设 $\alpha>0, \alpha\neq 1$.本文考虑的奇异积分算子为

$ \begin{equation} Tf(x)=K_{\alpha}\ast f(x), \end{equation} $

(1.1)

其中 $K_{\alpha}(x)=e^{i|x|^{\alpha}}(1+|x|)^{-n}$为振荡核.带振荡核的奇异积分算子不仅在分析理论中发挥重要作用, 而且还是研究偏微分方程的重要工具.例如, 发展型方程解的适定性理论研究中建立解半群的相应时空估计均可归结为 $(1.1)$的有界性估计, 相关代表性工作可见文献[1, 2]及其中的参考文献.最早关于 $(1.1)$的研究工作见文献[3, 4].在文献[3, 4]中, 作者得到了 $T$在 $L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1 < p < \infty)$空间中的有界性. 1983年, Chanillo, Kurtz和Sampson ^[5]建立了算子 $T$在加权 $L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1 < p < \infty)$空间中的有界性. 1986年, 他们在文献[6]中还得到了算子 $T$的弱型端点估计.本文我们将在更一般的函数空间, Morrey空间中考虑算子 $T$的交换子加权有界性.

经典Morrey空间 $M_{p, q}(\mathbb{R}^{n})$是Morrey^[7]在研究二阶椭圆偏微分方程局部解时引入的, 其空间范数定义为:

$ \begin{equation} \|f\|_{M_{p, q}(\mathbb{R}^{n})}=\sup\limits_{B\subset \mathbb{R}^{n}}(\frac{1}{|B|^{1-\frac{p}{q}}}\int_{B}|f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}}, \end{equation} $

(1.2)

其中 $f\in L_{loc}^{p}(\mathbb{R}^{n})$, $1\leq p\leq q < \infty$, $B$为 $\mathbb{R}^{n}$中任意球体(下同).显然 $M_{p, p}(\mathbb{R}^{n})=L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, 在此意义下可以将Morrey空间看作是Lebesgue空间的一种推广.此后, 对Morrey空间及其变形空间上的算子有界性质的探讨成为众多数学家研究的目标. Hardy-Littlewood极大算子是调和分析中的重要算子之一.设 $f\in L_{loc}(\mathbb{R}^{n})$, $f$的Hardy-Littlewood极大函数定义为

$ Mf(x)=\sup\limits_{B\ni x}\frac{1}{|B|}\int_{B}|f(y)|dy. $

设 $K$为Calderón-Zygmund核^[8], 以下简记为CZK.与CZK对应的Calderón-Zygmund奇异积分算子(简称C-Z算子)记为

$ \widetilde{T}f(x)=\mathrm{p.v.}\int_{\mathbb{R}^{n}}K(x-y)f(y)dy. $

1987年, Chiarenza和Frasca在文献[9]中建立了算子 $M$和 $\widetilde{T}$在 $M_{p, q}(\mathbb{R}^{n})$中的有界性. Weyl分数次积分, $ I_{\alpha}f(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}dy(0 < \alpha < n)$在空间 $M_{p, q}(\mathbb{R}^{n})$中的有界性由Adams在文献[10]中得到.关于多线性奇异积分算子在Morrey型空间中的有界性见文献[11-13].

作为加权Lebesgue空间的自然推广, Komori和Shirai在文献[14]中定义了加权Morrey空间.

定义1.1^[14]  设 $1\leq p < \infty, $ $0 < k < 1$, $w$为一函数.加权Morrey空间 $M_{p, k}(w)$定义为

$ M_{p, k}(w)=\{f\in L_{\hbox {loc}}^{p}(w): \|f\|_{M_{p, k}(w)} < \infty\}, $

其中空间范数定义为

$ \|f\|_{M_{p, k}(w)}=\sup\limits_{B}(\frac{1}{w(B)^{k}}\int_{B}|f(x)|^{p}w(x)dx)^{\frac{1}{p}}. $

显然若取 $w=1, k=1-\frac{p}{q}$, 则 $M_{p, k}(w)=M_{p, q}(\mathbb{R}^{n})$.设 $w\in A_{p}(1\leq p<\infty)$, 若取 $k=0, $则 $M_{p, 0}(w)=L^{p}(w)$.若 $k=1, $则 $M_{p, 1}(w)=L^{\infty}(w)$, 其中 $A_{p}$为Muckenhoupt函数类^[15]:

$ \begin{eqnarray*}&& A_{p}:\sup\limits_{B}(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)dx)(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)^{1-p'}dx)^{p-1}\leq C, 1 < p < \infty, \\ && A_{1}: Mw(x)\leq Cw(x); A_{\infty}=\cup_{p>1}A_{p}, \end{eqnarray*} $

这里 $1/p+1/p'=1$.

定义1.2  设 $b$为一局部可积函数, $b_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}b(x)dx.$若对任意球 $B\subset \mathbb{R}^{n}$,

$ \|b\|_{\hbox{BMO}(\mathbb{R}^{n})}=\sup\limits_{B}\frac{1}{|B|}\int_{B}|b(x)-b_{B}|dx < \infty, $

则称 $b\in {\hbox{BMO}} (\mathbb{R}^{n})$.

我们先给出交换子的定义:

定义1.3  给定一线性算子 $M$和一函数 $A$, 交换子 $[A, M]$定义为

$ M_{A}f=[A, M]f=AM(f)-M(Af). $

目前国内外对一些算子和BMO函数生成交换子的研究有很多.第一个这方面的工作由Coifman, Rochberg和Weiss ^[16]在研究广义Hardy空间的因子分解定理时得到.他们证明了 $M_{A}f$在 $L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1 < p < \infty)$中有界的重要条件是 $A\in $BMO, 此时 $M$为带光滑核的经典奇异积分算子.在文献[14]中，Komori和Shirai证明了极大算子 $M$和C-Z算子 $\widetilde{T}$及其交换子在 $M_{p, k}(w)(1 < p < \infty)$中的有界性.

本文主要结论为

定理1.1  设 $0 < \alpha\neq 1, $ $0 < k < 1$且 $b\in {\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})$, 则存在常数 $C>0$使得

$ \|T_{b}f(x)\|_{M_{p, k}(w)}\leq C\|f\|_{M_{p, k}(w)}. $

显然, 若 $\alpha=0$, 则定理1.1即为文献[14]中相应C-Z奇异积分算子的结果.

在文章第二部分我们证明定理1.1, 文中 $B(x_{0}, r)$记为中心在 $x_{0}$, 半径为 $r$的球.对任意 $\lambda>0$, $\lambda B=B(x_{0}, \lambda r)$.

在给出定理1.1的证明之前, 首先给出证明过程中用到的一些引理.

引理2.1^{[17, 18]}   设 $1\leq p < \infty$, $b\in {\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})$.则对任意球 $B\subset \mathbb{R}^{n}$, 下面命题成立

(1) John-Nirenberg不等式.即存在常数 $C_{1}$, $C_{2}>0$, 使对任意 $\alpha>0$,

$ \begin{equation} |\{x\in B:|b(x)-b_{B}|>\alpha\}|\leq C_{1}|B|e^{-C_{2}\alpha/\|b\|_{{\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})}}. \end{equation} $

(2.1)

(2)

$ \begin{equation} |b_{2^{\lambda}B}-b_{B}|\leq2^{n}\lambda \|b\|_{{\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})}. \end{equation} $

(2.2)

引理2.2^[19]  设 $w\in A_{\infty}$.则下列命题等价:

(1) $\displaystyle \|b\|_{{\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})}\sim \sup_{B}(\frac{1}{|B|}\int_{B}|b(x)-b_{B}|^{p}dx)^{\frac{1}{p}}.$

(2) $\displaystyle\|b\|_{{\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})}\sim \sup_{B}\inf_{a\in \mathbb{R}}\frac{1}{|B|}\int_{B}|b(x)-a|dx.$

(3) $\displaystyle \|b\|_{{\hbox{BMO}}(w)}=\sup_{B}\frac{1}{w(B)}\int_{B}|b(x)-b_{B, w}|w(x)dx, $其中

$ {\hbox{BMO}}(w)=\{b:\|b\|_{{\hbox{BMO}}(w)} < \infty\}, \displaystyle b_{B, w}=\frac{1}{w(B)}\int_{B}b(y)w(y)dy. $

引理2.3 ^[20]  设 $1\leq p < \infty$, $w\in A_{p}$.则下面结论成立:

(1) $w$满足双倍测度条件, 即存在常数 $C>0$使得

$ \begin{equation} w(2B)\leq Cw(B). \end{equation} $

(2.3)

(2) $w$满足逆双倍测度条件, 即存在常数 $C>1$使得

$ \begin{equation} w(2B)\geq Cw(B). \end{equation} $

(2.4)

(3) $w$满足逆Hölder不等式, 即存在常数 $C>0, r>1$使得对 $\mathbb{R}^{n}$中任意球体 $B$有

$ \begin{equation} (\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)^{r}dx )^{\frac{1}{r}}\leq C(\frac{1}{|B|}\int_{B} w(x)dx). \end{equation} $

(2.5)

(4) 对任意 $\lambda>1, $

$ \begin{equation} w(\lambda B)\leq C\lambda^{np}w(B). \end{equation} $

(2.6)

(5) $w\in A_{\infty}$, 即存在常数 $C, \delta>0$, 使对任意可测集 $Q\subset B$有

$ \begin{equation} \frac{w(Q)}{w(B)}\leq C( \frac{|Q|}{|B|})^{\delta}. \end{equation} $

(2.7)

引理2.4^[21]  设 $0 < \alpha\neq 1$, $w\in A_{p}(1 < p < \infty)$且 $b\in {\hbox{BMO}}(\mathbb{R}^{n})$.则存在常数 $C>0$使得 $\|T_{b}f\|_{L^{p}(w)}\leq C\|f\|_{L^{p}(w)}.$

引理2.5  设 $B=B(x_{0}, r)$, $0 < k < 1$, $1 < p < \infty$.则对任意 $y\in (2B)^{c}$, 下面不等式成立

$ (\int_{|x_{0}-y|>2r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b_{B, w}-b(y)|dy)^{p}w(B)^{1-k}\leq C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}\|b\|_{\hbox{BMO}(\mathbb{R}^{n})}^{p}. $

证  对所要证明的不等式左边应用Hölder不等式可得

$ \begin{align*} &(\int_{|x_{0}-y|>2r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b_{B, w}-b(y)|dy)^{p}\\ &\leq (\sum\limits_{j=1}^{\infty}\int_{2^{j}r < |x_{0}-y| < 2^{j+1}r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b_{B, w}-b(y)|dy)^{p}\\ &\leq (\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}\int_{2^{j+1}B}|f(y)||b_{B, w}-b(y)|dy)^{p}\\ &\leq C[\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}(\int_{2^{j+1}B}|f(y)|^{p}w(y)dy)^{\frac{1}{p}}(\int_{2^{j+1}B}|b_{B, w}-b(y)|^{p'}w(y)^{1-p'}dy)^{\frac{1}{p'}}]^{p}\\ &\leq C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}[\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{w(2^{j+1}B)^{\frac{k}{p}}}{|2^{j}B|}(\int_{2^{j+1}B}|b_{B, w}-b(y)|^{p'}w(y)^{1-p'}dy)^{\frac{1}{p'}}]^{p}. \end{align*} $

简记 $ A=(\int_{2^{j+1}B}|b_{B, w}-b(y)|^{p'}w(y)^{1-p'}dy)^{\frac{1}{p'}}, $易得

$ \begin{align*} A &\leq (\int_{2^{j+1}B}(|b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b(y)|+|b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b_{B, w}|)^{p'}w(y)^{1-p'}dy)^{\frac{1}{p'}}\\ &\leq \|\frac{|b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b(\cdot)|+|b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b_{B, w}|}{w(\cdot)}\|_{L^{p'}(w)}\\ &\leq (\int_{2^{j+1}B}|b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b(y)|w(y)^{1-p'}dy)^{\frac{1}{p'}} +|b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b_{B, w}|w^{1-p'}(2^{j+1}B)^{\frac{1}{p'}}\\ &=:J+JJ. \end{align*} $

由引理2.2得

$ \begin{equation} J\leq C\|b\|_{\hbox{BMO}(w^{1-p'})}w^{1-p'}(2^{j+1}B)^{\frac{1}{p'}}\leq Cw^{1-p'}(2^{j+1}B)^{\frac{1}{p'}}. \end{equation} $

(2.8)

对于 $JJ$, 由(2.2) 式得

$ \begin{equation*} \begin{split} |b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b_{B, w}| \leq& |b_{2^{j+1}B, w^{1-p'}}-b_{2^{j+1}B}|+|b_{2^{j+1}B}-b_{B}|+|b_{B}-b_{B, w}|\\ \leq &\frac{1}{w^{1-p'}(2^{j+1}B)}\int_{2^{j+1}B}|b(y)-b_{2^{j+1}B}|w(y)^{1-p'}dy\\ & +2^{n}(j+1)\|b\|_{\hbox{BMO}(\mathbb{R}^{n})}+\frac{1}{w(B)}\int_{B}|b(y)-b_{B}|w(y)dy\\ :=&JJ_{1}+JJ_{2}+JJ_{3}. \end{split} \end{equation*} $

结合(2.7) 式和(2.1) 式有

$ \begin{align*} JJ_{3} &= \frac{1}{w(B)}\int_{0}^{\infty}w(\{x\in B:|b(y)-b_{B}|>\alpha \})d\alpha\\ &\leq C\int_{0}^{\infty}e^{-C_{2}\alpha\delta/\|b\|_{\hbox{BMO}(\mathbb{R}^{n})}}d\alpha\\ &\leq C. \end{align*} $

同理可得 $ JJ_{1}\leq C. $所以

$ \begin{equation} JJ\leq C(2^{n}(j+1)+2)w^{1-p'}(2^{j+1}B)^{\frac{1}{p'}}. \end{equation} $

(2.9)

由(2.8) 式和(2.9) 式可得 $ A\leq C(j+1)w^{1-p'}(2^{j+1}B)^{\frac{1}{p'}}. $应用(2.04) 式可得

$ [\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{w(2^{j+1}B)^{\frac{k}{p}}}{|2^{j}B|}(\int_{2^{j+1}B}|b(y)-b_{B, w}|^{p'}w(y)^{1-p'}dy)^{\frac{1}{p'}}]^{p} w(B)^{1-k} \leq C[\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{w(B)^{\frac{1-k}{p}(j+1)}}{w(2^{j+1}B)^{\frac{1-k}{p}}}]^{p}=C. $

引理2.5得证.

定理1.1的证明  即证存在常数 $C>0$, 使对任意固定的球 $B=B(x_{0}, r)$, 有

$ \begin{equation} \frac{1}{w(B)^{k}}\int_{B}|T_{b}f(x)|^{p}w(x)dx\leq C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}. \end{equation} $

(2.10)

作分解 $f=f\chi_{2B}+f\chi_{(2B)^{c}}:=f_{1}+f_{2}, $则

$ \int_{B}|T_{b}f(x)|^{p}w(x)dx\leq C(\int_{B}|T_{b}f_{1}(x)|^{p}w(x)dx+\int_{B}|T_{b}f_{2}(x)|^{p}w(x)dx) =:K+KK. $

由引理2.4可得

$ \begin{equation} K\leq C\int_{2B}|f(x)|^{p}w(x)dx\leq C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}w(B)^{k}. \end{equation} $

(2.11)

又因为

$ \begin{align*} |T_{b}f_{2}(x)|^{p} &\leq C(\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{|f_{2}(y)||b(x)-b(y)|}{|x-y|^{n}}dy)^{p}\\ &\leq C(\int_{|x_{0}-y|>2r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}\{|b(x)-b_{B, w}|+|b_{B, w}-b(y)|\}dy)^{p}. \end{align*} $

所以

$ \begin{align*} KK\leq& C(\int_{|x_{0}-y|>2r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}dy)^{p}\int_{B}|b(x)-b_{B, w}|^{p}w(x)dx\\ &+C(\int_{|x_{0}-y|>2r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b(y)-b_{B, w}|dy)^{p}w(B)\\ := &KK_{1}+KK_{2}. \end{align*} $

由引理2.5直接可得

$ KK_{2}\leq C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}w(B)^{k}. $

$KK_{1}$的估计可直接由(2.3) 式, (2.5) 式和引理2.2得到.事实上

$ \begin{equation*} \begin{split} KK_{1}=&(\sum\limits_{j=1}^{\infty}\int_{2^{j}r < |x_{0}-y| < 2^{j+1}r}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}dy)^{p}\int_{B}|b(x)-b_{B, w}|^{p}w(x)dx\\ \leq&(\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}\int_{2^{j+1}B}|f(y)|dy)^{p}\int_{B}|b(x)-b_{B, w}|^{p}w(x)dx\\ \leq& (C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}(\frac{1}{w(2^{j+1}B)^{k}}\int_{2^{j+1}B}|f(y)|^{p}w(y)dy)^{\frac{1}{p}}w(2^{j+1}B)^{\frac{k}{p}})^{p}\\ & \times (\int_{2^{j+1}B}w(y)^{-\frac{1}{p-1}}dy)^{p-1}\int_{B}|b(x)-b_{B, w}|^{p}w(x)dx\\ \leq& C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}(\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{|2^{j+1}B|^{-\frac{1}{p}}}{|2^{j}B|}(\frac{1}{|2^{j+1}B|}\int_{2^{j+1}B}w(y)dy)^{-\frac{1}{p}}w(2^{j+1}B)^{\frac{k}{p}})^{p}\\ & \times \int_{B}|b(x)-b_{B, w}|^{p}w(x)dx\\ \leq& C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}\|b\|_{\hbox{BMO}(\mathbb{R}^{n})}^{p}\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\frac{w(B)^{\frac{1-k}{p}}}{w(2^{j+1}B)^{\frac{1-k}{p}}})^{p}w(B)^{k}\\ \leq& C\|f\|_{M_{p, k}(w)}^{p}w(B)^{k}. \end{split} \end{equation*} $

所以

$ \begin{equation} KK\leq C\|f\|_{L^{p, k}(w)}^{p}w(B)^{k}. \end{equation} $

(2.12)

由(2.11) 式和(2.12) 式可得到(2.10) 式, 从而定理1.1得证.