对于某种产品, 假设使用时只关心结果是成功还是失效. 当这种产品投入到市场一段时间后, 根据反馈的失效信息, 对产品进行改进, 再投入市场, 再改进, 如此反复, 使产品的可靠性不断增长, 失效率不断下降. 如何根据每一阶段得到的产品失效数据, 估计该阶段产品的失效率或可靠性, 是这类可靠性增长模型的基本问题. 基于几何分布和二项分布的可靠性增长模型文献上研究得比较多, 有很多成熟的结果, 而基于泊松分布的该类模型很少讨论. 本文就基于泊松分布的可靠性增长模型的失效率, 利用贝叶斯统计方法得出了贝叶斯点估计, 区间估计和其它一些相关结论.

设某一阶段产品的失效率为$p$, 产品投放市场后, 在一定时间长度内, 产品的使用数$\eta$服从参数为$\lambda $的泊松分布, 收到$\xi$次产品失效的数据, 则

$ P(\xi = x) = f(x|p) = \frac{{{{(\lambda p)}^x}{e^{ - \lambda p}}}}{{x!}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 0, 1, 2, \cdots $

(1.1)

需要根据$\xi$的观察值$x$, 估计$p$.

由于$\xi$的观察值通常较少, 如果用经典的矩估计$\hat p = \bar x/\lambda $, 则因样本的容量太少, 估计效果很差. 为了利用产品前阶段的信息, 故考虑$p$的贝叶斯估计.

对泊松分布而言, 采用共轭分布原则时, 通常取$p$的先验分布为$\pi (p) = Ga(\alpha, \beta )$, 即

$ \pi (p) = \frac{{{\beta ^\alpha }}}{{\Gamma (\alpha )}}{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} p \ge 0, \alpha > 0, \beta > 0, $

则$p$的后验密度

$ h(p|x) = \frac{{\pi (p)f(x|p)}}{{\int_0^{ + \infty } {\pi (p)f(x|p)dp} }} \\ = \frac{{\frac{{{\beta ^\alpha }}}{{\Gamma (\alpha )}}{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}\frac{{{{(\lambda p)}^x}{e^{ - \lambda p}}}}{{x!}}}}{{\int_0^{ + \infty } {\frac{{{\beta ^\alpha }}}{{\Gamma (\alpha )}}{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}\frac{{{{(\lambda p)}^x}{e^{ - \lambda p}}}}{{x!}}dp} }} \propto {p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}. $

即$h(p|x)$$\sim$$Ga(\alpha + x, \beta + \lambda )$, 在平方损失下, $p$的贝叶斯估计为

$ \hat p = E\{ h(p|x)\} = \frac{{\alpha + x}}{{\beta + \lambda }}. $

(2.1)

由于$p$是产品失效的概率, 而$Ga(\alpha, \beta )$的取值范围是$[0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} + \infty )$, 以$Ga(\alpha, \beta )$作为$p$的先验分布, 明显不妥. 因此, 本文提出用截尾伽玛分布作为分布(1.1)中$p$的先验分布, 即保证了分布的共轭性, 也符合实际问题对$p$的要求.

定义3.1  如果随机变量$X$分布密度的核为

$ {x^{\alpha- 1}}{e^{- \beta x}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \alpha > 0, \beta > 0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0 \le x \le \omega. $

即密度函数

$ f(x) = \frac{{{x^{\alpha- 1}}{e^{ - \beta x}}}}{{\int_0^\omega {{x^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta x}}dx} }}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0 \le x \le \omega, {\kern 1pt} \alpha > 0, \beta > 0, \omega > 0, $

(3.1)

则称$X$服从截尾伽玛分布, 记为X$\sim$$Ga(\alpha, \beta, \omega )$, $\omega$称为截尾系数. $\omega \to + \infty $时, (3.1)式即为通常的伽玛分布. 根据实际问题的需要, 适当选择$\omega$, 比如$p$表示概率时, 可选择$\omega = 1$.

定理3.1   截尾伽玛分布(3.1)是泊松分布(1.1)中$p$的共轭分布.

证  设$p$的先验分布

$ \pi (p) = \frac{{{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}}}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}dp} }}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0 \le p \le \omega, $

则$p$的后验密度

$ h(p|x) = \frac{{\pi (p)f(x|p)}}{{\int_0^\omega {\pi (p)f(x|p)dp} }} \\ \propto \frac{{{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}}}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta p}}dp} }}\frac{{{{(\lambda p)}^x}{e^{ - \lambda p}}}}{{x!}} \propto {p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}, $

从而

$ h(p|x) = \frac{{{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}}}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}. $

即$h(p|x)$$\sim$$Ga(a + x, \beta + \lambda, \omega )$是与先验分布具有相同的截尾系数的伽玛分布.

定理3.2  取$p$的先验分布为截尾伽玛分布(3.1)时, 在平方损失下, $p$的贝叶斯解为

$ \hat p = E\{ h(p|x)\} = \frac{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}. $

(3.2)

证  根据定理3.1

$ h(p|x) = \frac{{{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}}}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}. $

故

$ \hat p = E\{ h(p|x)\} = \frac{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}. $

定理3.3  $p$的贝叶斯解$\hat{p} $是关于截尾系数$\omega$的单调增加函数.

证

$ \frac{{d\hat p}}{{d\omega }} = \frac{{{\omega ^{a + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )\omega }}\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} - {\omega ^{a + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )\omega }}\int_0^\omega {{p^{\alpha + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}{{{{\left( {\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{{\omega ^{a + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )\omega }}[\int_0^\omega {\omega {p^{\alpha + x-1}}{e^{-(\beta + \lambda )p}}dp}-\int_0^\omega {{p^{\alpha + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp}]}}{{{{\left( {\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} } \right)}^2}}}. $

因为

$ \int_0^\omega {\omega {p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} \ge \int_0^\omega {{p^{\alpha + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp}, $

所以

$ \int_0^\omega {\omega {p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} - \int_0^\omega {{p^{\alpha + x}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} \ge 0, $

所以

$ \frac{{d\hat p}}{{d\omega }} \ge 0, $

所以$\hat{p} $是$\omega$的单调增加函数.

引理4.1  如果随机变量$X$$\sim$$Ga(\alpha, \beta )$, 则$2X\beta $$\sim$${\chi ^2}(2\alpha )$, $\alpha > 0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta > 0$.

证  因为$X$$\sim$$Ga(\alpha, \beta )$, 所以

$ p(x) = \frac{{{\beta ^\alpha }{x^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta x}}}}{{\Gamma (\alpha )}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \alpha > 0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta > 0, $

$ Y = 2\beta X \Rightarrow X = \frac{Y}{{2\beta }}. $

由随机变量的密度变换公式, 得

$ p(y) = \frac{{{\beta ^\alpha }\left( {\frac{y}{{2\beta }}} \right){e^{ - \beta y/2\beta }}}}{{\Gamma (\alpha )}}\frac{1}{{2\beta }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^\alpha }{y^{\alpha - 1}}{e^{ - \frac{y}{2}}}}}{{\Gamma (\alpha )}}. $

所以$Y = 2X\beta $$\sim$${\chi ^2}(2\alpha )$.

如果$p$的后验密度$h(p|x)$$\sim$$Ga(\alpha + x, \beta + \lambda )$, 则根据引理4.1,

$ 2p(\beta + \lambda )\sim{\chi ^2}(2(\alpha + x)), \\ P\left( {\chi _{a/2}^2(2\alpha + 2x) \le 2p(\beta + \lambda ) \le \chi _{1 - a/2}^2(2\alpha + 2x)} \right) = 1 - a. $

即

$ P\left( {\frac{{\chi _{a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}} \le p \le \frac{{\chi _{1 - a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}} \right) = 1 - a, \\ \left( {\frac{{\chi _{a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{\chi _{1 - a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}} \right) $

为$p$的置信度为$1-a$的置信区间.

如果$p$的先验分布为截尾伽玛分布

$ h(p|x) = \frac{{{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}}}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }}. $

当${\kern 1pt} {\kern 1pt} 0 \le x \le \omega $时,

$ h(p|x) = \frac{{{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}}}{{\int_0^\omega {{p^{\alpha + x - 1}}{e^{ - (\beta + \lambda )p}}dp} }} \ge {\kern 1pt} {\kern 1pt} Ga(\alpha + x, \beta + \lambda ), $

所以, 当满足

$ \left( {\frac{{\chi _{a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{\chi _{1 - a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}} \right) \subset (0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \omega ) $

时

$ P\left( {\frac{{\chi _{a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}} \le p \le \frac{{\chi _{1 - a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}} \right) \ge 1 - a. $

故

$ \left( {\frac{{\chi _{a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{\chi _{1 - a/2}^2(2\alpha + 2x)}}{{2(\beta + \lambda )}}} \right) $

可做为$p$的置信度为$1-a$的近似贝叶斯置信区间.