设$W^H=\{W_t^H, t\ge 0\}$是分数布朗运动有Hurst标量$H$, 即:它是一个连续Gaussian过程满足以下性质:

(I) $W^H_0=0$, $\mathbb{P}$-a.s.;

(II) $\mathbb{E} W^H_t=0$, $\mathbb{E} W^H_tW^H_s=\frac{1}{2}(t^{2H}+s^{2H}-|s-t|^{2H})$对任意$s, t\ge 0$;

(III) $W^H$的增量是平稳的, $H$阶自相似的, 且其轨道式几乎处处连续但不可微的.

标准布朗运动$W$是参数为$H=\frac12$的分数布朗运动.设$a$, $b$是两个实常数使得$(a,b)\ne (0,0)$.

定义1.1 参数为$a$, $b$, $H$的混合分数布朗运动 (MFBM) 是满足下面性质的过程.对任意$t\in \mathbb{R}_+$,

$\label{def-1} \forall Z_t^H=Z^H_t(a,b)=aW_t+bW^H_t,$

(1.1)

这里$(W_t)_{t\in \mathbb{R}_+}$是布朗运动, $(W^H_t)_{t\in \mathbb{R}_+}$是数为$H$的分数布朗运动参, 且$(W_t)_{t\in \mathbb{R}_+}$和$(W^H_t)_{t\in \mathbb{R}_+}$是独立的.

Cheridito ^[1]介绍了这个过程, 并且利用它研究下面的金融模型,

$\label{mod} X_t^H(a,b)=X_0^H(a,b)\exp\Big(\nu t +\sigma Z_t^H(a,b)\Big),$

(1.2)

这里$\nu$, $\sigma$是常数, $a$是任意正常数, $b=1$, $Z^H(a,b)$是参数为$a$, $b$, $H$的MFBM.

文献[2]研究了混合分数布朗运动的一些随机性质.文献[3]一般化了Zili的工作, 研究了分数混合分数布朗运动的一些性质.由布朗运动驱动的随机微分方程的统计推断得到了很多学者的研究 (参看文献[4]).对于分数布朗运动的统计估计问题最近得到了广泛关注.文献[5]研究了由分数布朗运动驱动的线性模型的参数估计问题.文献[6]证明了由分数布朗运动驱动的随机微分方程MLE和Bayes估计的大偏差不等式.文献[7]研究了分数O-U过程的参数估计问题.这篇文章, 我们将研究分数O-U过程参数的最小范数估计的渐近性质.

从文献[2], 我们知道MFBM是一个混合自相似过程:

$\{Z^H_{ht}(a,b)\}=^{d}\{Z_t^H(ah^{1/2}, bh^H)\},$

这里$h>0$是常数, $\{X_t\}=^{d}\{Y_t\}$表示means $(X_t)_{t\in\mathbb{R}_+}$和$(Y_t)_{t\in\mathbb{R}_+}$有相同分布.对任意过程$X$, $X^*$表示上确界过程: $X_t^*=\sup_{s\le t}|X_s|$.因此由自相似性质$Z^{H*}_{ht}(a,b)=^{d}Z_t^{H*}(ah^{1/2}, bh^H)$.对任意$p>0$, 有

引理2.1 设$T>0$是一个常数, $Z$是参数为$a, b, H$的MFBM.则对任意$p>0$,

$q\label{lem1-1} (Z^{H*}_{T}(a,b))^p=\mathbb{E}(Z^{H*}_{1}(aT^{1/2},bT^H))^p=\mathbb{E}(\mathop {\sup }\limits_{t \le 1} {\mkern 1mu} |aT^{1/2}W_t+bT^HW_t^H|)^p.$

(2.1)

B-D-G不等式 (布朗运动情形) 设$W$为布朗运动, $p>0$, 则对任意停时$\tau$有

$c(p)\mathbb{E}({{\tau }^{p/2}})\le \mathbb{E}({{(W_{\tau }^{*})}^{p}})\le C(p)\mathbb{E}({{\tau }^{p/2}}),$

(2.2)

这里常数$c(p)$, $C(p)>0$依赖于$p$.

定理NV ^[8] 设$W^H$是分数布朗运动, $\tau$是停时, 则对任意$p\ge 0$, $H\in(1/2,1)$, 有

$ c(p,H)\mathbb{E}(\tau^{pH})\le \mathbb{E}((W^{H*}_\tau)^p)\le C(p,H)\mathbb{E}(\tau^{pH}),$

(2.3)

且对任意$p>0$, $H\in(0,1/2)$, 有

$ c(p,H)\mathbb{E}(\tau^{pH})\le \mathbb{E}((W^{H*}_\tau)^p),$

(2.4)

这里$c(p,H)$, $C(p,H)>0$依赖于$p,H$.

利用定理NV和B-D-G不等式, 可得 (2.1) 式的上界.

设$\{X_t, t\ge0\}$是下面随机微分方程的解

$X_t=x_0+\theta\int_0^t X_sds+\varepsilon Z_t^H, \ \ X_0=x_0,\ \ \ 0\le t\le T,$

(2.5)

这里$\theta$是未知参数, $Z^H_t$是MFBM.

若$s\in(0,t)$, 设$K(t,s):=(c/C)s^{-r}(t-s)^{-r}$, 若$s>t$, 设$K(t,s)=0$, 这里$r=H-1/2$,

$ C:=\sqrt{\frac{H}{(H-1/2)B(H-1/2, 2-2H)}} $

且

$ c:=\frac{1}{B(H+1/2, 3/2-H)}, $

这里$B(\mu,\nu)$被定义为

$ B(\mu,\nu):=\frac{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}{\Gamma(\mu+\nu)}. $

利用文献[9]的命题2.1, 可得

命题2.2 设$H\in(0,1)$, 定义$M$为

$ M_t=\int_0^t K(t,s)dW_s^H, $

则$M$是一个Gaussian鞅且$\langle M\rangle_t=(C^2/4H^2(2-2H))t^{2-2H}$.

有关分数布朗运动的进一步性质, 请参考文献[9, 10].

设混合分数O-U过程$X=\{X_t, 0\le t\le T\}$满足以下方程

$dX_t=\theta X_tdt+\varepsilon dZ_t^H, \ \ X_0=x_0,\ \ \ 0\le t\le T,$

(3.1)

这里$\theta\in\Theta\subset\mathbb{R}$.

设$x_t(\theta)$是当$\varepsilon=0$时, 上面随机微分方程的解.显然有

$x_t(\theta)=x_0e^{\theta t}, \ \ 0\le t\le T.$

(3.2)

设

$S_T(\theta)=\int_0^T|X_t-x_t(\theta)|dt.$

(3.3)

最小范数估计$\theta^*_\varepsilon$满足下面方程

$S_T(\theta^*_\varepsilon)=\mathop {\inf }\limits_{\theta \in \Theta } S_T(\theta). $

(3.4)

有关最小范数存在性可参看文献[11].因此, 我们假设存在$\theta^*_\varepsilon$满足上面方程.

设$\theta_0$为真值, 对任意$\delta>0$定义

$g(\delta)=\inf_\limits{|\theta-\theta_0|>\delta}\int^T_0|x_t(\theta)-x_t(\theta_0)|dt.$

(3.5)

则对任意$\delta>0$, 有$g(\delta)>0$.

定理3.1 对任意$p>0$, 存在常数$C_1(p,H)$, $C_2(p)>0$使得对任意$\delta>0$,

$\mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(|\theta_\varepsilon^*-\theta_0|>\delta)\le 2^p\varepsilon^pT^p(g(\delta))^{-p}e^{p|\theta_0 T|}(C_1(p,H)T^{Hp}+C_2(p)T^{p/2})\\ =O((g(\delta)^{-p})\varepsilon^p). $

(3.6)

证 显然有

$ \mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(|\theta_\varepsilon^*-\theta_0|>\delta) =\mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}( \inf_{|\theta-\theta_0|\le \delta}\|X-x(\theta)\|>\inf_{|\theta-\theta_0|>\delta}\|X-x(\theta)\|>\delta)\\ \le \mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}( \inf_{|\theta-\theta_0|\le \delta}(\|X-x(\theta_0)\|+\|x(\theta_0)-x(\theta)\|)\\ > \inf_{|\theta-\theta_0|>\delta}(\|x(\theta_0)-x(\theta)\|-\|X-x(\theta_0)\|)>\delta)\\ =\mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(\|X-x(\theta_0)\|>g(\delta)/2). $

(3.7)

由于$x_t(\theta)=x_0e^{\theta t}$, 则

$ X_t-x_t(\theta_0)= x_0+\theta_0\int_{0}^tX_sds+\varepsilon Z_t-x_t(\theta)\\ =\theta_0\int_{0}^t(X_s-x_s(\theta_0))ds+\varepsilon Z_t. $

(3.8)

设$V_t=|X_t-x_t(\theta_0)|$, 则有

$ V_t=|X_t-x_t(\theta_0)|\le |\theta_0|\int^t_0V_sds+\varepsilon |Z_t|. $

由Gronwall不等式, 可得

$ \sup_\limits{0\le t\le T} |V_t|\le \varepsilon e^{|\theta_0T|}\sup\limits_{0\le t\le T} |Z_t|. $

因此, 利用 (3.7) 式, 引理2.1, B-D-G不等式和定理NV, 我们有

$ \mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(|\theta_\varepsilon^*-\theta_0|>\delta) \le \mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(\|X-x(\theta_0)\|>g(\delta)/2)\\ \le\mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(Z_T^*>\frac{e^{-|\theta_0 t|}g(\delta)}{2\varepsilon T})\\ \le 2^p\varepsilon^pT^p(g(\delta))^{-p}e^{p|\theta_0 T|}(C_1(p,H)T^{Hp}+C_2(p)T^{p/2})\\ =O((g(\delta)^{-p})\varepsilon^p). $

显然, 有

$X_t=e^{\theta_0 t}(x_0+\int^t_0e^{-\theta_0 s}\varepsilon dZ_s),$

(3.9)

这个等价于

$ X_t-x_t(\theta_0)=\varepsilon e^{\theta_0 T}\int^t_0e^{-\theta_0 s}\varepsilon dZ_s. $

设

$ Y_t=e^{\theta_0t}\int^t_0e^{-\theta_0 s}dZ_s=ae^{\theta_0t}\int^t_0e^{-\theta_0 s}dW_s+be^{\theta_0t}\int^t_0e^{-\theta_0 s}dW^H_s=:aY^1_t+bY^2_t, $

则$Y$是一个Gauss过程.参考文献[12](或者文献[7, 10]), 可得对任意$h\ge0$,

$ Cov(Y_t^2,Y^2_{t+h})=e^{2\theta_0t+\theta_0h}\gamma_H(t), $

这里

$ \gamma_H(t)=H(2H-1)\int_0^t\int_0^te^{-\theta_0(u+v)}|u-v|^{2H-2}dudv. $

显然有

$ {\hbox{Cov}}(Y_t^1,Y^1_{t+h})=e^{2\theta_0t+\theta_0h}\int^t_0e^{-2\theta_0s}ds. $

因此, $Y$是一个$0$期望Guass过程.设

$ \xi=\arg\inf\limits_{-\infty<u<\infty}\int_0^T|Y_t-utx_0e^{\theta_0t}|dt. $

定理3.2 随机变量$u^*=\varepsilon^{-1}(\theta^*_\varepsilon-\theta_0)$以概率收敛于某随机变量, 其概率分布在$\mathbb{P}_{\theta_0}$下与$\xi$相同.

证 设$x^{'}_t(\theta)=x_0te^{\theta t}$,

$ N_\varepsilon(u)=\|Y-\varepsilon^{-1}(x(\theta_0+\varepsilon u)-x(\theta_0))\| $

和

$ N_0(u)=\|Y-ux^{'}(\theta_0)\|. $

再假设

$ A_\varepsilon=\{\omega:|\theta^*_\varepsilon-\theta_0|<\delta_\varepsilon\},\ \ \ \delta_\varepsilon=\varepsilon^\tau, \ \ \ \tau\in(1/2,1)\ \ L_\varepsilon=\varepsilon^{\tau-1}. $

可以发现$u^*$满足方程

$ N_\varepsilon(u^*_\varepsilon)=\inf\limits_{|u|<L_\varepsilon}Z_\varepsilon(u), \ \ \omega\in A_\varepsilon. $

定义

$ \xi_\varepsilon=\arg\inf\limits_{|u|<L_\varepsilon} Z_0(u). $

以概率$1$, 有

$ \sup\limits_{|u|<L_\varepsilon}\|N_\varepsilon(u)-N_0(u)\|=|\|Y-ux^{'}(\theta_0)-\frac 12\varepsilon u^2x^{''}(\tilde \theta)\|- \|Y-ux^{'}(\theta_0)\||\\ \le \frac{\varepsilon}{2}L^2_\varepsilon\sup\limits_{|\theta-\theta_0|<\delta_\varepsilon}\int^T_0|x^{''}(\theta)|dt\\ \le C\varepsilon^{2\tau-1}, $

这里$\tilde\theta=\theta_0+\alpha(\theta-\theta_0)$对某个$\alpha\in(0,1)$.此外, 利用文献[13]中的定理2的讨论, $\{Z_0(u),-\infty < u < \infty\}$以概率1有唯一最小解$u^*$.现在, 选择区间$[-L,L]$使得

$ \mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(u^*_\varepsilon\in(-L,L))\ge 1-\beta g(L)^{-p} $

和

$ \mathbb{P}^{(\varepsilon)}_{\theta_0}(u^*\in(-L,L))\ge 1-\beta g(L)^{-p}, $

这里$\beta>0$. $g(L)$关于$L$递增.过程$Z_\varepsilon(u), u\in [-L,L]$和$Z_0(u), u\in [-L,L]$满足Lipschitz条件, 且$Z_\varepsilon(u)$在$u\in [-L,L]$上, 一致收敛于$Z_0(u)$.因此, $Z_\varepsilon(\cdot)$的最小值收敛于$Z_0(u)$的最小值.定理证毕.