在本文中, 首先给定概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$, 并假设对任意给定的$p\in \lbrack 0, 1]$, 存在$A\in \mathcal{F}$使得$P(A)=p$.记$L_{b}(\Omega)$为有界$\mathcal{F}$ -可测随机变量全体.

本文主要考虑如下的扭曲数学期望^[1]:

$ \mathcal{E}^{f}[X]:=f^{-1}(E_{P}[f(X)]), \text{ }X\in L_{b}(\Omega), $

其中扭曲函数$f\in C^{1}(\mathbb{R} )$是严格单调函数.易证$\mathcal{E}^{f}[\cdot]$是非线性数学期望(参见文献[2]), 即满足

(1) 单调性：若$X\leq Y$, 则$\mathcal{E} ^{f}[X]\leq \mathcal{E}^{f}[Y]$;

(2) 保常数性：对任给的常数$c$, 有$\mathcal{E}^{f}[c]=c$.

特别地, 我们把$f(x)=e^{\lambda x}$, $ \lambda \not =0$时的扭曲数学期望$\mathcal{E}^{f}[X]=\frac{1}{\lambda}\ln (E_{P}[e^{\lambda X}])$称为熵期望, 并简记为

$ \mathcal{E}^{\lambda}[X]=\frac{1}{\lambda}\ln(E_{P}[e^{\lambda X} ]), \lambda \not =0. $

这里值得注意的是当$\lambda<0$时, $\mathcal{E}^{\lambda}[\cdot ]$仍是非线性数学期望, 满足

$ \mathcal{E}^{\lambda}[X]=-\mathcal{E} ^{-\lambda}[-X]. $

另外, 如果该概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$为维纳概率空间, 该熵期望可由倒向方程引入^[3].

定理 2.1  对任意给定的$X\in L_{b}(\Omega)$, 熵期望$\mathcal{E}^{\lambda}[X]$关于$\lambda$是增函数且

$ \underset{\lambda \rightarrow0}{\lim}\mathcal{E}^{f}[X]=E_{P}[X]. $

证  在这里只证$\lambda>0$的情况, 而$\lambda <0$的情况类似可证.对任意给定的$\lambda_{2}>\lambda_{1} >0$, 由Hölder不等式$(E_{P}[e^{\lambda_{1} X}])^{1/_{\lambda_{1}}}\leq(E_{P}[e^{\lambda_{2}X}])^{1/_{\lambda_{2}}} $, 从而可以得出$\mathcal{E}^{\lambda_{1}}[X]\leq \mathcal{E}^{\lambda_{2}}[X]$.又由于$f(x)=e^{\lambda x}$是凸函数, 由Jessen不等式可得

$ E_{P}[e^{\lambda X}]\geq e^{\lambda E_{P} [X]}, $

从而可得$\mathcal{E}^{\lambda}[X]\geq E_{P}[X]$.另一方面, 由控制收敛定理可得

$ \underset{\lambda \downarrow0}{\lim}E_{P}[\frac{1}{\lambda}(e^{\lambda X}-1)]=E_{P}[X], $

从而对任给的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$使得当$\lambda \leq \delta$时, 有

$ E_{P}[e^{\lambda X}]\leq1+\lambda(E_{P}[X]+\varepsilon)\leq e^{\lambda (E_{P}[X]+\varepsilon)}\text{.} $

由上式易得

$ \underset{\lambda \downarrow0}{\lim }\mathcal{E}^{\lambda}[X]\leq E_{P}[X]+\varepsilon, $

又由$\varepsilon$的任意性以及不等式$\mathcal{E}^{\lambda}[X]\geq E_{P}[X]$可以得出$\mathcal{E}^{\lambda}[X]\downarrow E_{P}[X]$, 证毕！

以下为了方便起见, 我们把$E_{P}[\cdot]$看成$\lambda =0$对应的熵期望.易验证熵期望满足常数平移不变性：对任给的常数$C$有$\mathcal{E}^{\lambda }[X+C]=\mathcal{E}^{\lambda}[X]+C$.

定理 2.2  若扭曲数学期望$\mathcal{E}^{f}[\cdot]$满足常数平移不变性, 则$\mathcal{E}^{f} [\cdot]$为熵期望.

证  对任给的$a, b\in \mathbb{R}$和$p\in \lbrack0, 1]$, 取$A\in \mathcal{F} $使得$P(A)=p$, 令$X=aI_{A}+bI_{A^{C}}$.由$\mathcal{E}^{f}[\cdot]$满足常数平移不变性知$\mathcal{E}^{f }[X-b]=\mathcal{E}^{f}[X]-b$, 可得

$ f^{-1}(f(a-b)p+f(0)(1-p))=f^{-1}(f(a)p+f(b)(1-p))-b\text{.} $

为方便令$g(x)=f^{-1}(x)$, 上式两边关于$p$求导并令$p=0$可得

$ g^{^{\prime} }(f(0))(f(a-b)-f(0))=g^{^{\prime}}(f(b))(f(a)-f(b))\ \text{.} $

又由于对任给的$x\in \mathbb{R}$, 有$g^{^{\prime}}(f(x))f^{^{\prime}}(x)=1$, 从而由上式可得

$ f^{^{\prime}} (b)(f(a-b)-f(0))=f^{^{\prime}}(0)(f(a)-f(b))\text{.} $

上式两边再对$a$求导可得

$ f^{^{\prime}}(b)f^{^{\prime}}(a-b)=f^{^{\prime}}(0)f^{^{\prime}}(a)\text{.} $

令$h(x)=({f^{^{\prime}}(0)})^{-1}{f^{^{\prime}}(x)}>0, x_{1} =b, x_{2}=a-b$, 由上式可得对任给的$x_{1}, x_{2}\in \mathbb{R}$, 有

$ h(x_{1} +x_{2})=h(x_{1})h(x_{2}), $

又因$h$是连续函数, 由上式即得存在$\lambda \in \mathbb{R}$使得$h(x)=e^{\lambda x}$, 从而知$f^{^{\prime}}(x)=f^{^{\prime} }(0)e^{\lambda x }$.若$\lambda=0$, 可得$f(x)=f(0)+f^{^{\prime}}(0)x$, 此时$\mathcal{E} ^{f}[X]=E_{P}[X]$; 若$\lambda \not =0$, 可得

$ f(x)=f(0)-{\lambda}^{-1}{f{^{\prime}(0)}}+{\lambda}^{-1}{f^{^{\prime}} (0)}e^{\lambda x}, $

此时$\mathcal{E}^{f} [X]=\mathcal{E}^{\lambda}[X]$.