对于任意非负整数$n$, 著名的Fermat数$F_n$定义为: $F_n= 2^{2^n}+1$.例如$F_0=3$, $F_1=5$, $F_2=17$, $F_3=257$, $F_4=65537$, $\cdots$.这前五个数都是素数.于是Fermat曾猜测对所有非负整数$n$, $F_n$为素数.然而, 在1732年, Euler发现$F_5=641\times 6700417$为合数!这些数在平面几何中也是有趣的, Gauss曾证明如果$F_n$是一个素数, 那么正$F_n$边形能够用直尺和圆规画出.是否存在无穷多个Fermat素数仍然是一个未解决的难题.目前仅仅知道很少几个Fermat素数.有关它的内容可参阅文献[1, 8].

本文的主要目的是利用初等及解析方法研究一类以Fermat素数为模的Dirichlet $L$ -函数加权均值的计算问题, 获得一个有趣的计算公式.具体地说如下:

定理 对任意非负整数$n$, 如果$F_n$为素数, 那么我们有恒等式

$\sum\limits_{\scriptstyle\chi \bmod {F_n}\atop \scriptstyle\chi ( - 1) = - 1} {} \chi\left(F_{n-1}\right)\left|L(1, \chi)\right|^2=\frac{\pi^2}{24}\cdot\frac{1}{ F_n}\cdot \left(1-\frac{1}{F_n}\right)\cdot\left(F_{n-1}-1\right)\cdot\left(F_{n-1}-2\right)\cdot\left(F_{n-1}-3\right), $

其中$\displaystyle\mathop{\sum_{\chi\bmod F_n}}_{\chi(-1)=-1} $表示对模$F_n$的所有奇特征求和.

特别当$n=3$及$4$时, 我们有下面的恒等式

$\sum\limits_{\scriptstyle\chi \bmod {257}\atop \scriptstyle\chi ( - 1) = - 1} {} \chi\left(17\right)\cdot\left|L(1, \chi)\right|^2=\frac{35840}{66049}\cdot \pi^2 $

及

$\sum\limits_{\scriptstyle\chi \bmod {65537}\atop \scriptstyle\chi ( - 1) = - 1} {} \chi\left(257\right)\cdot\left|L(1, \chi)\right|^2= \frac{45277511680}{4295098369}\cdot \pi^2. $

为方便定理的证明, 我们需要借助于Dedekind和的性质, 这里给出其定义:对任意正整数$k$及任意整数$h$, 经典的Dedekind和$S(h, k)$定义为

$S(h, k) = \sum\limits_{a = 1}^k {\left( {\left( {\frac{a}{k}} \right)} \right)} \left( {\left( {\frac{{ah}}{k}} \right)} \right), $

其中

$((x)) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - [x] - \frac{1}{2}, 如果x{\rm{不是一个整数, }}}\\ {0, 如果\;x{\rm{是一个整数.}}} \end{array}} \right.$

关于这一和式的性质, 有不少数论专家及数论爱好者进行了研究, 获得了一系列有意义的结论, 参阅文献[2-7].特别是张文鹏教授^[7]建立了这一和式与Dirichlet $L$-函数之间的转换关系, 即如下:

引理2.1 设$q>2 $是一个整数, 那么对任意正整数$a$且$(a, \ q)=1$, 有恒等式

${\rm{ }}S{\rm{(}}a{\rm{, }}q{\rm{) = }}\frac{1}{{{\pi ^2}q}}\sum\limits_{d|q} {\frac{{{d^2}}}{{\phi (d)}}} \sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {\chi \, \bmod \, {F_n}}\\ {\chi ( - 1) = - 1} \end{array}} {} \chi (a)|L(1, \chi ){|^2}, $

其中$\phi(n)$为Euler函数, $\displaystyle \mathop{\sum_{\chi \bmod d}}_{\chi(-1)=-1}$表示对模$ d$的所有奇特征求和, $L(s, \chi)$是对应于$\chi$的$L$ -函数.

证 参阅文献[8]中引理2.

引理2.2 对于任意正整数$n$, 有恒等式

$ F_n\cdot S\left(F_{n-1}, F_n\right)=\frac{1}{24}\cdot \left(F_{n-1}-1\right)\cdot \left(F_{n-1}-2\right)\cdot \left(F_{n-1}-3\right). $

证 首先对任意正整数$m>n$, 我们有$\left(F_n, F_m\right)=1$.事实上由Fermat数的定义及因式分解有

$F_m=2^{2^m}+1=2^{2^m}-1+2= (2^{2^{m-1}}-1)\cdot (2^{2^{m-1}}+1)+2=(2^{2^{m-1}}-1)\cdot F_{m-1}+2.$

反复使用这个公式有

$ F_m=\left(2^{2^{n}}-1\right)\cdot F_n\cdot F_{n+1}\cdots F_{m-1}+2. $

注意到$F_n$为奇数, 所以由此及最大公约数的性质立刻推出$\left(F_n, F_m\right)=\left(2, F_n \right)=1$.其次, 由Dedekind和的互反公式(参阅文献[6])知道当正整数$(h, q)=1$时, 有

$\begin{eqnarray} S(h, q)+S(q, h)=\frac{h^2+q^2+1}{12hq}-\frac{1}{4}. \end{eqnarray}$

(2.1)

由(2.1) 式并应用$\left(F_n, F_m\right)=1$, 也可得到

$\begin{eqnarray} S\left(F_n, F_{n-1}\right)=S\left(2, F_{n-1}\right)= \frac{F^2_{n-1}+4+1}{24F_{n-1}}-\frac{1}{4}-S\left(F_{n-1}, 2\right)\nonumber\\ = \frac{F^2_{n-1}+4+1}{24F_{n-1}}-\frac{1}{4}-S(1, 2)= \frac{F^2_{n-1}+4+1}{24F_{n-1}}-\frac{1}{4}. \end{eqnarray}$

(2.2)

注意到$F^2_{n-1}= \left(2^{2^{n-1}}+1\right)^2= F_n + 2F_{n-1}-2$, 结合(2.1) 及(2.2) 式, 有

$ S(F_{n-1}, F_{n})=\frac{F_n^2+F_{n-1}^2+1}{12F_nF_{n-1}}-\frac{1}{4}-S(F_n, F_{n-1}) =\frac{F_n^2+F_{n-1}^2+1}{12F_nF_{n-1}}-\frac{F^2_{n-1}+4+1}{24F_{n-1}}\nonumber\\ =\frac{F_n}{12F_{n-1}} + \frac{F_n+2F_{n-1}-1}{12F_nF_{n-1}}-\frac{F_{n-1}}{24}-\frac{5}{24F_{n-1}}\nonumber\\ =\frac{F_{n-1}^2-2F_{n-1}+2}{12F_{n-1}} + \frac{F_n+2F_{n-1}-1}{12F_nF_{n-1}}-\frac{F_{n-1}}{24}-\frac{5}{24F_{n-1}}\nonumber\\ =\frac{1}{24F_n}(F_nF_{n-1}-4F_n+\frac{F_n}{F_{n-1}}+4-\frac{2}{F_{n-1}})\nonumber\\ =\frac{1}{24F_n}((F^2_{n-1}-2F_{n-1}+2)F_{n-1}-4(F^2_{n-1}-2F_{n-1}+2)+\frac{F^2_{n-1}-2F_{n-1}+2}{F_{n-1}}+4-\frac{2}{F_{n-1}})\nonumber\\ =\frac{1}{24F_n}(F_{n-1}^3-6F^2_{n-1}+11F_{n-1}-6)=\frac{1}{24F_{n}}(F_{n-1}-1)(F_{n-1}-2)(F_{n-1}-3). $

所以有

$ F_n\cdot S\left(F_{n-1}, F_{n}\right)=\frac{1}{24}\left(F_{n-1}-1\right)\left(F_{n-1}-2\right)\left(F_{n-1}-3\right). $

于是证明了引理2.2.

这节我们将完成定理的证明.事实上如果$F_n$为素数, 那么$\phi\left(F_n\right)=F_{n}-1$, 应用引理2.1及引理2.2有

$\begin{array}{l} S\left( {{F_{n - 1}}, {F_n}} \right) = \frac{1}{{{\pi ^2}{F_n}}}\sum\limits_{d|{F_n}} {\frac{{{d^2}}}{{\phi (d)}}} \sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {\chi \, \bmod \, d}\\ {\chi ( - 1) = - 1} \end{array}} {} \chi \left( {{F_{n - 1}}} \right)|L(1, \chi ){|^2}\\ = \frac{{F_n^2}}{{{\pi ^2} \cdot \phi \left( {{F_n}} \right)}}\sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {\chi \, \bmod \, {F_n}}\\ {\chi ( - 1) = - 1} \end{array}} {} \chi \left( {{F_{n - 1}}} \right)|L(1, \chi ){|^2} \end{array}$

或者

$\begin{array}{l} \sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {\chi \, \bmod \, {F_n}}\\ {\chi ( - 1) = - 1} \end{array}} {} \chi \left( {{F_{n - 1}}} \right)|L(1, \chi ){|^2} = {\pi ^2} \cdot \frac{1}{{{F_n}}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{F_n}}}} \right) \cdot {F_n} \cdot S\left( {{F_{n - 1}}, {F_n}} \right)\\ = \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} \cdot \frac{1}{{{F_n}}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{F_n}}}} \right) \cdot \left( {{F_{n - 1}} - 1} \right) \cdot \left( {{F_{n - 1}} - 2} \right) \cdot \left( {{F_{n - 1}} - 3} \right). \end{array}$

于是完成了定理的证明.

由引理2.2也不难看出对任意正整数$n\geq 2$, $F_n\cdot S\left(F_{n-1}, F_n\right)$是正整数, 同时还包含了一系列同余式, 这里不妨列举几个, 例如:

$F_n\cdot S\left(F_{n-1}, F_n\right)\equiv 0\bmod 2^{2^{n-1}-2}\cdot F_{n-2}\cdot F_{n-3}\cdots F_1\cdot F_0$

及

$ 2^{2^{n-1}-2} | F_n\cdot S\left(F_{n-1}, F_n\right), \ \ 2^{2^{n-1}-1} \nmid F_n\cdot S\left(F_{n-1}, F_n\right).$