近30年来, 高维几何不等式的研究取得了突破性的进展, 取得了丰富而又深刻的研究成果, Mitrinovic的专著^[1]收入了很多经典的高维几何不等式.特别是我国数学家杨路和张景中做了很多开拓性的工作, 取得了很多重要研究成果, 引起了国内外同行专家的极大兴趣和高度评价, 最经典的不等式是$n$维欧氏空间$E^{n}$中有限点集的张-杨不等式^{[2, 3]}与$n$维Pedoe不等式^{[4, 5]}, 冷岗松^[6]、苏化明^[7]建立了欧氏空间另外两种形式的$n$维Pedoe不等式.

设曲率为$K>0$的$n$维球面空间$S_{n}(K)$中两个$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)=\{A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{n}\}$, $\sum\limits\limits_{n}(A')=\{A'_{0}, A'_{1}, \cdots, A'_{n}\}$, 它们的棱长分别为$a_{ij}=|A_{i}A_{j}|$, $a'_{ij}=|A'_{i}A'_{j}|$ $(i, j=0, 1, \cdots, n)$, 体积分别为$V, V'$.外接球半径分别为$R, R'$.记$A=(\cos\sqrt{K}a_{ij})^{n}_{i, j=0}$, $A'=(\cos\sqrt{K}a'_{ij})^{n}_{i, j=0}$,

$ \overline{A} =\left(\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&1\\ 1& & & \\ \vdots&&A& \\ 1&&& \end{array} \right)~~, ~~~\overline{A'} =\left(\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&1\\ 1& & v \\ \vdots& &A'& \\ 1&& & \end{array} \right). $

最近杨定华建立了球面空间如下一种形式的$n$维Pedoe不等式.

定理A ^[8]   设$\sum\nolimits_n {\left( A \right)} $与$\sum\nolimits_n {\left( {A\mathit{'}} \right)}$是$n$维球面空间$S_{n}(K)$中在同一个$n$维超平面上的两个$n$维单形, 则有

$ (\sin\sqrt{K}V \csc\sqrt{K}R)^{\frac{2}{n}}(\sin\sqrt{K}V'\csc\sqrt{K}R')^{2-\frac{2}{n}} \leq \frac{1}{2^{n}n(n!)^{2}}\sum\limits^{n}_{i=0}\sum\limits^{n}_{j=0}\cos\sqrt{K}a_{ij}\overline{A'}_{ij}, $

(1)

其中$\overline{A'}_{ij}$是$\overline{A'}$的元素$\cos\sqrt{K}a'_{ij}$的代数余子式.

本文建立了$n$维球面空间中另一种形式的$n$维Pedoe不等式.

定理1   对球面空间$S_{n}(K)$中两个$n$维单形$\sum\nolimits_n {\left( A \right)} $与$\sum\nolimits_n {\left( {A\mathit{'}} \right)}$, 成立不等式

$ (\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V')^{2-\frac{2}{n+1}} \leq \frac{1}{2^{n}(n+1)(n!)^{2}}\sum\limits^{n}_{i=0}\sum\limits^{n}_{j=0}\cos\sqrt{K}a_{ij}A'_{ij}, $

(2)

当$\cos\sqrt{K}a_{ij}=\cos\sqrt{K}a'_{ij}~~(i, j=0, 1, \cdots, n)$时等号成立, 其中$A'_{ij}$是矩阵$A'$的元素$\cos\sqrt{K}a'_{ij}$的代数余子式.

应用球面空间余弦定理^[12] $\cos\theta'_{ij}=\frac{A'_{ij}}{\sqrt{A'_{ii}}\sqrt{A'_{jj}}}~~(0\leq i < j\leq n), $其中$\theta'_{ij}$是单形$\sum\nolimits_{n}(A')$的顶点$A'_{i}$、$A'_{j}$所对两侧面所成的内二面角.

并应用球面单形体积公式^[9]

$ \sqrt{A'_{ii}}=2^{\frac{n-1}{2}}(n-1)!\sin\sqrt{K}V'_{i}, \sqrt{A'_{jj}}=2^{\frac{n-1}{2}}(n-1)!\sin\sqrt{K}V'_{j}, $

其中$V_{i}'$是$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A')$的顶点$A'_{i}$所对的侧面($n-1$维球面单形)的$n-1$维体积.

可将定理1表述为下面形式.

定理1$^{'}$   对球面空间$S_{n}(K)$中两个$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$与$\sum\limits\limits_{n}(A')$, 成立不等式

$ (\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V')^{2-\frac{2}{n+1}}\leq \frac{1}{2(n+1)n^{2}}\sum\limits\limits_{i=0}^{n}\sum\limits\limits_{j=0}^{n}\cos\sqrt{K}a_{ij}\sin\sqrt{K}V'_{i}\sin\sqrt{K}V'_{j}\cos\theta'_{ij}, $

(2')

当$\cos\sqrt{K}a_{ij}=\cos\sqrt{K}a'_{ij}~~(i, j=0, 1, \cdots, n)$时等号成立, 其中$A'_{ij}$是矩阵$A'$的元素$\cos\sqrt{K}a'_{ij}$的代数余子式.

设球面空间$S_{n}(K)$中有限点集$\sum\limits\limits_{N}(A)=\{A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{N}\}~~(N\geq n)$, $\sum\limits\limits_{N}(A)$中任意$k+1$个点$A_{i_{0}}, A_{i_{1}}, \cdots, A_{i_{k}}$所生成的$k$维球面单形的$k$维体积为$V_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}$, 外接球半径为$R_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}$.设实数$m_{i}>0~~(i=0, 1, \cdots, N)$, 记

$ \begin{aligned} M_{k}&=\sum\limits\limits_{0\leq i_{0}<i_{1}<\cdots<i_{k}\leq N}m_{i_{0}}m_{i_{1}}\cdots m_{i_{k}} \sin^{2}\sqrt{K}V_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}\csc^{2}\sqrt{K}R_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}, \\ M_{0}&=m_{0}+m_{1}+\cdots+m_{N}. \end{aligned} $

最近杨定华建立了球面空间如下一种张-杨型不等式.

定理B^[8]  设$S_{n}(K)$中有限点集$\sum\limits_{N}(A)$共超平面, 质点组$\{A_{i}(m_{i}), i=0, 1, \cdots, N\}$的重心在原点, 则

$ \begin{aligned} M_{k}^{l}&\geq\frac{[(n-l)!(l!)^{3}]^{k}}{[(n-k)!(k!)^{3}]^{l}}(n!M_{0})^{l-k}M^{k}_{l}~~(1\leq k<l\leq n) \end{aligned}, $

(3)

$ \begin{aligned} M_{k}^{2}&\geq (\frac{k+1}{k})^{3}\frac{n-k+1}{n-k}M_{k-1}M_{k+1}~~(1\leq k\leq n-1) \end{aligned}, $

(4)

(3)、(4) 中等号成立的充要条件是质点集$\sum\limits\limits_{N}(A)$的$C-M$阵$\overline{\Lambda}_{N}$的$n$个非零次特征值相等,

其中

$ \overline{\Lambda}_{N} =\left(\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&1\\ 1& & & \\ \vdots& &\cos\sqrt{K}a_{ij}& \\ 1& & & \end{array} \right)~~~(i, j=0, 1, \cdots, N). $

记

$ \begin{aligned} N_{k}&=\sum\limits\limits_{0\leq i_{0}<i_{1}<\cdots<i_{k}\leq N}m_{i_{0}}m_{i_{1}}\cdots m_{i_{k}} sin^{2}\sqrt{K}V_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}~~(k=1, 2, \cdots, n), \\ N_{0}&=m_{0}+m_{1}+\cdots+m_{N}. \end{aligned} $

本文建立了球面空间中另一种形式的张-杨不等式.

定理2  设球面空间$S_{n}(K)$中有限点集$\sum\limits\limits_{N}(A)=\{A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{N}\}~~(N\geq n)$, 且它的凸包为$n$维的, 那么对任意组实数$m_{i}>0~~(i=0, 1, \cdots, N)$, 成立不等式

$ N_{k}^{l+1}\geq\frac{[(n-l)!(l!)^{3}(l+1)]^{k+1}}{[(n-k)!(k!)^{3}(k+1)]^{l+1}}[2(n+1)!]^{l-k}N^{k+1}_{l}~~(0\leq k<l\leq n), $

(5)

$ N_{k}^{2}\geq \frac{(k+1)(k+2)(n-k+1)}{k^{2}(n-k)}N_{k-1}N_{k+1}~~(1\leq k\leq n-1) $

(6)

等号成立当且仅当矩阵$D=(\sqrt{m_{i}m_{j}}\cos\sqrt{K}a_{ij})^{N}_{i, j=0}$的所有非零特征值皆相等.

下面我们介绍定理2的一些应用.

如果我们在定理2中取$\sum\limits\limits_{N}(A)$为$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$的顶点集, 并在不等式~(5) 中取$k=n-1, l=n$得

推论1  对$S_{n}(K)$中$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$与实数$m_{i}>0~~(i=0, 1, \cdots, n)$, 有

$ [(\prod\limits^{n}_{i=0}m_{i})\sin^{2}\sqrt{K}V]^{\frac{n}{n+1}}\leq\frac{1}{n^{2}(n+1)}(\frac{n!^{2}}{2})^{\frac{1}{n+1}} \sum\limits^{n}_{i=0}m_{0}\cdots m_{i-1}m_{i+1}\cdots m_{n}\sin^{2}\sqrt{K}V_{i}, $

(7)

当$\sum\limits\limits_{n}(A)$为正则单形且$m_{0}=m_{1}=\cdots=m_{n}$时等号成立, 其中$V_{i}$是$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$的顶点$A_{i}$所对的侧面($n-1$维球面单形)的$n-1$维体积.

特别, 在不等式(7) 中取$m_{j}=\sin^{2}\sqrt{K}V_{j}~~(j=0, 1, \cdots, n)$, 得

推论2   对$S_{n}(K)$中$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$, 有

$ (\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2n}{n+1}}\leq\frac{1}{n^{2}}(\frac{n!^{2}}{2})^{\frac{1}{n+1}}(\prod\limits^{n}_{i=0}\sin\sqrt{K}V_{i}) ^{\frac{2}{n+1}}, $

(8)

当$\sum\limits\limits_{n}(A)$正则时等号成立.

不等式(8) 可视为球面空间Veljan-Korchmaros不等式.

用$A_{ii}$表示矩阵$A=(\cos\sqrt{K}a_{ij})^{n}_{i, j=0}$的元素$\cos\sqrt{K}a_{ii}$的代数余子式.设$h_{i}$表示单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$顶点$A_{i}$到它所对侧面的高, 应用球面单形高的计算公式^[9], 有

$ \sin^{2}\sqrt{K}h_{i}=\frac{{\rm det}(A)}{A_{ii}}. $

(9)

应用球面单形体积公式^[8]: ${\rm det}(A)=2^{n}(n!)^{2}\sin^{2}\sqrt{K}V, A_{ii}=2^{n-1}(n-1)!^{2}\sin^{2}\sqrt{K}V_{i}.$将上式代入(9)式, 得$\sin\sqrt{K}V_{i}=\sqrt{2}n\frac{\sin\sqrt{K}V}{\sin\sqrt{K}h_{i}}~~(i=0, 1, \cdots, n).$将上式代入(8) 式, 得

推论3  对$S_{n}(K)$中$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$, 有

$ \sin\sqrt{K}V\geq\frac{1}{n!2^{n/2}}\prod\limits^{n}_{i=0}\sin\sqrt{K}h_{i}, $

(10)

当$\sum\limits\limits_{n}(A)$正则时等号成立.

利用不等式(8) 可得到球面空间中如下的Finsler-Hadwinger不等式

推论4  对$S_{n}(K)$中$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$, 有

$ \sum\limits^{n}_{i=0}\sin^{2}\sqrt{K}V_{i}\geq n^{2}(n+1)(\frac{2}{n!^{2}})^{\frac{1}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2n}{n+1}}+\frac{1}{(n-1)^{2}}\sum\limits\limits_{0\leq i<j\leq n}(\sin\sqrt{K}V_{i}-\sin\sqrt{K}V_{j})^{2}, $

(11)

当$\sum\limits\limits_{n}(A)$正则时等号成立.

证  为了书写方便起见, 记$\alpha_{i}=\sin\sqrt{K}V_{i}~~(i=0, 1, \cdots, n)$, (11) 式为

$ \sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i}^{2}\geq n^{2}(n+1)(\frac{2}{n!^{2}})^{\frac{1}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2n}{n+1}}+\frac{1}{(n-1)^{2}}\sum\limits\limits_{0\leq i<j\leq n}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}. $

(11')

不等式(8) 为

$ (\prod\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i})^{\frac{1}{n+1}}\geq n(\frac{\sqrt{2}}{n!})^{\frac{1}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V)^{\frac{n}{n+1}}. $

(8')

由不等式($8'$)与算术-几何平均不等式, 有

$ \sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i}\geq(n+1)n(\frac{\sqrt{2}}{n!})^{\frac{1}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V)^{\frac{n}{n+1}}. $

(12)

另外

$ \begin{aligned}\sum\limits\limits_{0\leq i<j\leq n}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}=&n\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i}^{2}-2(\alpha_{0}\alpha_{1}+ \alpha_{0}\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{0}\alpha_{n})-2(\alpha_{1}\alpha_{2}+ \alpha_{1}\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{1}\alpha_{n})\\ &-\cdots-2\alpha_{n-1}\alpha_{n}, \end{aligned} $

(13)

$ \begin{array}{l} {(\sum\limits_{i = 0}^n {{\alpha _i}} )^2} = \sum\limits_{i = 0}^n {\alpha _i^2} + 2({\alpha _0}{\alpha _1} + {\alpha _0}{\alpha _2} + \cdots + {\alpha _0}{\alpha _n}) + \\ 2({\alpha _1}{\alpha _2} + {\alpha _1}{\alpha _3} + \cdots + {\alpha _1}{\alpha _n}) + \cdots + 2{\alpha _{n - 1}}{\alpha _n}. \end{array} $

(14)

($11'$)两边乘以$(n-1)^{2}$, 并利用(13), (14) 两式, 可知不等式($11'$)等价于下面不等式

$ (\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i})^{2}+n(n-3)\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i}^{2}\geq(n-1)^{2}n^{2}(n+1)(\frac{2}{n!^{2}})^{\frac{1}{n+1}} (\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2n}{n+1}}. $

(15)

下证不等式(15) 成立.由幂平均不等式有$\sum\limits^{n}\limits_{i=0}\alpha_{i}^{2}\geq\frac{1}{n+1}(\sum\limits^{n}\limits_{i=0}\alpha_{i})^{2}, $从而有

$ (\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i})^{2}+n(n-3)\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i}^{2}\geq\frac{(n-1)^{2}}{n+1}(\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_{i})^{2}. $

(16)

由不等式(16)、(12) 便得不等式(15).

在不等式(5) 中取$k=1, l=n$, 得球面单形体积与棱长之间不等式关系.

推论5  对$S_{n}(K)$中$n$维单形$\sum\limits\limits_{n}(A)$与实数$m_{i}>0~~(i=0, 1, \cdots, n)$, 有

$ \sum\limits\limits_{0\leq i<j\leq n}m_{i}m_{j}\sin^{2}\sqrt{K}a_{ij}\geq\frac{n(n+1)}{4}(n!\prod\limits^{n}_{i=0}m_{i})^{\frac{4}{n+1}} (\sin\sqrt{K}V)^{\frac{4}{n+1}}, $

(17)

当$m_{0}=m_{1}=\cdots=m_{n}$且$\sum\limits\limits_{n}(A)$为正则单形时等号成立.

为了证明定理1, 我们需要引用下面几个引理.

定理B  引理1 ^[10]设$\sum\limits\limits_{n}(A)=\{A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{n}\}$是$n$维球面空间$S_{n}(K)$中$n$维单形, 则矩阵$A=(\cos\sqrt{K}a_{ij})^{n}_{i, j=0}$是$n+1$阶实对称正定矩阵.

定理B  引理2 ^[10]设$\sum\limits\limits_{N}(A)=\{A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{N}\}~~(N\geq n)$是$S_{n}(K)$中有限点集, 且它的凸包为$n$维的, 那么矩阵$(\cos\sqrt{K}a_{ij})^{N}_{i, j=0}$是秩为$n+1$的$N+1$阶实对称半正定矩阵.

定理1的证明  由引理1可知矩阵$A=(\cos\sqrt{K}a_{ij})^{n}_{i, j=0}$与$A'=(\cos\sqrt{K}a'_{ij})^{n}_{i, j=0}$均为$n+1$阶实对称正定矩阵.设

$ \begin{eqnarray*}&&f_{ij}(\lambda)=\cos\sqrt{K}a_{ij}+\lambda \cos\sqrt{K}a'_{ij}~~(i, j=0, 1, \cdots, n), \\ &&F(\lambda)=(f_{ij}(\lambda))^{n}_{i, j=0}=(\cos\sqrt{K}a_{ij}+\lambda \cos\sqrt{K}a'_{ij})^{n}_{i, j=0}.\end{eqnarray*} $

现考虑方程$F(\lambda)={\rm det}(A+\lambda A')=0$的根

$ F(\lambda)={\rm det}(A+\lambda A')=C_{0}\lambda^{n+1}+C_{1}\lambda^{n}+\cdots+C_{n}\lambda+C_{n+1}, $

(18)

由于$A, A'$皆为$n+1$阶实对称正定矩阵, 因此这些系数$C_{0}, C_{1}, \cdots, C_{n+1}$皆为非负的.于是方程$F(\lambda)=0$的所有根皆为非正的, 由方程根与系数关系, 以及Maclaurin不等式^[11], 有

$ \frac{1}{(^{n+1}_{~~1})}\cdot\frac{C_{1}}{C_{0}}\geq(\frac{1}{(^{n+1}_{~~2})}\cdot\frac{C_{2}}{C_{0}})^{\frac{1}{2}} \geq(\frac{1}{(^{n+1}_{~~3})}\cdot\frac{C_{3}}{C_{0}})^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq(\frac{C_{n+1}}{C_{0}})^{\frac{1}{n+1}}. $

(19)

由此可知等号成立当且仅当$F(\lambda)=0$的所有根皆相等.由不等式~(19) 有

$ C_{1}\geq (n+1)C_{0}^{1-\frac{1}{n+1}}(C_{n+1})^{\frac{1}{n+1}}. $

(20)

另一方面经直接计算有

$ C_{0}={\rm det}(A'), C_{n+1}={\rm det}(A), C_{1}=\sum\limits^{n}_{i=0}\sum\limits^{n}_{j=0}\cos\sqrt{K}a_{ij}A'_{ij}. $

(21)

由球面单形体积公式^[8]:

$ {\rm det}A=2^{n}(n!)^{2}\sin^{2}\sqrt{K}V, {\rm det}A'=2^{n}(n!)^{2}\sin^{2}\sqrt{K}V'. $

(22)

将(21)、(22) 两式代入(20) 式, 得

$ \sum\limits^{n}_{i=0}\sum\limits^{n}_{j=0}\cos\sqrt{K}a_{ij}A'_{ij}\geq (n+1)2^{n}(n!)^{2}(\sin\sqrt{K}V)^{\frac{2}{n+1}}(\sin\sqrt{K}V')^{2-\frac{2}{n+1}}, $

所以不等式(2) 成立.易验证当$\cos\sqrt{K}a_{ij}=\cos\sqrt{K}a'_{ij}~~(i, j=0, 1, \cdots, n)$时等号成立.

定理2的证明  由于$m_{i}>0~~(i=0, 1, \cdots, N)$, 由引理2可知矩阵

$ D=(\sqrt{m_{i}m_{j}}\cos\sqrt{K}a_{ij})^{N}_{i, j=0} $

是秩为$n+1$的实对称半正定矩阵(当$N=n$时为正定矩阵).

用$D_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}$表示矩阵$D$第$i_{0}, i_{1}, \cdots, i_{k}$行与第$i_{0}, i_{1}, \cdots, i_{k}$列相交元素构成的$k+1$阶主子阵, 则由球面单形体积公式^[7]:

$ |D_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}|=m_{i_{0}}m_{i_{1}}\cdots m_{i_{k}}2^{k}(k!)^{2}\sin^{2}\sqrt{K}V_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}, $

矩阵$D$的特征多项式$P(\lambda)={\rm det}(D+\lambda I_{N+1})~~(I_{N+1}$为$N+1$阶单位矩阵)有$n+1$个正根$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+1}$, 其余根皆为零.

设$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+1}$的$k+1$次初等对称多项式为$\sigma_{k+1}$, 则$\sigma_{k+1}$等于矩阵$D$的所有$k+1$阶主子式之和, 即

$ \begin{aligned} \sigma_{1}&=m_{0}+m_{1}+\cdots+m_{N}=N_{0}, \\ \sigma_{k+1}&=\sum\limits\limits_{0\leq i_{0}<i_{1}<\cdots<i_{k}\leq N}|D_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}| =2^{k}(k!)^{2}\sum\limits\limits_{0\leq i_{0}<i_{1}<\cdots<i_{k}\leq N}m_{i_{0}}m_{i_{1}}\cdots m_{i_{k}}\sin^{2}\sqrt{K}V_{i_{0}i_{1}\cdots i_{k}}\\ &=2^{k}(k!)^{2}N_{k} ~~(k=1, 2, \cdots, n). \end{aligned} $

(23)

由Maclaurin不等式和Newton不等式^[11]

$ ((^{n+1}_{l+1}))^{k+1}\sigma_{k+1}^{l+1}\geq ((^{n+1}_{k+1}))^{l+1}\sigma_{l+1}^{k+1}~(k<l), $

(24)

$ (^{n+1}_{~~k})(^{n+1}_{k+2})\sigma_{k+1}^{2}\geq ((^{n+1}_{k+1}))^{2} \sigma_{k}\sigma_{k+2} $

(25)

等号成立当且仅当$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n+1}$.

由(23)、(24)式便得不等式(5), 由(23)、(25) 式便得不等式(6).易知当矩阵$D$的所有非零特征值皆相等时等号成立.