众所周知, 最早研究$|x|$的逼近问题是Bernstein^[1], 他在1913年用代数多项式对$|x|$进行逼近, 得到$n$次代数多项式对$|x|$的逼近阶$E_{n}(|x|)=O(\frac{1}{n})$, 且不能改善.

1964年, Newman^[2]发现$R_{n}(|x|)=\min \limits_{r_{n}(x) \in R_{n}^{n}}\left\| |x|-r_{n}(x) \right\|$远远优于其多项式的最佳逼近$E_{n}(x)$.

设$p(x)=\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x+a^{k})$, 其中$a=e^{-\frac{1}{\sqrt{n}}}$.定义了如下有理函数

$ r_{n}(x)=x\frac{p(x)-p(-x)}{p(x)+p(-x)}. $

建立了如下定理:当$n\geq5$时, 有下式成立

$ \frac{1}{2}e^{-9\sqrt{n}}\leq R_{n}(|x|)\leq 3e^{-\sqrt{n}}. $

1975年, Vjacheslavov^[3]用复杂的方法获得精确不等式

$ e^{-\pi\sqrt{n+1}}\leq R_{n}(|x|)\leq C e^{-\pi\sqrt{n-1}}. $

有趣的是, Newman构造的$r_{n}(x)$具有与$|x|$共单调性质.这是1984年, Iliev和Opitz^[4]证明的.他们还进一步证明了$|x|$的有理共单调逼近也满足上面的Vjacheslavov精确不等式.

1997年, Brutman和Passow^[5]把上述有理函数进行推广.结点组可以取作$X=\{x_{k}:k=1, 2, \cdots, n, 0 < x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}\leq 1\}$.令

$ p(x)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+x_{k}), $

则基于结点组$\{-x_{n}, \cdots, -x_{2}, -x_{1}, 0, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \}$的Newman型有理算子定义为

$ r_{n}(X;x)=x\frac{p(x)-p(-x)}{p(x)+p(-x)}. $

在Newman之后, 有不少考虑了任意结点组(见文献[6-12])上的Newman型插值.

1997年, Brutman和Passow^[7]把结点组取作Chebyshev结点, 得到逼近阶为$O(\frac{1}{n\log n})$; 1998年, Brutman^[8]把结点组取作调整Chebyshev结点

$ \widetilde{T}=\left\{x_{k}=\frac{1+\xi_{n-k+1}}{2}=\sin^{2}\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right\}_{k=1}^{n}, $

其中$\xi_{k}=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}, k=1, 2, \cdots, n$, 得到逼近阶为$O(\frac{1}{n^{2}})$.

最近张慧明等^[11]把结点组取作与朱来义等^[10]不同的形式的第二类Chebyshev结点, 用不同的方法得到逼近阶为$O(\frac{1}{n\log n})$.

我们是否可以类似于Brutman^[8]把结点组取作调整第二类Chebyshev结点?

本文就研究插值结点组$X$取调整的第二类Chebyshev结点的Newman型有理插值算子逼近$|x|$, 得到逼近阶为$O(\frac{1}{n^{2}})$.

首先我们来构造调整第二类Chebyshev结点.

我们把第二类Chebyshev多项式$U_{n-1}(x)=\frac{\sin(n\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$的零点$\xi_k=\cos\frac{k\pi}{n}$ $(k=1, 2, 3, \cdots, n-1)$压缩到区间$[0, 1]$.即

$ \widetilde{U}=\left\{x_{k}=\frac{1+\xi_{n-k}}{2}=\cos^{2}\frac{(n-k)\pi}{2n}=\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\right\}_{k=1}^{n-1}. $

这就是我们来构造的调整第二类Chebyshev结点.

由于构造的结点组里有$n-1$个结点, 所以在本文我们把Newman型有理算子定义为

$ r_{n-1}(\widetilde{U};x)=x\frac{p(x)-p(-x)}{p(x)+p(-x)}. $

定理1  结点组$X$取调整第二类Chebyshev结点$\widetilde{U}$, 当$n>e^{3}+1$时, 有下式成立

$ |e_{n-1}(\widetilde{U}; x)|=\left||x|-r_{n-1}(\widetilde{U};x)\right|=O\left(\frac{1}{n^{2}}\right). $

证  由于$r_{n-1}(\widetilde{U}; x)=x\frac{p(x)-p(-x)}{p(x)+p(-x)}$和$|x|$都是偶函数, 只考虑区间$[0, 1]$即可.

1) 当$0\leq x \leq x_{1}=\sin^{2}\frac{\pi}{2n}$时, 当$t \in [0, \frac{\pi}{2}]$时, $\frac{2t}{\pi} \leq \sin t \leq t$,

$ \frac{4}{{{\pi ^2}}}{n^2} \le \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{{{(\frac{{k\pi }}{{2n}})}^2}}}} \le {A_{n - 1}}(x) = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{{{\sin }^2}(\frac{{k\pi }}{{2n}})}}} \le \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{{{(\frac{k}{n})}^2}}}} \le 2{n^2}. $

由文献[5]定理2.7得$|e_{n-1}(\widetilde{U}; x)| \leq \frac{1}{A_{n-1}}\leq \frac{\pi^{2}}{4n^{2}}.$

2) 当$y_{1}=\frac{4\log (n-1)}{n-1} \leq x \leq 1(n>e^{3}+1)$时, $S_{1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}x_{k}=\frac{n-1}{2}.$

由文献[5]引理2.4得

$ |h_{n-1}(\widetilde{U};x)| \leq e ^{-y_{1}S_{1}} \leq e ^{-2 \log (n-1)}=\frac{1}{(n-1)^{2}} . $

所以

$ |e_{n-1}(\widetilde{U};x)| \leq \frac{2x|h_{n-1}(\widetilde{U};x)|}{1-h_{n-1}(\widetilde{U};x)} \leq \frac{3}{(n-1)^{2}}. $

3) 当$\sin\frac{\pi}{2n} \leq x \leq y_{1}$时,

$ \sin^{2}\frac{(k+1)\pi}{2n}-\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}=\sin\frac{(2k+1)\pi}{2n}\sin\frac{\pi}{2n} \leq \sin\frac{\pi}{2n}. $

由文献[10]中

$ n = {2^{2(n - 1)}}\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {{{\cos }^2}} \frac{{k\pi }}{{2n}} = {2^{2(n - 1)}}\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {{{\sin }^2}} \frac{{k\pi }}{{2n}}, $

得

$ \begin{eqnarray*}\prod \limits_{k=1}^{n-1} \sin^{2}\frac{k\pi}{2n}&=&\frac{n}{2^{2(n-1)}},\\ p(x)&=& \prod\limits_{k=1}^{n-1}(x+x_{k}) \geq \prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}+\sin\frac{\pi}{2n}\right) \\&\geq &\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sin^{2}\frac{(k+1)\pi}{2n}\right)= \prod\limits_{k=2}^{n}\left(\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\right)\\ & =& \frac{\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sin^{2}\frac{k \pi}{2n}\right)}{\sin^{2}\frac{\pi}{2n}} \geq \left(\frac{2n}{\pi}\right)^{2} \frac{n}{2^{2(n-1)}}=\frac{4n^{3}}{2^{2(n-1)} \pi^{2}},\\ \\ |p(-x)|&= & \prod\limits_{k=1}^{n-1}|x_{k}-x| = \prod\limits_{k=1}^{n-1}\left|\frac{1+\xi_{n-k}}{2}-x\right| \\ &= & \frac{1}{2^{n-1}}\prod\limits_{k=1}^{n-1}|1+\xi_{n-k}-2x|=\frac{2^{n-1}\prod\limits_{k=1}^{n-1}|2x-1-\xi_{n-k}|} {2^{2(n-1)}} \\& = & \frac{U_{n-1}(2x-1)}{2^{2(n-1)}}=\frac{|\sin n \arccos(2x-1)|}{2^{2(n-1)}\sqrt{1-(2x-1)^{2}}},\end{eqnarray*} $

其中$\sqrt{1-(2x-1)^{2}}=2\sqrt{x(1-x)} \geq 2\sqrt{\sin \frac{\pi}{2n}(1-\sin\frac{\pi}{2n})} \geq\sqrt{\sin \frac{\pi}{2n}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}.$ 由以上得

$ |h_{n-1}(\widetilde{U};x)|=\frac{|p(-x)|}{p(x)}\leq\frac{\pi^{2}\sqrt{n}}{4n^{3}}. $

由上式得

$ |e_{n-1}(\widetilde{U};x)|\leq\frac{2x|h_{n-1}(\widetilde{U};x)|}{1-|h_{n-1}(\widetilde{U};x)|} \leq3x|h_{n-1}(\widetilde{U};x)|\leq\frac{12\log(n-1)}{n-1}\frac{\pi^{2}\sqrt{n}}{4n^{3}} \leq\frac{1}{n^{2}}. $

4) 当$x_{1} \leq x \leq x_{m}=\sin^{2}\frac{m\pi}{2n}$ ($\exists m$使$\sin^{2}\frac{(m-1)\pi}{2n}\leq \sin\frac{\pi}{2n}\leq\sin^{2}\frac{m\pi}{2n}$)时, 对于某个$j, 1\leq j\leq m-1$, 有

$ \begin{eqnarray*} x_{j}&=&\sin^{2}\frac{j\pi}{2n} \leq x \leq \sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}=x_{j+1}, \sin^{2}\frac{(2j+1)\pi}{2n} \leq \sin^{2}\frac{2(j+1)\pi}{2n} \leq 1, \\ & &|r_{n-1}(\widetilde{U};x)|\\ & = &\left|x h_{n-1}(\widetilde{U};x)\right| =x \prod\limits_{k=1}^{n-1}\frac{|\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}-x|} {\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}+x} \leq x \frac{x-\sin^{2}\frac{j\pi}{2n}} {x+\sin^{2}\frac{j\pi}{2n}}\frac{\sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}-x} {\sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}+x} \\&\leq &x\left(\frac{\sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}-\sin^{2}\frac{j\pi}{2n}} {\sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}+\sin^{2}\frac{j\pi}{2n}} \right)^{2} \leq \sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}\frac{\sin^{2}\frac{(2j+1)\pi}{2n}\sin^{2}\frac{\pi}{2n}}{4\sin^{4}\frac{j\pi}{2n}}\\ &\leq &\frac{\sin^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}\sin^{2}\frac{2(j+1)\pi}{2n}}{4\sin^{4}\frac{j\pi}{2n}}\sin^{2}\frac{\pi}{2n}\leq \frac{4\sin^{4}\frac{(j+1)\pi}{2n}\cos^{2}\frac{(j+1)\pi}{2n}}{4\sin^{4}\frac{j\pi}{2n}}\sin^{2}\frac{\pi}{2n}\\&\leq &\left(\frac{\sin\frac{(j+1)\pi}{2n}}{\sin\frac{j\pi}{2n}} \right)^{4} \sin^{2}\frac{\pi}{2n}\leq 16 \left(\frac{\pi}{2n}\right)^{2}=\frac{4\pi^{2}}{n^{2}}=\frac{C}{A_{n-1}},\end{eqnarray*} $

$\max\limits_{x_{1} \leq x \leq x_{m} \leq x_{n-1}}|h_{n-1}(\widetilde{U}; x)|  1$, 由文献[9]中定理2.3得

$ \max\limits_{x_{1} \leq x \leq x_{m} \leq x_{n-1}}|e_{n-1}(\widetilde{U};x)|=O\left( \frac{1}{A_{n-1}}\right). $

综合上面四种情形有

$ |e_{n-1}(\widetilde{U};x)|=||x|-r_{n-1}(\widetilde{U};x)|=O\left(\frac{1}{n^{2}}\right). $

下面我们来说明这个逼近阶是不能改善的, 有以下定理:

定理2  取$x^{*}=\frac{1}{2n^{2}}$, 那么有下式成立：

$ |e_{n-1}(\widetilde{U};x^{*})|\geq \frac{1}{18n^{2}}. $

证  当$n>e^{3}+1$时, $x^{*} \in [0, x_{1}]$且$0\leq h_{n-1}(\widetilde{U}; x^{*})=\frac{p(-x^{*})}{p(x^{*})}\leq 1, $其中

$ \begin{eqnarray*}    h_{n-1}(\widetilde{U};x^{*})=\prod\limits_{k=1}^{n-1}\frac{x_{k}-x^{*}}{x_{k}+x^{*}} \geq 3^{-2x^{* }\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{x^{k}}}\geq 3^{-4x^{*}n^{2}} \geq \frac{1}{9}\left( \frac{x^{*}}{x_{1}}\leq \frac{1}{2}\right), \\    n^{2}|e_{n-1}(\widetilde{U};x^{*})|=\frac{h_{n-1}(\widetilde{U};x^{*})}{1+h_{n-1}(\widetilde{U};x^{*})} \geq \frac{1}{2}h_{n-1}(\widetilde{U};x^{*}) \geq \frac{1}{18}.\end{eqnarray*} $

定理得证.

综上所述, 我们可以得到插值结点组$X$取作调整的第二类Chebyshev结点的Newman型有理算子逼近$|x|$的确切逼近阶为$O\left(\frac{1}{n^{2}} \right)$, 和结点组取作调整的第一类Chebyshev结点的结果相同.这个结果优于结点组取作第一类Chebyshev结点组^[7]、第二类Chebyshev结点组^{[10, 11]}、等距结点组^[6]和正切结点组^[12].

我们进一步分析:第一类Chebyshev结点组$\left\{ x_{k}=\cos\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right\}_{k=1}^{n}$ (见文献[7]), 为了以下叙述方便, 我们把它记作:

$ T=\left\{ x_{k}=\sin\frac{(2k-1)\pi}{4n} =\cos\frac{(2n-2k+1)\pi}{4n}\right\}_{k=1}^{n}; $

第二类Chebyshev结点组记作: $U=\left\{ x_{k}=\sin\frac{k\pi}{2n} \right\}_{k=1}^{n-1}$ (见文献[11]).

调整第一类Chebyshev结点组$\widetilde{T}=\left\{ x_{k}=\frac{1+\xi_{n-k+1}}{2}=\sin^{2}\frac{(2k-1)\pi}{4n} \right\}_{k=1}^{n}$ (见文献[8]); 调整第二类Chebyshev结点组

$ \widetilde{U}=\left\{ x_{k}=\frac{1+\xi_{n-k}}{2}=\cos^{2}\frac{(n-k)\pi}{2n}=\sin^{2}\frac{k\pi}{2n} \right\}_{k=1}^{n-1}. $

通过观察以上四个结点组, 我们可以发现: $X$取两类调整Chebyshev结点组得到逼近阶为$O(\frac{1}{n^{2}})$, 和$X$取$\left\{ x_{k}=\left(\frac{k}{n}\right)^{2} \right\}_{k=1}^{n}$ (见文献[9])得到的逼近阶一致; 而$X$取两类Chebyshev结点组得到逼近阶为$O(\frac{1}{n \log n})$, 和$X$取等距结点组(见文献[6])、正切节点组(见文献[12])得到的逼近阶一致.

另一方面, 第一类Chebyshev结点组和第二类Chebyshev结点组都是1点附近稠密、0点附近稀疏, 即:结点在区间$[0, 1]$内向1点集中, 得到确切的逼近阶为$O(\frac{1}{n \log n})$; 而调整的第一类Chebyshev结点组和调整的第二类Chebyshev结点组都是结点关于$\frac{1}{2}$对称, 且在0和1点附近稠密、$\frac{1}{2}$点附近稀疏, 即:结点在区间$[0, 1]$两端集中而中间分散, 得到确切的逼近阶为$O(\frac{1}{n^{2}})$.