自Robbins提出经验Bayes方法以来, EB检验问题在文献中已有非常多的研究, 但是这些文献大部分都是在完全样本情形下考虑的^[1-7], 然而在实际问题中, 随机样本往往具有不完全性(如舍入数据, 缺失数据和删失数据等).在大多数统计分析中, 常常假设数据本身是精确的, 但在实际问题中, 我们的数据可能因某些因素的影响而具有舍入误差, 我们称这样的数据为舍入数据.本文将在舍入数据下讨论Lomax分布形状参数的经验Bayes(EB)单侧检验问题.考虑如下Lomax分布^[8], 当给定 $\theta$时, 随机变量 $X$的条件概率密度为

$ f(x|\theta)=\frac{\theta}{\lambda_0}(1+\frac{x}{\lambda_0})^{-(\theta+1)}\mbox{, } $

(1.1)

其中 $\lambda_0>0$为已知的尺度参数, $\theta$为形状参数.样本空间为 $\Omega=\{x|x>0\}$, 参数空间为 $\Theta=\{\theta|\theta>0\}$.

本文考虑模型(1.1) 中参数 $\theta$的单侧检验问题

$ H_0:\theta\leq\theta_0\longleftrightarrow H_1:\theta>\theta_0, $

(1.2)

其中 $\theta_0$是给定的常数.对上述假设检验问题, 设损失函数为

$ L_0(\theta, d_0)=a(\theta-\theta_0)I_{[\theta>\theta_0]}, \qquad L_1(\theta, d_1)=a(\theta_0-\theta)I_{[\theta\leq\theta_0]}, $

其中 $a$为大于零的常数, $d=\{d_0, d_1\}$为行动空间, $d_0$表示接受 $H_0$, $d_1$表示拒绝 $H_0$, I_[A]为事件 $A$的示性函数.

设参数 $\theta$的先验分布为 $G(\theta)$, 且 $G(\theta)$未知.随机化判决函数为 $\delta(x)=P\{$接受 $H_0|X=x\}$, 则 $\delta(x)$的风险函数为

$ \begin{align} R(\delta(x), G(\theta))&=\int_\Theta\int_\Omega[L_0(\theta, d_0)\delta(x)+L_1(\theta, d_1)(1-\delta(x))]f(x|\theta)\mbox{d}x\mbox{d}G(\theta)\notag\\ &=a\int_\Omega\beta(x)\delta(x)\mbox{d}x+C_G, \end{align} $

(1.3)

其中

$ C_G=\int_\Theta L_1(\theta, d_1)\mbox{d}G(\theta), \qquad\beta(x)=\int_\Theta(\theta-\theta_0)f(x|\theta)\mbox{d}G(\theta). $

(1.4)

令随机变量 $X$的边缘分布为

$ f(x)=\int_\Theta f(x|\theta)\mbox{d}G(\theta)=\int_\Theta\frac{\theta}{\lambda_0}(1+\frac{x}{\lambda_0})^{-(\theta+1)}\mbox{d}G(\theta), $

(1.5)

于是, 经计算得

$ \beta(x)=(-1-\theta_0)f(x)-\psi(x)f^{(1)}(x). $

(1.6)

其中 $f^{(1)}(x)$是 $f(x)$的一阶导数,

$ \psi(x)=\lambda_0+x. $

(1.7)

由(1.3) 式可知, Bayes检验函数为

$ \delta_G(x)=\left\{ \begin{array}{ll}1, &\beta(x)\leq0, \\ 0, &\beta(x) > 0. \end{array}\right. $

(1.8)

其相应的Bayes风险为

$ R_G=\inf\limits_{\delta}R(\delta, G)=R(\delta_G, G)=a\int_\Omega\beta(x)\delta_G(x)\mbox{d}x+C_G. $

(1.9)

上述风险当先验分布 $G(\theta)$已知且 $\delta(x)=\delta_G(x)$时, 是可以达到的.但此处 $G(\theta)$未知, 所以 $\beta(x)$也未知, 故 $\delta_G(x)$无使用价值, 于是引入下面的经验Bayes方法来解决这个问题.

设 $\{X_1, \theta_1\}, \{X_2, \theta_2\}, \cdots, \{X_n, \theta_n\}$ (历史样本)和 $\{X, \theta\}$ (当前样本)为相互独立的随机向量, 其中 $\theta_i(1\leq i\leq n)$与 $\theta$具有共同的先验分布 $G(\theta)$, $X_1, X_2, \cdots, X_n$具有共同的边缘密度 $f(x)$如(1.5) 式所示.由于某些因素, 历史样本 $\{X_i|1\leq i\leq n\}$常常不能被观测到, 我们仅能观测到它的舍入数据 $\{Y_i|1\leq i\leq n\}$, 且

$ X_i=Y_i+\varepsilon_i, Y_i\sim h(x), \varepsilon_i\sim U(-l, l), \ \ \ \ 1\leq i\leq n, $

其中 $h(x)$为未知的密度函数, $l>0$为已知的常数, $\{\varepsilon_i|1\leq i\leq n\}$, $\{Y_i|1\leq i\leq n\}$都独立同分布, 且 $\{\varepsilon_i|1\leq i\leq n\}$与 $\{Y_i|1\leq i\leq n\}$之间相互独立.本文中假定 $f(x)\in C_{s, \beta}, x\in \mathcal{R}^1$, 这里 $C_{s, \beta}$表示一类概率密度函数族, 它的 $s$阶导数存在、连续且绝对值不超过 $\beta$, $s\geq4$为正整数.由卷积公式, 可得

$ f(x)=\int^l_{-l}h(x-y)\cdot\frac{1}{2l}\mbox{d}y. $

(2.1)

记 $h^{(0)}(x)=h(x)$, $h^{(1)}(x)=h'(x)$.于是, 由(1.6) 式和(2.1) 式, 有

$ \beta(x)=\frac{-1-\theta_0}{2l}\int^l_{-l}h(x-y)\mbox{d}y-\frac{\psi(x)}{2l}\int^l_{-l}h^{(1)}(x-y)\mbox{d}y. $

(2.2)

为了构造 $\beta(x)$的估计量, 我们首先利用舍入数据 $\{Y_i|1\leq i\leq n\}$来构造 $h^{(r)}(x)(r=0, 1)$的估计量.

令 $K_r(x)(r=0, 1)$为有界的Borel可测函数, 在区间(-1, 1) 之外取值为零, 且对 $r=0, 1$满足下列条件

(A) $ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{t!}\int^1_{-1}u^tK_r(u)du=\left\{ \begin{array}{ll}(-1)^r, & t=r, \\ 0, & t\neq r, t=0, 1, \cdots, r-1, r+1, \cdots, s-1. \end{array}\right. \end{array}$

类似于文献[9], 定义 $h^{(r)}(x)$的递归核估计为

$ h_n^{(r)}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{h_i^{1 + r}}}} {K_r}\left( {\frac{{x - {Y_i}}}{{{h_i}}}} \right),\quad r = 0,1. $

(2.3)

其中 $\{h_n\}$为正数序列, 且 $h_n\downarrow0(n\rightarrow\infty)$.参看文献[10], 可以找到适合上述条件(A)的核函数 $K_r(x)$.

由(2.2) 式和(2.3) 式可知, 定义 $\beta(x)$的估计量为

$ \beta_n(x)=(-1-\theta_0)f^{(0)}_n(x)-\psi(x)f^{(1)}_n(x), $

(2.4)

其中

$ f_n^{(r)}(x) = \frac{1}{{2ln}}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{h_i^{1 + r}}}} \int_{ - l}^l {{K_r}} \left( {\frac{{x - y - {Y_i}}}{{{h_i}}}} \right){\rm{d}}y,\quad r = 0,1. $

(2.5)

再由(1.8) 式, EB检验函数定义为

$ \delta_n(x)=\left\{ \begin{array}{ll}1, &\beta_n(x)\leq0, \\ 0, &\beta_n(x) > 0. \end{array}\right. $

(2.6)

本文中令 $\mbox{E}_n$表示关于 $(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n)$的联合分布求均值, 则 $\delta_n(x)$的全面Bayes风险为

$ R_n=R(\delta_n, G)=a\int_\Omega\beta(x)\mbox{E}_n[\delta_n(x)]\mbox{d}x+C_G. $

(2.7)

按定义, 设 $\vartheta$表示参数 $\theta$的先验分布族, 若对每个 $G\in\vartheta$, 有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n=R_G$, 则称 $\{\delta_n(x)\}$为关于 $\vartheta$渐近最优(a.o.)的EB检验函数.若对某个 $q>0$, $R_n-R_G=O(n^{-q})$, 则称EB检验函数 $\{\delta_n(x)\}$的收敛速度为 $O(n^{-q})$.

假设文中出现的 $M, M_1, M_2$表示与 $n$无关的常数, 即使在同一表达式中它们也可取不同的值.为证明所给出的EB检验函数的渐近最优性及收敛速度, 需要以下的一些引理.

引理3.1  设 $f^{(r)}_n(x)(r=0, 1)$由(2.5) 式定义, 假定条件 $(A)$成立, 记 $f^{(0)}(x)=f(x)$, $f^{(1)}(x)=f'(x)$.

(a)若 $f^{(r+1)}(x)$关于 $x$连续, 则当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}h_i=0$且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nh^{2r+2}_n=\infty$时, 有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^2=0, \quad \forall x\in\Omega. $

(b)若 $f(x)\in C_{s, \beta}$, $s\geq4$为正整数, 则当取 $h_n=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 对于 $0 < \lambda\leq1$有

$ \mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^{2\lambda}\leq M n^{-\frac{\lambda(s-r-2)}{s-1}}, \quad \forall x\in\Omega. $

证  (a)由 $C_r-$不等式和Jensen不等式, 有

$ \begin{align} \mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^2 &\leq2|\mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^2+2\mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-\mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)|^2\notag\\ &=2|\mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^2+2\mbox{Var}(f^{(r)}_n(x))\notag\\ &\triangleq2J_{1r}^2+2J_{2r}. \end{align} $

(3.1)

首先考虑 $J_{1r}^2$, 由(2.5) 式和假定条件(A)知

$ \begin{align} \mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)&=\frac{1}{2ln}\sum^n_{i=1}\frac{1}{h^{1+r}_i}\mbox{E}_n\left[\int^l_{-l}K_r\left(\frac{x-y-Y_i}{h_i}\right)\mbox{d}y\right]\notag\\ &=\frac{1}{2ln}\sum^n_{i=1}\frac{1}{h^{1+r}_i}\int^l_{-l}\left[\int^{x-y+h_i}_{x-y-h_i}K_r(\frac{x-y-s}{h_i})h(s)\mbox{d}s\right]\mbox{d}y\notag\\ &=\frac{1}{2ln}\sum^n_{i=1}\frac{1}{h^r_i}\int^l_{-l}I(x, y)\mbox{d}y, \end{align} $

(3.2)

其中

$ I(x, y)=\int^1_{-1}K_r(u)h(x-y-h_iu)\mbox{d}u. $

(3.3)

将 $h(x-y-h_iu)$在 $x-y$处作Taylor展开到第 $r+2$项, 有

$ h(x-y-h_iu)=h(x-y)+\frac{h'(x-y)}{1!}(-h_iu)+\cdots+\frac{h^{(r+1)}(x-y-\xi_{r+1} h_iu)}{(r+1)!}(-h_iu)^{r+1}, $

(3.4)

其中 $0 < \xi_{r+1} < 1$.将(3.4) 式代入(3.3) 式, 再利用假定条件 $(A)$可得

$ \begin{align} I(x, y)&=h^{(r)}(x-y)h^r_i+\int^1_{-1}K_r(u)\frac{h^{(r+1)}(x-y-\xi_{r+1}h_iu)}{(r+1)!}(-h_iu)^{r+1}\mbox{d}u\notag\\ &=h^{(r)}(x-y)h^r_i+O(h_i^{r+1}).\notag \end{align} $

因此, 由(3.2) 式有

$ \begin{align} \mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)&=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\frac{1}{h^r_i}\left[\int^l_{-l}h^{(r)}(x-y)h^r_i\cdot\frac{1}{2l}\mbox{d}y+O(h_i^{r+1})\right]\notag\\ &=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\left[f^{(r)}(x)+O(h_i)\right]=f^{(r)}(x)+\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}O(h_i).\notag \end{align} $

于是, 可得

$ 0\le {{J}_{1r}}=|{{\text{E}}_{n}}f_{n}^{(r)}(x)-{{f}^{(r)}}(x)|\le M\cdot \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{h}_{i}}}, $

(3.5)

于是, 当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}h_i=0$时, 有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}J_{1r}^2=0. $

(3.6)

再考虑 $J_{2r}$, 由(2.5) 式知

$ \begin{align} J_{2r}=\mbox{Var}f^{(r)}_n(x)&=\sum^n_{i=1}\frac{1}{(2ln)^2h^{2(1+r)}_i}\mbox{Var}\left[\int^l_{-l}K_r\left(\frac{x-y-Y_i}{h_i}\right)\mbox{d}y\right]\notag\\ &\leq\sum^n_{i=1}\frac{1}{(2ln)^2h^{2(1+r)}_i}\mbox{E}\left[\int^l_{-l}K_r\left(\frac{x-y-Y_1}{h_i}\right)\mbox{d}y\right]^2.\notag \end{align} $

由 $|K_r(x)|\leq M$及 $h_n\downarrow0$, 可知

$ J_{2r}\leq M\cdot n^{-1}\cdot h_n^{-(2+2r)}, $

(3.7)

于是, 当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nh^{2r+2}_n=\infty$时, 有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}J_{2r}=0. $

(3.8)

所以当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}h_i=0$且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nh^{2r+2}_n=\infty$时, 将(3.6) 和(3.8) 式代入(3.1) 式, 得

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^2=0, \quad \forall x\in\Omega. $

注1  若取 $h_n=n^{-\frac{1}{6}}$, 则易知正数序列 $\{h_n, n\geq1\}$满足引理3.1(a)中的条件.

(b)由 $C_r$ -不等式和Jensen不等式, 有

$ \begin{align} \mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-f^{(r)}_G(x)|^{2\lambda} &\leq2|\mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)-f^{(r)}(x)|^{2\lambda}+2(\mbox{E}_n|f^{(r)}_n(x)-\mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)|^2)^\lambda\notag\\ &\triangleq2J_{1r}^{2\lambda}+2J_{2r}^\lambda. \end{align} $

(3.9)

首先考虑 $J_{1r}^{2\lambda}$.因为 $f(x)\in C_{s, \beta}$, 所以易知 $h(x)\in C_{s, \beta}$.将 $h(x-y-h_iu)$在 $x-y$处作Taylor展开到第 $s+1$项, 有

$ h(x-y-h_iu)=h(x-y)+\frac{h'(x-y)}{1!}(-h_iu)+\cdots+\frac{h^{(s)}(x-y-\xi_s h_iu)}{s!}(-h_iu)^s, $

(3.10)

其中 $0 < \xi_s < 1$.将(3.10) 式代入(3.3) 式, 再利用假定条件 $(A)$可得

$ \begin{align} I(x, y)&=h^{(r)}(x-y)h^r_i+\int^1_{-1}K_r(u)\frac{h^{(s)}(x-y-\xi_s h_iu)}{s!}(-h_iu)^s\mbox{d}u\notag\\ &=h^{(r)}(x-y)h^r_i+O(h_i^s).\notag \end{align} $

因此, 由(3.2) 式有

$ \begin{align} \mbox{E}_nf^{(r)}_n(x)&=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\frac{1}{h^r_i}\left[\int^l_{-l}h^{(r)}(x-y)h^r_i\cdot\frac{1}{2l}\mbox{d}y+O(h_i^{s})\right]\notag\\ &=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\left[f^{(r)}(x)+O(h_i^{s-r})\right]=f^{(r)}(x)+\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}O(h_i^{s-r}).\notag \end{align} $

于是, 可知

$ 0 \le {J_{1r}} = |{{\rm{E}}_n}f_n^{(r)}(x) - {f^{(r)}}(x)| \le M \cdot \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {h_i^{s - r}} . $

当取 $h_n=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 易知对于 $r=0, 1$都有 $h_n=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}\leq n^{-\frac{1}{2(s-r)}}$, 于是 $h^{s-r}_n\leq n^{-\frac{1}{2}}$, 所以

$ \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {h_i^{s - r}} \le \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^{ - \frac{1}{2}}}} \le \frac{1}{n}\int_0^n {{x^{ - \frac{1}{2}}}} {\rm{d}}x = 2{n^{ - \frac{1}{2}}}, $

因此有

$ J_{1r}^{2\lambda}\leq M\cdot n^{-\lambda}. $

(3.11)

再考虑 $J_{2r}^\lambda$, 当 $h_n=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 由(3.7) 式, 有

$ J_{2r}^\lambda\leq (Mn^{-1}\cdot h_n^{-(2+2r)})^\lambda=(Mn^{-1}\cdot n^{\frac{2+2r}{2s-2}})^\lambda\leq Mn^{-\frac{\lambda(s-r-2)}{s-1}}. $

(3.12)

将(3.11) 和(3.12) 式代入(3.9) 式可得引理3.1(b)结论, 引理3.1(b)证毕.

引理3.2^[2]  设 $R_n$, $R_G$分别由(2.7) 式和(1.9) 式定义, 则有

$ 0\leq R_n-R_G\leq a\int_\Omega|\beta(x)|P(|\beta_n(x)-\beta(x)|\geq|\beta(x)|)\mbox{d}x. $

定理3.1  设 $f^{(r)}_n(x)(r=0, 1)$由(2.5) 式定义, $R_n$, $R_G$分别由(2.7) 和(1.9) 式定义, 假定条件(A)成立, 且下列条件满足

(i) $\{h_n\}$为正数序列, 且 $h_n\downarrow0(n\rightarrow\infty)$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}h_i=0$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nh^4_n=\infty$;

(ⅱ) $\mbox{E}\theta=\int_\Theta\theta \mbox{d}G(\theta) < \infty$;

(ⅲ) $f^{(2)}(x)$为 $x$的连续函数;

则有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n=R_G.$

证  由引理3.2可知

$ 0\leq R_n-R_G\leq a\int_\Omega A_n(x)\mbox{d}x, $

其中 $A_n(x)=|\beta(x)|P(|\beta_n(x)-\beta(x)|\geq|\beta(x)|)$.易知 $0\leq A_n(x)\leq|\beta(x)|$.

由Fubini定理及 $\beta(x)$的表达式(1.4), 有

$ \int_\Omega|\beta(x)|\mbox{d}x\leq|\theta_0|\int_\Omega f(x)\mbox{d}x+\int_\Omega\int_\Theta\theta f(x|\theta)\mbox{d}G(\theta)\mbox{d}x \leq|\theta_0|+\int_\Theta\theta \mbox{d}G(\theta) < \infty, $

再由Lebesgue控制收敛定理得

$ 0\leq\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(R_n-R_G)\leq M\int_\Omega\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_n(x)\mbox{d}x. $

(3.13)

所以要使定理3.1成立, 只要证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_n(x)=0$对a.s. $x$成立即可.

由(1.6) 式, (2.4) 式, Markov不等式及Jensen不等式, 得

$ \begin{align} A_n(x)&\leq\mbox{E}_n|\beta_n(x)-\beta(x)|\notag\\ &\leq|\psi(x)|\mbox{E}_n|f^{(1)}_n(x)-f^{(1)}(x)|+ |1+\theta_0|\mbox{E}_n|f^{(0)}_n(x)-f^{(0)}(x)|\notag\\ &\leq|\psi(x)|[\mbox{E}_n|f^{(1)}_n(x)-f^{(1)}(x)|^2]^ \frac{1}{2}+ |1+\theta_0|[\mbox{E}_n|f^{(0)}_n(x)-f^{(0)}(x)|^2]^ \frac{1}{2}.\notag \end{align} $

再由引理3.1(a), 对任何固定的 $x\in\Omega$, 有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mbox{E}_n|f^{(1)}_n(x)-f^{(1)}(x)|^2=0, \qquad \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mbox{E}_n|f^{(0)}_n(x)-f^{(0)}(x)|^2=0. $

因此有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_n(x)=0. $

(3.14)

将(3.14) 式代入(3.13) 式可得定理结论, 定理3.1证毕.

定理3.2  设 $f^{(r)}_n(x)(r=0, 1)$由(2.5) 式定义, $R_n$, $R_G$分别由(2.7) 和(1.9) 式定义, 假定条件 $(A)$成立, 若对于 $0 < \lambda < 1$, 有

$ \int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}x^{m\lambda}\mbox{d}x < \infty, m=0, 1, $

则当 $h_n=n^{-\frac{1}{2(s-1)}}$时, 有

$ R_n-R_G=\mbox{O}(n^{-q}), \qquad q=\frac{\lambda(s-3)}{2(s-1)}. $

证  由Markov不等式及引理3.2可知

$ \begin{align} 0\leq R_n-R_G\leq& a\int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}\mbox{E}_n|\beta_n(x)-\beta(x)|^\lambda \mbox{d}x\notag\\ \leq& M_1\int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}|\psi(x)|^\lambda\mbox{E}_n|f^{(1)}_n(x)-f^{(1)}(x)|^\lambda \mbox{d}x\notag\\ & +M_2\int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}|1+\theta_0|^\lambda\mbox{E}_n|f^{(0)}_n(x)-f^{(0)}(x)|^\lambda \mbox{d}x\notag\\ \triangleq& A_{1, n}+A_{2, n}, \end{align} $

(3.15)

其中 $\psi(x)=\lambda_0+x$.再根据引理3.1(b)及定理的条件得

$ \begin{align} A_{1, n}&\leq Mn^{-\frac{\lambda(s-3)}{2(s-1)}}\int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}|\psi(x)|^\lambda \mbox{d}x\leq Mn^{-\frac{\lambda(s-3)}{2(s-1)}}, \end{align} $

(3.16)

$ \begin{align} A_{2, n}&\leq Mn^{-\frac{\lambda(s-2)}{2(s-1)}}\int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}|1+\theta_0|^\lambda \mbox{d}x\leq Mn^{-\frac{\lambda(s-2)}{2(s-1)}}. \end{align} $

(3.17)

将(3.16) 式和(3.17) 式代入(3.15) 式得

$ R_n-R_G=\mbox{O}(n^{-q}), \qquad q=\frac{\lambda(s-3)}{2(s-1)}. $

注2  由定理3.2结论可知, 当 $s$充分大且 $\lambda$任意接近1时, 参数 $\theta$的EB检验函数的收敛速度可任意接近 $\mbox{O}(n^{-\frac{1}{2}})$.

本节给出一个例子说明适合文中定理条件的Lomax分布和参数 $\theta$的先验分布族是存在的.

设给定 $\theta$时, 随机变量 $X$的分布为 $f(x|\theta)=\theta(1+x)^{-(1+\theta)}$, 此处 $\lambda_0=1$.设参数 $\theta$的先验分布族为

$ g(\theta)=ke^{-\theta}I_{[\theta>\beta]}, $

其中 $k=e^\beta$, $\beta>\frac{2\lambda}{1-\lambda}$, $0 < \lambda < 1$.经计算得

$ \begin{align} f(x)&=\int_\Theta f(x|\theta)g(\theta)\mbox{d}\theta=\frac{1}{(1+x)^{\beta+1}\ln(e+ex)}\left[\beta+\frac{1}{\ln(e+ex)}\right], \end{align} $

(4.1)

$ \begin{align} f^{(1)}(x)&=\frac{-(\beta+1)\ln(e+ex)-1}{(1+x)^{\beta+2}\ln^2(e+ex)}\left[\beta+\frac{1}{\ln(e+ex)}\right]-\frac{1}{(1+x)^{\beta+2}\ln^3(e+ex)}, \end{align} $

(4.2)

$ \begin{align} \psi(x)&=1+x. \end{align} $

(4.3)

由(1.6) 式及(4.1)-(4.3) 式, 得

$ |\beta(x)|=|-(1+x)f^{(1)}(x)-(1+\theta_0)f(x)|\leq\frac{M}{(1+x)^{\beta+1}}, $

(4.4)

因此容易验证

(1) 由(4.1) 式知, $f(x)$关于 $x$的任意阶导数存在、连续且一致有界, 即 $f_G(x)\in C_{s, \beta}$, $s\geq4$为正整数;

(2) $\displaystyle\int_\Theta \theta \mbox{d} G(\theta)=k\int_\beta^{\infty}\theta e^{-\theta}\mbox{d}\theta\leq M\int_0^{\infty}\theta e^{-\theta}\mbox{d}\theta < \infty$;

(3) 因为 $\beta>\frac{2\lambda}{1-\lambda}$, 所以对于 $m=0, 1$, 都有 $(\beta+1)(1-\lambda)-m\lambda>1$, 于是由(4.4) 式和第一类广义积分的收敛判别法知,

$ \int_\Omega|\beta(x)|^{1-\lambda}x^{m\lambda} \mbox{d}x\leq M\int_0^{\infty}\frac{(1+x)^{m\lambda}}{(1+x)^{(\beta+1)(1-\lambda)}}\mbox{d}x= M\int_0^{\infty}\frac{1}{(1+x)^{(\beta+1)(1-\lambda)-m\lambda}}\mbox{d}x < \infty. $

因此由(1)-(3) 可知, 满足定理3.1和定理3.2条件的Lomax分布和参数 $\theta$的先验分布族是存在的.