1944年, Lurie和Postnikov发表一篇经典论文^[1], 提出了控制系统稳定的新问题, 就此提出了绝对稳定性问题, 随后60多年, 绝对稳定性问题被国内外学者广泛研究. Lurie和绝对稳定性问题还在吸引许多国家的科学家和工程师们的注意.迄今为止, 大约有2000多篇关于绝对稳定性的论文、综述和书籍出版发行, 经典的有Khali ^[2], Lefschetz ^[3]和Popov ^[4].廖晓昕在文[5, 6]对Lurie型控制系统给出了绝对稳定的一些充分条件和特殊情况下的充要条件, 赵素霞、仵永先等在文[7-10]得到了具有多非线性项的Lurie系统的Lyapunov函数存在的充要条件, 吴敏等在文[10]得到了一些新结果.甘作新、仵永先等在文[11-14]对一般Luire系统的绝对稳定性给出了一些充要条件和充分条件; Rapoport等^[15-18]获得了具有叠非线性元的Lurie控制系统绝对稳定的充要条件和充分条件, 然而由于研究的复杂性和困难性, 具有重叠非线性项的一般Lurie系统的绝对稳定性的研究却很少.在本文, 通过关于某个变元绝对稳定的概念, 我们研究了的具有叠多非线性项的一般Lurie系统的绝对稳定性问题, 给出了绝对稳定的一些充要条件和充分条件.进一步, 一个数值例子说明了结果的有效性.

考虑如下具有重叠多非线性项的一般Lurie控制系统

$\begin{equation} \label{eq:1} \left\{ \begin{aligned} \dot{x}=Ax +B\phi(\xi), \\ \xi=C^Tx+D\varphi(\sigma), \\ \sigma=E^Tx-F\varphi(\sigma), \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.1)

这里$x\in R^n$是状态向量, $A\in R^{n \times n}$, Re$\lambda (A)\leq 0$, $B, C\in R^{n \times m}$, $D\in R^{m \times p}$, $E\in R^{n \times p}$, $F\in R^{p \times p}$, 且$F\geq 0$ (即$F$是非负对角阵), $\xi \in R^m$, $\sigma\in R^p$, $\phi_i(\cdot), \varphi_j(\cdot) \in K[0, +\infty)$,

$ \phi(\xi)={\hbox{col}}(\phi_1(\xi_1), \phi_2(\xi_2), \cdots, \phi_m(\xi_m)), \\ \varphi(\sigma)={\hbox{col}}(\varphi_1(\sigma_1), \varphi_2(\sigma_2), \cdots, \varphi_p(\sigma_p)), $

$i=1, 2, \cdots, m$, $j=1, 2, \cdots, p$. $K[0, +\infty)=\{\mu:\mu(0)=0, \upsilon \mu(\upsilon)>0$, 当$\upsilon\neq 0$时, $\mu(\cdot)\in C(-\infty, +\infty)\}$.

若矩阵$F=0$时, 则系统(2.1) 就是Lurie型重叠多非线性控制系统.

注2.1 对任意$x\in R^n$, 记$\|x\|=(x^Tx)^{\frac{1}{2}}$; 对任意矩阵$P\in R^{n \times n}$, $P>0 (<0)$, 表示$P$是正定(负定)矩阵; $P\geq 0 (\leq 0)$, 表示$P$是半正定(半负定)矩阵.

定义2.1 系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi (\eta, \sigma)$是绝对稳定的, 若对任意$\forall$ $\phi, \varphi\in K[0, \infty)$, 且$\forall$ $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta (\varepsilon)>0$, 使得初值$||x(t_0)||<\delta (\varepsilon)$, 则系统(2.1) 的解$x(t, t_0, x_0)$满足$\|\xi\| (\|\eta\|, \|\sigma\|)<\varepsilon$, 当$t\geq t_0$时; 且$\forall$ $\tilde{x}_0\in R^n$, 有

$\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\xi(t, t_0, x_0)=0 (\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}(\eta(t, t_0, x_0)=0, \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\sigma(t, t_0, x_0)=0).$

若矩阵$A$所有特征值的实部均为负(即矩阵$A$是稳定的), 则系统(2.1) 属于主要情况.

定理2.1  系统(2.1) 在主要情况下的平凡解关于变元$x$绝对稳定的充要条件是系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$绝对稳定.

证 必要性 由$\sigma=E^Tx-F\varphi(\sigma)$, 得$\sigma+F\varphi(\sigma)=E^Tx$, 因为$F$是非负对角阵, 且$\varphi_j(\sigma_j)\in K[0, +\infty)$, $j=1, 2, \cdots, p$, 即

$\begin{equation} \label{eq:2} \left\{ \begin{aligned} \varphi_j(\sigma_j)>0, \sigma_j>0, \\ \varphi_j(\sigma_j)=0, \sigma_j=0, \\ \varphi_j(\sigma_j)<0, \sigma_j<0, \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.2)

于是$\|\sigma\|\leq\|\sigma+F\varphi(\sigma)\|=\|E^Tx\|\leq\|E^T\|\cdot\|x\|$.根据定理2.1的假设条件, 系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$是绝对稳定的, 即$\forall$ $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta_1 (\varepsilon)>0$, 使得当$\|x_0\|<\delta_1(\varepsilon)$时, 有$\|x\|<\displaystyle\frac{\varepsilon}{2||E^T||}$.由于$\varphi_j(\sigma_j)\in K[0, +\infty)$, $\varphi(\sigma)$是连续的, 对上述的$\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta_2(\varepsilon)>0$, 使得当$\|\sigma\|<\delta_2(\varepsilon)$时, $\|\varphi(\sigma)\|<\displaystyle\frac{\varepsilon}{2\|D\|}$.令$\delta=\min\{\delta_1, \delta_2/\|E^T\|\}$, 对$\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta(\varepsilon)>0$, 使得当$\|x_0\|<\delta$时, 有$\|\sigma\|\leq\|E^T\|\cdot\|x\|$, 且

$ \|\xi\|\leq\|C^T\|\cdot\|x\|+\|D\|\cdot\|\varphi(\sigma)\| <\|C^T||\cdot\displaystyle\frac{\varepsilon}{2\|C^T\|}+\|D\|\cdot\displaystyle\frac{\varepsilon}{2\|D\|} =\varepsilon, $

于是系统(2.1) 的平凡解对变元$\xi$是稳定的.

因为对$\forall$ $x_0 \in R^n$, $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t, t_0, x_0)=0$, 且$\|\sigma\|\leq\|\sigma+F\varphi(\sigma)\|=\|E^Tx\|\leq\|E^T\|\cdot\|x\|$, 可得$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\|\sigma\|=0$, 又由$\varphi(\sigma)$是连续的, 可得$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\|\varphi(\sigma)\|=0$, 又$\xi=C^Tx+D\varphi(\sigma)$, 于是

$\|\xi\|\leq \|C^T\|\cdot\|x\|+\|D\|\cdot\|\varphi(\sigma)\|, $

进而$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\xi=0$, 因此系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$是绝对稳定的.

充分性 由常数变易公式, 系统(2.1) 的任意解$x(t)=x(t, t_0, x_0)$可表达为

$x(t) = {e^{A(t- {t_0})}}x({t_0}) + \int_{{t_0}}^t {{e^{A(t- \tau )}}} B\phi (\xi )d\tau .$

(2.3)

因矩阵$A$是稳定的, 故$\exists$ $\alpha>0$, $\beta>0$, 使得$||e^{A(t-t_0)}||\leq \beta e^{-\alpha (t-t_0)}$.又

$ ||x(t)|| \leq ||e^{A(t-t_0)}|| \cdot ||x(t_0)|| +\int^t_{t_0}||e^{A(t-\tau)}||\cdot ||B||\cdot ||\phi(\xi)||d\tau, $

于是有

$ ||x(t)||\leq \beta e^{-\alpha(t-t_0)} \cdot ||x(t_0)|| +\beta \cdot ||B||\int^t_{t_0}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot ||\phi(\xi)||d\tau. $

因为系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$绝对稳定, 以及$\phi$为连续函数, 对$\forall$ $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta_1(\varepsilon)>0$, $t_1>t_0$, 使得当$||x(t_0)||<\delta_1(\varepsilon)$时, 有

$ \beta \cdot \|B\|\int^t_{t_1}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot \|\phi(\xi)\|d\tau<\displaystyle\frac{\varepsilon}{3}, $

且

$ \beta \cdot \|B\|\int^{t_1}_{t_0}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot \|\phi(\xi)\|d\tau<\displaystyle\frac{\varepsilon}{3}. $

记$\delta_2(\varepsilon)=\displaystyle\frac{\varepsilon}{3\beta}$, 取$\delta(\varepsilon)=\mbox{min}\{\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)\}$, 则若$||x(t_0)||<\delta(\varepsilon)$, 可推出下面不等式

$ \begin{array}{lll} \|x(t)\|\leq \|e^{A(t-t_0)}\| \cdot \|x(t_0)\| +\beta\|B\|\int^{t_1}_{t_0}\|e^{\alpha(t-\tau)}\|\cdot \|\phi(\xi)\|d\tau \\ +\beta\|B\|\int^t_{t_1}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot ||\phi(\xi)||d\tau \\ \leq \beta\cdot\displaystyle\frac{\varepsilon}{3\beta}+\displaystyle\frac{\varepsilon}{3} +\displaystyle\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon. \end{array} $

因此系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$是稳定的.

由式(2.3) 且$A$是稳定的, 则(2.3) 式右边第一项

$\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}e^{A(t-t_0)}x(t_0)=0.$

接下来仅考虑(2.3) 式右边第二项

$\displaystyle\int^t_{t_0}e^{A(t-\tau)}B\phi(\xi)d\tau, $

由于$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\xi=0$且函数$\phi(\xi)$是连续的, 于是$\phi(0)=0$, 则$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\phi(\xi)=0$.进一步有

$||\displaystyle\int^t_{t_0}e^{A(t-\tau)}B\phi(\xi)d\tau|| \leq \displaystyle\int^t_{t_0}||e^{A(t-\tau)}B\phi(\xi)||d\tau \leq \beta||B||\displaystyle\int^t_{t_0}e^{-\alpha(t-\tau)}||\phi(\xi)||d\tau, $

又

$\int_{{t_0}}^t {{e^{- \alpha (t - \tau )}}} ||\phi (\xi )||d\tau = \frac{{\int\limits_{{t_0}}^t {{e^{\alpha \tau }}} ||\phi (\xi )||d\tau }}{{{e^{\alpha t}}}}.$

(2.4)

若分子有界, 则当$t \rightarrow+\infty$时, (2.3) 式为0;否则, 若上式分子无界, 则由L’Hospital法则, 对分子分母同时求导, 得到

$ \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{e^{\alpha t}||\phi(\xi)||}{\alpha e^{\alpha t}}= \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{||\phi(\xi)||}{\alpha}=0. $

由此可得$ \displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t)=0$, 故系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$是绝对稳定的.

为方便起见, 在系统(2.1) 中, 记$\eta =C^Tx$, 则有

定理2.2  系统(2.1) 在主要情况下的平凡解关于变元$x$绝对稳定的充要条件是系统(2.1) 的平凡解关于变元$\eta$和$\sigma$绝对稳定.

证 必要性 因为系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$绝对稳定, 则对$\forall$ $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta_1 (\varepsilon)>0$, 使得当$\|x_0\|<\delta_1(\varepsilon)$时, 有$\|x\|<\displaystyle\frac{\varepsilon}{2||E^T||}$, 又$\|\sigma\|\leq\|\sigma+F\varphi(\sigma)\|=\|E^Tx\|\leq\|E^T\|\cdot\|x\|<\varepsilon$, 故系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$稳定.由定理2.1必要性的证明可知系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$绝对稳定.由于$\|\eta\|\leq\|C^T\|\cdot\|x\|$, 同理可证系统(2.1) 的平凡解关于变元$\eta$绝对稳定.

充分性 由于系统(2.1) 的平凡解关于变元$\eta$和$\sigma$绝对稳定, 又$\|\xi\|\leq \|C^Tx\|+\|D\|\cdot\| \varphi(\sigma)\|$, 及$\eta=C^Tx$, 故得$\|\xi\|\leq \|\eta\|+\|D\|\cdot\| \varphi(\sigma)\|$, 由此可以方便地证明系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$绝对稳定, 再由定理2.1, 可得系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$绝对稳定.

上面两个定理都是充分条件, 下面给出两个便于应用的充分条件：

定理2.3  若下面条件满足

(1) 矩阵$A$至少有稳定度$\alpha >0$, 即有估计式$\|e^{A(t-t_0)}\|\leq \beta e^{-\alpha(t-t_0)}$;

(2)$0\leq \phi(\xi)\leq K_1\xi$, $0\leq \varphi(\sigma)\leq K_2\sigma$;

则当$\beta \|K_1\|\cdot\|B\|(\|C^T\|+\|D\|\cdot\|E^T\|\cdot\|K_2\|)<\alpha$时, 系统(2.1) 的平凡解在Hurwitz角域$[0, K_1;0, K_2]$内绝对稳定.

注2.2  这里$\beta$为正的常数, $K_1 \in R^{m \times m}$, $K_2 \in R^{p \times p}$是对角阵.

证 由常数变易公式, 系统(2.1) 的任意解$x(t)=x(t, t_0, x_0)$为

$ x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int^t_{t_0}e^{A(t-\tau)}B\phi(\xi)d\tau, $

于是有

$ \begin{array}{rcl} \|\xi\| \leq \|C^T\|\cdot\|x(t)\|+\|D\|\cdot\|\varphi(\sigma)\|\\ \leq \|C^T\|\cdot\|x(t)\|+\|D\|\cdot\|E^T\|\cdot\|K_2\|\cdot\|x(t)\|\\ =(\|C^T\|+\|D\|\cdot\|E^T\|\cdot\|K_2\|)\cdot\|x(t)\|\\ \leq h\cdot[\beta e^{-\alpha(t-t_0)}\|x(t_0)\| +\|K_1\|\cdot\|B\| \int_0^t\beta e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot\|\xi\|d\tau], \end{array} $

在不等式两边都乘以$e^{\alpha(t-t_0)}$, 得

$ \begin{array}{c} e^{\alpha(t-t_0)}\|\xi\| \leq h\beta\cdot\|x(t_0)\| +h \beta \|K_1\|\cdot\|B\|\int^t_{t_0}\cdot e^{\alpha(\tau-t_0)}\|\xi\|d\tau, \end{array} $

这里$h=\|C^T\|+\|D\|\cdot\|E^T\|\cdot\|K_2\|$.

由Gronwall-Bellman不等式, 有

$ e^{\alpha(t-t_0)}\|\xi\|\leq h \beta \|x(t_0)\|e^{h\beta \|K_1\|\cdot\|B\|(t-t_0)}, $

即

$ \|\xi\|\leq h\beta \|x(t_0)\|e^{[-\alpha+h\beta \|K_1\|\cdot\|B\|](t-t_0)}, $

由条件(2) 得

$ \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}e^{[-\alpha+h\beta \|K_1\|\cdot\|B\|](t-t_0)}=0. $

即

$ \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\|\xi\|=0. $

接下来, 与定理2.1充分性的证明相似, 得到系统(2.1) 的平凡解关于变元$\xi$绝对稳定, 进一步, 系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$绝对稳定.

定理2.4  若矩阵$A$是稳定的, 且满足下面条件:

(1) 矩阵$CC^TA+A^TCC^T$半负定;

(2) 矩阵$EE^TA+A^TEE^T$半负定;

(3) $C^TB+B^TC$负定;

(4) $\displaystyle\frac{1}{2}E^TB =D^TC^TB$;

(5) $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\varphi^T(\sigma)F\varphi(\sigma)=+\infty$, 或者$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_0^{\sigma}\varphi^T(\sigma)d\sigma=+\infty$ (若$F=0$, 则只取后者); 则系统(2.1) 的平凡解关于变元$x$绝对稳定.

证 构造系统(2.1) 的Lyapunov函数为

$V = \frac{1}{2}\int\limits_0^\sigma {{\varphi ^T}} (\sigma )d\sigma \frac{1}{4}{\varphi ^T}(\sigma )F\varphi (\sigma ) + \frac{1}{2}{\eta ^T}\eta .$

(2.5)

由定理的条件(5) 可知Lyapunov函数是无穷大正定的, 则有

$\begin{array}{*{20}{c}} {\dot V{|_{(2.1)}} = \frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma ) \cdot {E^T}[Ax + B\phi (\xi )] + \eta \cdot {C^T}[Ax + B\phi (\xi )]}\\ { = \frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma ){E^T}Ax + {x^T}C{C^T}Ax + [\frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma ) \cdot {E^T}B + {\eta ^T}{C^T}B]\phi (\xi ).} \end{array}$

(2.6)

首先, 考虑(2.6) 式最后一行的第一项$ \displaystyle\frac{1}{2}\varphi^T(\sigma)E^TAx $, 由于$\varphi_j(\cdot) \in K[0, +\infty)$, $j=1, 2, \cdots, p$, 则$ \varphi^T(\sigma)E^TAx $和$ [\varphi(\sigma)+\sigma]^TE^TAx $的符号相同, 于是仅考虑$ [\varphi(\sigma)+\sigma]^T E^TAx $的符号.因为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{[\varphi (\sigma ) + \sigma]}^T}{E^T}Ax = {x^T}E{E^T}Ax = \frac{1}{2}[{x^T}E{E^T}Ax + {x^T}{A^T}E{E^T}Ax]}\\ { = \frac{1}{2}{x^T}[E{E^T}A + {A^T}E{E^T}]x, } \end{array}$

(2.7)

由条件(2) 可得$[\varphi(\sigma)+\sigma]^TE^TAx<0$, 进而$ \varphi^T(\sigma)E^TAx <0$, 又由条件(1), 可得

$ x^TCC^TAx=\displaystyle\frac{1}{2}x^T[CC^TA+A^TCC^T]x, $

再由条件(3) 和(4), 可得

$\begin{array}{rl} [\displaystyle\frac{1}{2}\varphi^T(\sigma)\cdot E^TB+\eta^T\cdot C^TB]\phi(\xi)\\ =[\displaystyle\frac{1}{2}\varphi^T(\sigma)\cdot E^TB+C^Tx\cdot C^TB]\phi(\xi)\\ =[\displaystyle\frac{1}{2}\varphi^T(\sigma)\cdot E^TB+(\xi-D\varphi(\sigma))^T\cdot C^TB]\phi(\xi)\\ =[\displaystyle\frac{1}{2}\varphi^T(\sigma)\cdot E^TB-\varphi^T(\sigma)D^T\cdot C^TB]\phi(\xi) -\xi^T\cdot C^TB\phi(\xi)\\ =\varphi^T(\sigma)[\displaystyle\frac{1}{2} E^TB-D^TC^TB]\phi(\xi) -\displaystyle\frac{1}{2}\xi^T[C^TB+B^TC]\phi(\xi)\\ =-\displaystyle\frac{1}{2}\xi^T[C^TB+B^TC]\phi(\xi). \end{array}$

综上所述, $\dot{V}|_{(2.1)}$是负定的, 进一步, 系统(2.1) 的平凡解是绝对稳定的.

例3.1  考虑下面具有两个非线性项的一般Lurie二阶控制系统:

$\begin{equation} \label{eq:3.1} \left\{\begin{array}{ccl} \dot{x}_1=-2x_1+x_2-2\phi_1(\xi_1)+\phi_2(\xi_2), \\ \dot{x}_2=x_1-2x_2+\phi_1(\xi_1)-\phi_2(\xi_2), \\ \xi_1=0.5x_1+0.5x_2-\varphi_1(\sigma_1), \\ \xi_2=0.5x_1+x_2-\varphi_2(\sigma_2), \\ \sigma_1=x_1+x_2-2\varphi_1(\sigma_1), \\ \sigma_2=1x_1+2x_2-2\varphi_1(\sigma_1), \end{array}\right. \end{equation}$

(3.1)

这里

$ A=\left[\begin{array}{rr}-21\\1-2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-21\\1-1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}0.50.5\\0.51\end{array}\right], \\ D=\left[\begin{array}{rr}-10\\0-1\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{rr}11\\12\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{rr}20\\02\end{array}\right], $

$\phi_i(\cdot), \varphi_j(\cdot) \in K[0, +\infty)$, $i, j=1, 2$, 并且$\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}\varphi^T(\sigma)F\varphi(\sigma)=+\infty$, 或者

$\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_0^{\sigma}\varphi^T(\sigma)d\sigma=+\infty. $

显然定理2.4的条件(5) 满足.

构造系统(3.1) 的Lyapunov函数如下:

$V = \frac{1}{2}\int\limits_0^\sigma {{\varphi ^T}} (\sigma )d\sigma + \frac{1}{4}{\varphi ^T}(\sigma )\left[{\begin{array}{*{20}{r}} {20}\\ {02} \end{array}} \right]\varphi (\sigma ) + \frac{1}{2}{\eta ^T} \cdot \eta .$

(3.2)

计算Lyapunov函数的导数如下:

$\begin{array}{*{20}{c}} {\dot V{|_{(3.1)}} = \frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma ){E^T}Ax + {x^T}C{C^T}Ax + \left[{\frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma ) \cdot {E^T}B + {\eta ^T}{C^T}B} \right]\phi (\xi )}\\ { = \frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma )\left[{\begin{array}{*{20}{r}} {-1-2.5}\\ {-2.5 - 7} \end{array}} \right]x + {x^T}\left[{\begin{array}{*{20}{r}} {-0.25-0.625}\\ {-0.625 - 1.75} \end{array}} \right]x}\\ { + \left[{\frac{1}{2}{\varphi ^T}(\sigma ) \cdot \left[{\begin{array}{*{20}{r}} {10}\\ {01} \end{array}} \right] + {\eta ^T}\left[{\begin{array}{*{20}{r}} {-0.50}\\ {0-0.5} \end{array}} \right]} \right]\phi (\xi ).} \end{array}$

(3.3)

下面4个矩阵计算表明

$ CC^TA+A^TCC^T=\left[\begin{array}{rr}-0.5-1.25\\-1.25-3.5\end{array}\right]<0, \\ EE^TA+A^TEE^T=\left[\begin{array}{rr}-2-5\\-5-14\end{array}\right]<0, \\ C^TB+B^TC=\left[\begin{array}{rr}-10\\0-1\end{array}\right]<0, \\ \displaystyle\frac{1}{2}E^TB=D^TC^TB=\left[\begin{array}{rr}0.50\\00.5\end{array}\right], $

定理2.4的条件(1)-(4) 均满足, 于是由定理2.4可得, 系统(3.1) 的平凡解关于变元$x$是绝对稳定的.