $

因此当 $\varepsilon\rightarrow0$时在 $[a, b]$上一致地有

$ x(t, \varepsilon)=u(t)+v(\frac{t}{\varepsilon})+O(\varepsilon). $

由于

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}x(t, \varepsilon)=\left\{\begin{array}{cc} u_{L}(t), \quad a\leq t< 0, \\ s, ~~~~~~\quad t=0, ~~~~~~\\ u_{R}(t), \quad 0< t\leq b, \end{array}\right.\end{eqnarray*} $

且 $u_{L}(0)\neq u_{R}(0), s=\frac{1}{2}[u_{L}(0)+ u_{R}(0)]$介于 $u_{L}(0)$与 $u_{R}(0)$之间.故解 $x(t, \varepsilon)$在 $t=0$处呈激波层性态.定理证毕.

最后顺便指出, 本文在 $n\geq3$, 即 $f(t)$在 $t=0$具有三阶或三阶以上转向点的情形下讨论问题.当 $n=2$时也存在内层激波解, 但形式渐近解的构造会复杂些, 这里不作详细讨论, 仅举一个 $f(t)$在 $t=0$具有二阶转向点的二次问题存在激波解的例子.

考虑边值问题

$ \varepsilon{} x''=t^{2}x'^{2}+(1-x)x';-1<t<1, $

(17)

$ x(-1, \varepsilon)=0, ~~~x(1, \varepsilon)=2, $

(18)

其中 $0<\varepsilon\ll 1, f(t)=t^{2}$在 $t=0$具有二阶转向点.易知 $u_{L}(t)=0$和 $u_{R}(t)=2$分别是退化问题

$ t^{3}u'^{2}+(1-u)u'=0, u(-1)=0, \\ t^{3}u'^{2}+(1-u)u'=0, u(1)=2 $

的解.用合成展开法推出, 相应的激波层校正项 $v_{L}(\xi)$和 $v_{R}(\xi)$分别满足

$ \ddot{v_{L}}+(v_{L}-1)\dot{v_{L}}=0, v_{L}(-\infty)=0, \dot{v_{L}}(-\infty)=0 $

和

$ \ddot{v_{R}}+(v_{R}+1)\dot{v_{R}}=0, v_{R}(-\infty)=0, \dot{v_{R}}(-\infty)=0, $

其中 $\frac{t}{\varepsilon}$为伸展变量.考虑到 $\frac{1}{2}[u_{R}(0)-u_{L}(0)]=1$, 可取 $v_{L}(0)=1, v_{R}(0)=-1, $解得

$ v_{L}(\xi)=1+\tanh\frac{\xi}{2}, ~~~v_{R}(\xi)=-1+\tanh\frac{\xi}{2}. $

于是问题(17), (18) 的解可表示为

$ x(t, \varepsilon)=1+\tanh\frac{t}{2\varepsilon}+O(\varepsilon)(\varepsilon\rightarrow0). $

由于

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}x(t, \varepsilon)=\left\{\begin{array}{cc} 0, \quad -1\leq t\leq 0, \\ 1, ~~\quad t=0, ~~~~~~\\ 2, \quad 0< t\leq 1, \end{array}\right.\end{eqnarray*} $

故解 $x(t, \varepsilon)$在 $t=0$处呈激波层性态.