由于微分方程边值问题在物理, 生物和工程科学等领域的广泛应用, 对微分方程边值问题可解性的研究一直是诸多学者关注的课题. 线性二阶微分方程多点边值问题的可解性的研究起始于Il'in和Moiseev的工作^{[2, 3]}. 此后, Gupta^[4]研究了非线性二阶微分方程三点边值问题的可解性. 近来, 关于非线性微分方程各种不同类型的 多点边值问题的可解性的研究取得了大量的结果^{[1, 5-8, 10, 11]}. 在1999年, 文献[1]研究了下面的非线性二阶微分方程三点边值问题的正解的存在性:

$ u^{\prime\prime}+a(t)f(u)=0, t \in (0, \ 1), $

(1.1)

$ u(0)=0, \alpha u(\eta)=u(1), $

(1.2)

其中$ 0<\eta<1$, $ 0<\alpha<\frac{1}{\eta}, $ 假设:

(A$_{1})$ $ f\in C([0, +\infty), [0, +\infty))$;

(A$_{2})$ $ a\in C([0,1], [0, +\infty))$且存在$x_{0}\in [\eta, \ 1], $ 使得$a(x_{0})>0$.

记$ f_{0}=\displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow 0^{+}} \frac{f(u)}{u}, }\ \ \ f_{\infty}=\displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow \infty} \frac{f(u)}{u}.}$

文献[1]运用Krasnoselskii锥拉伸和锥压缩不动点定理研究了边值问题(1.1)-(1.2)的正解的存在性, 他们得到了下面的结果.

定理H1  设(A$_{1}), $ (A$_{2})$满足, 若$f_{0}=0$, $f_{\infty}=\infty$(超线性), 则(1.1)-(1.2)至少存在一个正解.

定理H2  设(A$_{1}), $ (A$_{2})$满足, 若$f_{0}=\infty$, $f_{\infty}=0$(次线性), 则(1.1)-(1.2)至少存在一个正解.

在本文中, 我们将运用Leray-Schauder 不动点定理来研究边值问题(1.1)-(1.2)的正解的存在性, 所得结果改进了上面的定理H1和定理H2, 去掉了一些条件.

考虑边值问题

$ u^{\prime\prime}+p(t)=0, t \in (0, \ 1), $

(2.1)

$ u(0)=0, \alpha u(\eta)=u(1). $

(2.2)

引理1^[1]  设$\alpha\eta \neq 1, p(t)\in C([0,1], $则边值问题(2.1)-(2.2)有唯一解

$ u(t)=-\int_{0}^{t}(t-s)p(s) ds-\frac{\alpha t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{\eta}(\eta-s)p(s) ds+\frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)p(s) ds. $

引理2^[1]  设$0<\alpha<\frac{1}{\eta}, $若$p(t)\in C[0,1], $且$p(t)\geq 0$, 则边值问题(2.1)-(2.2)的唯一解$u(t)$满足$u(t)\geq 0, \ \ t \in [0, \ 1] $.

引理3^[1]  设$0<\alpha<\frac{1}{\eta}, $若$p(t)\in C[0,1], $且$p(t)\geq 0$, 则边值问题(2.1)-(2.2)的唯一解$u(t)$满足$\inf\limits_{t \in [\eta, \ 1]}u(t)\geq \gamma \|u\|, $其中$\gamma=\min\{\alpha\eta, \ \frac{\alpha(1-\eta)}{1-\alpha\eta}, \ \eta\}.$

对于任意$y(t)\in C([0,1]$, 考虑

$ u^{\prime\prime}+a(t)f(y(t))=0, \ t \in (0, \ 1), $

(2.3)

$ u(0)=0, \alpha u(\eta)=u(1), $

(2.4)

由引理1知边值问题(2.3)-(2.4)有唯一解

$ u(t)=-\int_{0}^{t}(t-s)a(s)f(y(s)) ds-\frac{\alpha t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{\eta}(\eta-s)a(s)f(y(s)) ds\\ +\frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds. $

定义算子

$ Ty(t)=-\int_{0}^{t}(t-s)a(s)f(y(s)) ds-\frac{\alpha t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{\eta}(\eta-s)a(s)f(y(s)) ds\\ +\frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds. ds. $

易知, $y(t)$是边值问题(1.1)-(1.2)的解当且仅当$y(t)$是算子$T$的不动点.

引理4^[9]  (Leray-Schauder)设$\Omega$是Banach空间$X$的凸子集, $0 \in \Omega$, $\Phi : \Omega \rightarrow \Omega $是全连续算子, 那么

(ⅰ)$\Phi$在$\Omega$中至少有一个不动点;或(ⅱ)集合$\{ x \in \Omega | x= \lambda \Phi x, 0<\lambda<1 \}$是无界的.

记$X=C[0,1]\beta=\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds.$

定理1  设$(A_{1}), (A_{2})$满足, 若$f_{0}=0$, 则边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解.

证  取$\varepsilon>0$, 且$\varepsilon \leq \frac{1-\alpha\eta}{\beta}$, 由$f_{0}=0$ 知, 存在常数$B >0$, 当$ 0<y \leq B $时, 有$f(y)<\varepsilon y$. 令

$ \displaystyle{ \Omega=\left\{ y \ | \ \ y \in C[0,1], y \geq 0, \|y\|\leq B, \min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}y(t)\geq \gamma \|y\|, \right\} }, $

则$\Omega$是$X$的凸子集. 对于$y \in \Omega$, 由引理2和引理3知$Ty(t)\geq 0$且$\min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}Ty(t)\geq \gamma \|Ty\|$.

另一方面, 有

$ T y(t)\leq \frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds\leq \frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)\varepsilon y(s)ds \\ \leq \|y\|\frac{\varepsilon}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)ds\leq \|y\| \leq B, $

从而$\|T y\|\leq B .$因此$T \Omega \subset \Omega.$易验证$T: \Omega \rightarrow \Omega $是全连续的. 对于$y \in \Omega $且$y= \lambda T y, 0<\lambda<1$, 有$y(t)= \lambda T y(t)< T y(t)\leq B$, 即$\|\ y\|\leq B.$ 从而$\{ y \in \Omega | y= \lambda T y, 0<\lambda<1 \}$是有界的. 由引理4知, $T$在$\Omega$中至少有一个不动点, 从而边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解. 证毕.

注  定理1比文献[1]的定理H1的条件弱, 去掉了条件$ f_{\infty}=\infty$.

定理2  设(A$_{1}), $ (A$_{2})$ 满足, 若$f_{\infty}=0$, 则边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解.

证  取$\varepsilon>0$, 且$\varepsilon \leq \frac{1-\alpha\eta}{2\beta}$, 由$f_{\infty}=0$ 知, 存在常数$N >0$, 当$ y >N $ 时, 有$f(y)<\varepsilon y$.

选取$B \geq N+1+\frac{2\beta}{1-\alpha\eta}\max\limits_{0\leq y\leq N}f(y).$ 令

$ \displaystyle{ \Omega=\left\{ y \ | \ \ y \in C[0,1], y \geq 0, \|y\|\leq B, \min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}y(t)\geq \gamma \|y\|, \right\} }, $

则$\Omega$是$X$的凸子集. 对于$y \in \Omega$, 由引理2和引理3知$Ty(t)\geq 0$且$\min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}Ty(t)\geq \gamma \|Ty\|$.

另一方面, 有

$ T y(t)\leq \frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds\leq \frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds \\ = \frac{1}{1-\alpha\eta} ( \int_{J_{1}=\{s \in [0,1],y(s)>N \}} (1-s)a(s)f(y(s)) ds \\ + \int_{J_{2}=\{s \in [0,1],y(s)\leq N \}} (1-s)a(s)f(y(s)) ds )\\ \leq \frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)\varepsilon y(s) ds+\frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds\cdot \max\limits_{0\leq y\leq N}f(y)\\ \leq \frac{\varepsilon}{1-\alpha\eta} \|y\|\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds+\frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds\cdot \max\limits_{0\leq y\leq N}f(y)\\ \leq \frac{\varepsilon}{1-\alpha\eta} B\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds+\frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds\cdot \max\limits_{0\leq y\leq N}f(y)\\ =\frac{\varepsilon}{1-\alpha\eta} B\beta+\frac{1}{1-\alpha\eta}\beta \cdot \max\limits_{0\leq y\leq N}f(y)\\ \leq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2}B = B, $

从而$\|T y\|\leq B.$因此, $T \Omega \subset \Omega.$易验证$T : \Omega \rightarrow \Omega $是全连续的. 对于$y \in \Omega $且$y= \lambda T y, 0<\lambda<1$, 有$y(t)= \lambda T y(t)< T y(t)\leq B$, 即$\|\ y\|\leq B.$从而$\{ y \in \Omega | y= \lambda T y, 0<\lambda<1 \}$是有界的. 由引理4知, $T$在$\Omega$中至少有一个不动点, 从而边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解. 证毕.

注  定理2比文献[1]的定理H2的条件弱, 去掉了条件$ f_{0}=\infty $.

定理3  设(A$_{1}), $ (A$_{2})$满足, 若存在常数$\rho_{1}>0$, 使得当$ 0<y \leq \rho_{1}$ 时, 有$ \displaystyle{ f(y) \leq \frac{(1-\alpha\eta)\rho_{1}}{\beta } }$成立, 则边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解.

证  令

$ \displaystyle{ \Omega=\left\{ y \ | \ \ y \in C[0,1], y \geq 0, \|y\|\leq \rho_{1}, \min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}y(t)\geq \gamma \|y\|, \right\} }, $

则$\Omega$是$X$的凸子集. 对于$y \in \Omega$, 由引理2和引理3知$Ty(t)\geq 0$且$\min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}Ty(t)\geq \gamma \|Ty\|$.

另一方面, 有

$ T y(t)\leq \frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds\leq \frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)\frac{(1-\alpha\eta)\rho_{1}}{\beta }ds=\rho_{1}, $

从而$\|T y\|\leq \rho_{1} .$因此, $T \Omega \subset \Omega.$易验证$T : \Omega \rightarrow \Omega $是全连续的. 对于$y \in \Omega $且$y= \lambda T y, 0<\lambda<1$, 有$y(t)= \lambda T y(t)< T y(t)\leq \rho_{1}$, 即$\|\ y\|\leq \rho_{1}.$从而$\{ y \in \Omega | y= \lambda T y, 0<\lambda<1 \}$是有界的. 由引理4知$T$在$\Omega$ 中至少有一个不动点, 从而边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解. 证毕.

定理4  设(A$_{1}), $ (A$_{2})$满足, 若存在常数$\rho_{2}>0$, 使得当$ y \geq \rho_{2}$ 时, 有$ \displaystyle{ f(y) \leq \frac{(1-\alpha\eta)\rho_{2}}{\beta } }$成立, 则边值问题(1.1)-(1.2)至少存在一个正解.

证  取$d > 1+\rho_{2}+\frac{\beta}{1-\alpha\eta}\max\limits_{0\leq y\leq \rho_{2}}f(y).$令

$ \displaystyle{ \Omega=\left\{ y \ | \ \ y \in C[0,1], y \geq 0, \|y\|\leq d, \min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}y(t)\geq \gamma \|y\|, \right\} }, $

则$\Omega$是$X$的凸子集. 对于$y \in \Omega$, 由引理2和引理3知$Ty(t)\geq 0$且$\min\limits_{t \in [\eta, \ 1]}Ty(t)\geq \gamma \|Ty\|$.

另一方面, 有

$ T y(t)\leq \frac{t}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds\leq \frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)f(y(s)) ds \\ =\frac{1}{1-\alpha\eta} ( \int_{J_{1}=\{s \in [0,1],y(s)>\rho_{2} \}} (1-s)a(s)f(y(s)) ds \\ + \int_{J_{2}=\{s \in [0,1],y(s)\leq \rho_{2} \}} (1-s)a(s)f(y(s)) ds )\\ \leq \frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s)\frac{(1-\alpha\eta)\rho_{2}}{\beta } ds+\frac{1}{1-\alpha\eta}\int_{0}^{1}(1-s)a(s) ds\cdot \max\limits_{0\leq y\leq \rho_{2}}f(y)\\ =\rho_{2}+\frac{\beta}{1-\alpha\eta}\max\limits_{0\leq y\leq \rho_{2}}f(y) <d, $

从而$\|T y\|\leq d .$因此$T \Omega \subset \Omega.$易验证$T: \Omega \rightarrow \Omega $是全连续的. 对于$y \in \Omega $且$y= \lambda T y, 0<\lambda<1$, 有$y(t)= \lambda T y(t)< T y(t)\leq d$, 即$\|\ y\|\leq d.$ 从而$\{ y \in \Omega | y= \lambda T y, 0<\lambda<1 \}$是有界的. 由引理4知, $T$在$\Omega$中至少有一个不动点, 从而边值问题(1.1)-(1.2) 至少存在一个正解. 证毕.

例1  考虑非线性二阶微分方程三点边值问题:

$ u^{\prime\prime}+a(t)\frac{u}{1+u^{n}}=0, t \in (0, \ 1), $

(4.1)

$ u(0)=0, \alpha u(\eta)=u(1), $

(4.2)

其中$ 0<\eta<1$, $ 0<\alpha<\frac{1}{\eta}, \ \ f(u)=\frac{u}{1+u^{n}} \ \ (n>0)$. 易知

$ f_{\infty}=\displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow \infty} \frac{f(u)}{u}}=\displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow \infty} \frac{1}{1+u^{n}}}=0. $

因此由本文定理2知边值问题(4.1)-(4.2)至少存在一个正解.

注  易知$ \displaystyle{ \frac{f(u)}{u}}=\displaystyle{ \frac{1}{1+u^{n}}} \leq 1, $从而不可能有$ \displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow 0^{+}} \frac{f(u)}{u}}=\infty, $即$f_{0} \neq \infty$, 不满足文献[1]的定理H2的条件$f_{0} = \infty $, 因此文献[1]的定理H2无法对边值问题(4.1)-(4.2)的正解的存在性作出判断, 但由本文定理2可知边值问题(4.1)-(4.2)至少存在一个正解.

例2  考虑非线性二阶微分方程三点边值问题:

$ u^{\prime\prime}+a(t)ue^{-u}=0, t \in (0, \ 1), $

(4.3)

$ u(0)=0, \ \alpha u(\eta)=u(1), $

(4.4)

其中$ 0<\eta<1$, $ 0<\alpha<\frac{1}{\eta}, f(u)=ue^{-u}.$易知

$ f_{\infty}=\displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow \infty} \frac{f(u)}{u}}=\displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow \infty} e^{-u}}=0, $

因此由本文定理2知边值问题(4.3)-(4.4)至少存在一个正解.

注  $ \displaystyle{ \frac{f(u)}{u}}=\displaystyle{ e^{-u}} \leq 1, $从而不可能有$ \displaystyle{ \lim\limits_{u \rightarrow 0^{+}} \frac{f(u)}{u}}=\infty, $即$f_{0} \neq \infty$, 不满足文献[1]的定理H2的条件$f_{0} = \infty $, 因此文献[1]的定理H2 无法对边值问题(4.3)-(4.4)的正解的存在性作出判断, 但由本文定理2可知边值问题(4.3)-(4.4)至少存在一个正解.